Theorem swrdfv2 11243

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	|- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word V )
2		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. NN0 )
3		eluznn0 9832	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. NN0 )
4		eluzle 9767	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> F <_ L )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F <_ L )
6	2, 3, 5	3jca 1203	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
7	6	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
8		elfz2nn0 10346	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0 ... L ) <-> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. ( 0 ... L ) )
10	3	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
11	10	3adant1 1041	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11116	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
14		fznn0 10347	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
16	11, 15	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
17	1, 9, 16	3jca 1203	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
19		nn0cn 9411	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. NN0 -> F e. CC )
20		eluzelcn 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. CC )
21		pncan3 8386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. CC /\ L e. CC ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
22	19, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
23	22	eqcomd 2237	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
24	23	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
25	24	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F..^ L ) = ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
26	25	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( X e. ( F..^ L ) <-> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
28		eluzelz 9764	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. ZZ )
30		nn0z 9498	. . . . . . . 8 |- ( F e. NN0 -> F e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. ZZ )
32	29, 31	zsubcld 9606	. . . . . 6 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
33	32	3ad2ant2 1045	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
35		fzosubel3 10440	. . . 4 |- ( ( X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
36	27, 34, 35	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
37		swrdfv 11233	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
39		elfzoelz 10381	. . . . 5 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. ZZ )
40	39	zcnd 9602	. . . 4 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. CC )
41	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. CC )
42	41	3ad2ant2 1045	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. CC )
43		npcan 8387	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ F e. CC ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
44	40, 42, 43	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
45	44	fveq2d 5643	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) = ( S ` X ) )
46	38, 45	eqtrd 2264	1 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   + caddc 8034   <_ cle 8214   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11247