Theorem swrdfv2 11116

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	|- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word V )
2		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. NN0 )
3		eluznn0 9720	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. NN0 )
4		eluzle 9660	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> F <_ L )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F <_ L )
6	2, 3, 5	3jca 1180	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
7	6	3ad2ant2 1022	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
8		elfz2nn0 10234	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0 ... L ) <-> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. ( 0 ... L ) )
10	3	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
11	10	3adant1 1018	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 10998	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
14		fznn0 10235	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
16	11, 15	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
17	1, 9, 16	3jca 1180	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
19		nn0cn 9305	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. NN0 -> F e. CC )
20		eluzelcn 9659	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. CC )
21		pncan3 8280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. CC /\ L e. CC ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
22	19, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
23	22	eqcomd 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
24	23	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
25	24	oveq2d 5960	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F..^ L ) = ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
26	25	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( X e. ( F..^ L ) <-> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
28		eluzelz 9657	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. ZZ )
30		nn0z 9392	. . . . . . . 8 |- ( F e. NN0 -> F e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. ZZ )
32	29, 31	zsubcld 9500	. . . . . 6 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
33	32	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
35		fzosubel3 10325	. . . 4 |- ( ( X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
36	27, 34, 35	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
37		swrdfv 11106	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
39		elfzoelz 10269	. . . . 5 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. ZZ )
40	39	zcnd 9496	. . . 4 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. CC )
41	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. CC )
42	41	3ad2ant2 1022	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. CC )
43		npcan 8281	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ F e. CC ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
44	40, 42, 43	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
45	44	fveq2d 5580	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) = ( S ` X ) )
46	38, 45	eqtrd 2238	1 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   + caddc 7928   <_ cle 8108   - cmin 8243   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994   substr csubstr 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995  df-substr 11099

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11120