Theorem asclinvg 15141

Description: The group inverse (negation) of a lifted scalar is the lifted negation of the scalar. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclinvg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclinvg.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
asclinvg.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
asclinvg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
asclinvg.j	⊢ 𝐽 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclinvg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))

Proof of Theorem asclinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclinvg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclinvg.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Ring)
4		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	asclghm 15134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊))
6		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		asclinvg.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		asclinvg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
9		asclinvg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (invg‘𝑊)
10	7, 8, 9	ghminv 14112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐽‘(𝐴‘𝐶)))
11	10	eqcomd 2244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))
12	5, 6, 11	syl2anc 415	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  Scalarcsca 13493  inv_gcminusg 13865   GrpHom cghm 14102  Ringcrg 14407  LModclmod 14732  algSccascl 15107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-ghm 14103  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-ascl 15110

This theorem is used by: (None)