Theorem zmulcld 9607

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9532	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017   · cmul 8036  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  qapne  9872  qtri3or  10499  2tnp1ge0ge0  10560  flhalf  10561  intfracq  10581  zmodcl  10605  modqmul1  10638  addmodlteq  10659  sqoddm1div8  10954  eirraplem  12337  dvdscmulr  12380  dvdsmulcr  12381  modmulconst  12383  dvds2ln  12384  dvdsmod  12422  3dvds  12424  even2n  12434  2tp1odd  12444  ltoddhalfle  12453  m1expo  12460  m1exp1  12461  divalglemqt  12479  modremain  12489  flodddiv4  12496  bits0e  12509  bits0o  12510  bitsp1e  12512  bitsp1o  12513  bitsmod  12516  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  gcdaddm  12554  gcdmultipled  12563  bezoutlemnewy  12566  bezoutlemstep  12567  bezoutlembi  12575  mulgcd  12586  dvdsmulgcd  12595  bezoutr  12602  lcmval  12634  lcmcllem  12638  lcmgcdlem  12648  mulgcddvds  12665  rpmulgcd2  12666  divgcdcoprm0  12672  cncongr1  12674  cncongr2  12675  prmind2  12691  exprmfct  12709  2sqpwodd  12747  hashdvds  12792  phimullem  12796  eulerthlem1  12798  eulerthlema  12801  eulerthlemh  12802  eulerthlemth  12803  prmdiv  12806  prmdiveq  12807  pythagtriplem2  12838  pythagtrip  12855  pcpremul  12865  pcqmul  12875  pcaddlem  12911  prmpwdvds  12927  4sqlem5  12954  4sqlem10  12959  4sqlem14  12976  oddennn  13012  mulgass  13745  mulgmodid  13747  znunit  14672  znrrg  14673  mpodvdsmulf1o  15713  lgsval  15732  lgsdir2lem5  15760  lgsdirprm  15762  lgsdir  15763  lgsdilem2  15764  lgsdi  15765  lgsne0  15766  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem1cl  15787  gausslemma2dlem1f1o  15788  gausslemma2dlem2  15790  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  gausslemma2dlem7  15796  gausslemma2d  15797  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlem1  15805  lgsquad2lem1  15809  lgsquad3  15812  2lgslem1a1  15814  2lgslem1a2  15815  2lgslem1b  15817  2lgslem3b1  15826  2lgslem3c1  15827  2lgsoddprmlem2  15834  2sqlem3  15845  2sqlem4  15846