Theorem swrdfv2 11210

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	|- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> S e. Word V )
2		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. NN0 )
3		eluznn0 9806	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. NN0 )
4		eluzle 9746	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> F <_ L )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F <_ L )
6	2, 3, 5	3jca 1201	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
7	6	3ad2ant2 1043	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
8		elfz2nn0 10320	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0 ... L ) <-> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
9	7, 8	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. ( 0 ... L ) )
10	3	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
11	10	3adant1 1039	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11088	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word V -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
14		fznn0 10321	. . . . . . 7 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ (♯ ` S ) ) ) )
16	11, 15	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) )
17	1, 9, 16	3jca 1201	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) )
19		nn0cn 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. NN0 -> F e. CC )
20		eluzelcn 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. CC )
21		pncan3 8365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. CC /\ L e. CC ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
22	19, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
23	22	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
24	23	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
25	24	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( F..^ L ) = ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
26	25	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( X e. ( F..^ L ) <-> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
28		eluzelz 9743	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. ZZ )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. ZZ )
30		nn0z 9477	. . . . . . . 8 |- ( F e. NN0 -> F e. ZZ )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. ZZ )
32	29, 31	zsubcld 9585	. . . . . 6 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
33	32	3ad2ant2 1043	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
35		fzosubel3 10414	. . . 4 |- ( ( X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
36	27, 34, 35	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
37		swrdfv 11200	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) /\ ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
39		elfzoelz 10355	. . . . 5 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. ZZ )
40	39	zcnd 9581	. . . 4 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. CC )
41	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. CC )
42	41	3ad2ant2 1043	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) -> F e. CC )
43		npcan 8366	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ F e. CC ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
44	40, 42, 43	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
45	44	fveq2d 5633	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) = ( S ` X ) )
46	38, 45	eqtrd 2262	1 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ (♯ ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   0cc0 8010   + caddc 8013   <_ cle 8193   - cmin 8328   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216  ..^cfzo 10350  ♯chash 11009  Word cword 11084   substr csubstr 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-ihash 11010  df-word 11085  df-substr 11193

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11214