Theorem zmulcld 8770

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 8699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5591   · cmul 7258  ℤcz 8646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647

This theorem is referenced by:  qapne  9019  qtri3or  9543  2tnp1ge0ge0  9597  flhalf  9598  intfracq  9616  zmodcl  9640  modqmul1  9673  addmodlteq  9694  sqoddm1div8  9941  dvdscmulr  10605  dvdsmulcr  10606  modmulconst  10608  dvds2ln  10609  dvdsmod  10643  even2n  10654  2tp1odd  10664  ltoddhalfle  10673  m1expo  10680  m1exp1  10681  divalglemqt  10699  modremain  10709  flodddiv4  10714  gcdaddm  10755  bezoutlemnewy  10765  bezoutlemstep  10766  bezoutlembi  10774  mulgcd  10785  dvdsmulgcd  10794  bezoutr  10801  lcmval  10825  lcmcllem  10829  lcmgcdlem  10839  mulgcddvds  10856  rpmulgcd2  10857  divgcdcoprm0  10863  cncongr1  10865  cncongr2  10866  prmind2  10882  exprmfct  10899  2sqpwodd  10934  hashdvds  10977  phimullem  10981  oddennn  10985