Theorem zmulcld 9383

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877   · cmul 7818  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  qapne  9641  qtri3or  10245  2tnp1ge0ge0  10303  flhalf  10304  intfracq  10322  zmodcl  10346  modqmul1  10379  addmodlteq  10400  sqoddm1div8  10676  eirraplem  11786  dvdscmulr  11829  dvdsmulcr  11830  modmulconst  11832  dvds2ln  11833  dvdsmod  11870  even2n  11881  2tp1odd  11891  ltoddhalfle  11900  m1expo  11907  m1exp1  11908  divalglemqt  11926  modremain  11936  flodddiv4  11941  gcdaddm  11987  gcdmultipled  11996  bezoutlemnewy  11999  bezoutlemstep  12000  bezoutlembi  12008  mulgcd  12019  dvdsmulgcd  12028  bezoutr  12035  lcmval  12065  lcmcllem  12069  lcmgcdlem  12079  mulgcddvds  12096  rpmulgcd2  12097  divgcdcoprm0  12103  cncongr1  12105  cncongr2  12106  prmind2  12122  exprmfct  12140  2sqpwodd  12178  hashdvds  12223  phimullem  12227  eulerthlem1  12229  eulerthlema  12232  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234  prmdiv  12237  prmdiveq  12238  pythagtriplem2  12268  pythagtrip  12285  pcpremul  12295  pcqmul  12305  pcaddlem  12340  prmpwdvds  12355  4sqlem5  12382  4sqlem10  12387  oddennn  12395  mulgass  13025  mulgmodid  13027  lgsval  14490  lgsdir2lem5  14518  lgsdirprm  14520  lgsdir  14521  lgsdilem2  14522  lgsdi  14523  lgsne0  14524  lgseisenlem1  14535  lgseisenlem2  14536  2lgsoddprmlem2  14539  2sqlem3  14549  2sqlem4  14550