Theorem uzind 9590

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 8693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3		uzind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
4	2, 3	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓))
5	4	ancli 323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
6		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
7		uzind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
9	8	elrab 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
10	5, 9	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
11		peano2z 9514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
13	12	adantrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15		ltp1 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17		peano2re 8314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
18	17	ancli 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19		lelttr 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20	19	3expb 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
21	18, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
22	16, 21	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
23		ltle 8266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
24	17, 23	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
25	22, 24	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
26	1, 14, 25	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
27	26	adantrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
28	27	expimpd 363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
30	29	3exp 1228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
31	30	imp4d 352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
32	28, 31	jcad 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
33	13, 32	jcad 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
35		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
36	34, 35	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
37	36	elrab 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
38		breq2 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
40	38, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
41	40	elrab 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
42	33, 37, 41	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
43	42	ralrimiv 2604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
44		peano5uzti 9587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
45	10, 43, 44	mp2and 433	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
46	45	sseld 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
47		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑤 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
48	47	elrab 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		uzind.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
51	49, 50	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
52	51	elrab 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
53	46, 48, 52	3imtr3g 204	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))))
54	53	3impib 1227	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
55	54	simprd 114	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))
56	55	simprd 114	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  uzind2  9591  uzind3  9592  nn0ind  9593  fzind  9594  resqrexlemdecn  11572  algcvga  12622  ennnfoneleminc  13031