Theorem zmulcld 9706

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050   · cmul 8132  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  qapne  9971  qtri3or  10600  2tnp1ge0ge0  10661  flhalf  10662  intfracq  10682  zmodcl  10706  modqmul1  10739  addmodlteq  10760  sqoddm1div8  11055  eirraplem  12463  dvdscmulr  12506  dvdsmulcr  12507  modmulconst  12509  dvds2ln  12510  dvdsmod  12548  3dvds  12550  even2n  12560  2tp1odd  12570  ltoddhalfle  12579  m1expo  12586  m1exp1  12587  divalglemqt  12605  modremain  12615  flodddiv4  12622  bits0e  12635  bits0o  12636  bitsp1e  12638  bitsp1o  12639  bitsmod  12642  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  gcdaddm  12680  gcdmultipled  12689  bezoutlemnewy  12692  bezoutlemstep  12693  bezoutlembi  12701  mulgcd  12712  dvdsmulgcd  12721  bezoutr  12728  lcmval  12760  lcmcllem  12764  lcmgcdlem  12774  mulgcddvds  12791  rpmulgcd2  12792  divgcdcoprm0  12798  cncongr1  12800  cncongr2  12801  prmind2  12817  exprmfct  12835  2sqpwodd  12873  hashdvds  12918  phimullem  12922  eulerthlem1  12924  eulerthlema  12927  eulerthlemh  12928  eulerthlemth  12929  prmdiv  12932  prmdiveq  12933  pythagtriplem2  12964  pythagtrip  12981  pcpremul  12991  pcqmul  13001  pcaddlem  13037  prmpwdvds  13053  4sqlem5  13080  4sqlem10  13085  4sqlem14  13102  oddennn  13143  mulgass  13876  mulgmodid  13878  znunit  14807  znrrg  14808  mpodvdsmulf1o  15858  lgsval  15877  lgsdir2lem5  15905  lgsdirprm  15907  lgsdir  15908  lgsdilem2  15909  lgsdi  15910  lgsne0  15911  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1cl  15932  gausslemma2dlem1f1o  15933  gausslemma2dlem2  15935  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  gausslemma2dlem7  15941  gausslemma2d  15942  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem3  15945  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlem1  15950  lgsquad2lem1  15954  lgsquad3  15957  2lgslem1a1  15959  2lgslem1a2  15960  2lgslem1b  15962  2lgslem3b1  15971  2lgslem3c1  15972  2lgsoddprmlem2  15979  2sqlem3  15990  2sqlem4  15991