Theorem trlreslem 16269

Description: Lemma for trlres 16270. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trlres.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	trlf1 16268	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5		trlres.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6		elfzouz2 10402	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		fzoss2 10414	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
9		f1ores 5601	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11		trlres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		trliswlk 16266	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13	2	wlkf 16210	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	1, 12, 13	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
15		fzossfz 10406	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
16	15, 5	sselid 3224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
17		pfxres 11271	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 prefix 𝑁) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
19	11, 18	eqtrid 2275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
20	11	fveq2i 5645	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 prefix 𝑁))
21		elfzofz 10403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
22	5, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
23		pfxlen 11275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
24	14, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	20, 24	eqtrid 2275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
26	25	oveq2d 6039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
27		wrdf 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
28		fimass 5500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
29	13, 27, 28	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
30	1, 12, 29	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
31		ssdmres 5037	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
32	30, 31	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
33	19, 26, 32	f1oeq123d 5580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
34	10, 33	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199   class class class wbr 4089  dom cdm 4727   ↾ cres 4729   “ cima 4730  ⟶wf 5324  –1-1→wf1 5325  –1-1-onto→wf1o 5327  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  0cc0 8037  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  ..^cfzo 10382  ♯chash 11043  Word cword 11122   prefix cpfx 11262  Vtxcvtx 15892  iEdgciedg 15893  Walkscwlks 16197  Trailsctrls 16260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-er 6707  df-map 6824  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-ihash 11044  df-word 11123  df-substr 11236  df-pfx 11263  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-wlks 16198  df-trls 16261

This theorem is referenced by:  trlres  16270  eupthres  16337