Theorem swrdfv2 11413

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	|- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word V )
2		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. NN0 )
3		eluznn0 9978	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. NN0 )
4		eluzle 9913	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> F <_ L )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F <_ L )
6	2, 3, 5	3jca 1208	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
7	6	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
8		elfz2nn0 10497	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0 ... L ) <-> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. ( 0 ... L ) )
10	3	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
11	10	3adant1 1046	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11286	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
14		fznn0 10498	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
16	11, 15	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
17	1, 9, 16	3jca 1208	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
19		nn0cn 9552	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. NN0 -> F e. CC )
20		eluzelcn 9912	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. CC )
21		pncan3 8524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. CC /\ L e. CC ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
22	19, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
23	22	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
25	24	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F..^ L ) = ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
26	25	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( X e. ( F..^ L ) <-> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
28		eluzelz 9910	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. ZZ )
30		nn0z 9643	. . . . . . . 8 |- ( F e. NN0 -> F e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. ZZ )
32	29, 31	zsubcld 9752	. . . . . 6 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
33	32	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
35		fzosubel3 10592	. . . 4 |- ( ( X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
36	27, 34, 35	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
37		swrdfv 11403	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
39		elfzoelz 10532	. . . . 5 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. ZZ )
40	39	zcnd 9748	. . . 4 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. CC )
41	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. CC )
42	41	3ad2ant2 1050	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. CC )
43		npcan 8525	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ F e. CC ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
44	40, 42, 43	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
45	44	fveq2d 5694	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) = ( S ` X ) )
46	38, 45	eqtrd 2271	1 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11417