Theorem xrmaxcl 11253

Description: The maximum of two extended reals is an extended real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxcl	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) e. RR* )

Proof of Theorem xrmaxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxif 11252	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) = if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) )
2		xrmaxiflemcl 11246	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> if ( B = +oo , +oo , if ( B = -oo , A , if ( A = +oo , +oo , if ( A = -oo , B , sup ( { A , B } , RR , < ) ) ) ) ) e. RR* )
3	1, 2	eqeltrd 2254	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> sup ( { A , B } , RR* , < ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3534   {cpr 3593   supcsup 6978   RRcr 7807   +oocpnf 7985   -oocmnf 7986   RR*cxr 7987   < clt 7988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-sup 6980  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001

This theorem is referenced by:  xrltmaxsup  11258  xrmaxltsup  11259  xrmaxlesup  11260  xrmaxaddlem  11261  xrmaxadd  11262  xrminmax  11266  xrmincl  11267  xrmin1inf  11268  xrmin2inf  11269  xrltmininf  11271  xrlemininf  11272  xrminltinf  11273  xrminadd  11276  iooinsup  11278  xmetxp  13878  xmetxpbl  13879  txmetcnp  13889  retopbas  13894  tgioo  13917