Theorem decaddi 9583

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 9330	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 9545	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 9327	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 8234	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 9577	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  0cc0 7945   + caddc 7948  ℕ₀cn0 9315  ;cdc 9524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-sub 8265  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-dec 9525

This theorem is referenced by:  4t4e16  9622  6t3e18  9628  7t4e28  9634  7t7e49  9637  2exp11  12834  2exp16  12835  ex-fac  15803