Theorem swrdfv2 11355

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3		eluznn0 9931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		eluzle 9866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐹 ≤ 𝐿)
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ≤ 𝐿)
6	2, 3, 5	3jca 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
7	6	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
8		elfz2nn0 10446	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
9	7, 8	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
10	3	anim1i 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
11	10	3adant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
12		lencl 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13	12	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
14		fznn0 10447	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	11, 15	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
17	1, 9, 16	3jca 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
18	17	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
19		nn0cn 9506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℂ)
20		eluzelcn 9865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℂ)
21		pncan3 8481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
22	19, 20, 21	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)) = 𝐿)
23	22	eqcomd 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 = (𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))
25	24	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹..^𝐿) = (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
26	25	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) ↔ 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹)))))
27	26	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → 𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))))
28		eluzelz 9863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐿 ∈ ℤ)
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30		nn0z 9597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℤ)
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℤ)
32	29, 31	zsubcld 9705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
33	32	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
34	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ)
35		fzosubel3 10541	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐹..^(𝐹 + (𝐿 − 𝐹))) ∧ (𝐿 − 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
36	27, 34, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
37		swrdfv 11345	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ (𝑋 − 𝐹) ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
38	18, 36, 37	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)))
39		elfzoelz 10481	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 9701	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ℂ)
43		npcan 8482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
44	40, 42, 43	syl2anr 290	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑋 − 𝐹) + 𝐹) = 𝑋)
45	44	fveq2d 5674	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → (𝑆‘((𝑋 − 𝐹) + 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))
46	38, 45	eqtrd 2265	1 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹..^𝐿)) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘(𝑋 − 𝐹)) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   substr csubstr 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-substr 11338

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  11359