Theorem zmulcld 9583

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9508	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007   · cmul 8012  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455

This theorem is referenced by:  qapne  9842  qtri3or  10468  2tnp1ge0ge0  10529  flhalf  10530  intfracq  10550  zmodcl  10574  modqmul1  10607  addmodlteq  10628  sqoddm1div8  10923  eirraplem  12296  dvdscmulr  12339  dvdsmulcr  12340  modmulconst  12342  dvds2ln  12343  dvdsmod  12381  3dvds  12383  even2n  12393  2tp1odd  12403  ltoddhalfle  12412  m1expo  12419  m1exp1  12420  divalglemqt  12438  modremain  12448  flodddiv4  12455  bits0e  12468  bits0o  12469  bitsp1e  12471  bitsp1o  12472  bitsmod  12475  bitscmp  12477  bitsinv1lem  12480  gcdaddm  12513  gcdmultipled  12522  bezoutlemnewy  12525  bezoutlemstep  12526  bezoutlembi  12534  mulgcd  12545  dvdsmulgcd  12554  bezoutr  12561  lcmval  12593  lcmcllem  12597  lcmgcdlem  12607  mulgcddvds  12624  rpmulgcd2  12625  divgcdcoprm0  12631  cncongr1  12633  cncongr2  12634  prmind2  12650  exprmfct  12668  2sqpwodd  12706  hashdvds  12751  phimullem  12755  eulerthlem1  12757  eulerthlema  12760  eulerthlemh  12761  eulerthlemth  12762  prmdiv  12765  prmdiveq  12766  pythagtriplem2  12797  pythagtrip  12814  pcpremul  12824  pcqmul  12834  pcaddlem  12870  prmpwdvds  12886  4sqlem5  12913  4sqlem10  12918  4sqlem14  12935  oddennn  12971  mulgass  13704  mulgmodid  13706  znunit  14631  znrrg  14632  mpodvdsmulf1o  15672  lgsval  15691  lgsdir2lem5  15719  lgsdirprm  15721  lgsdir  15722  lgsdilem2  15723  lgsdi  15724  lgsne0  15725  gausslemma2dlem1a  15745  gausslemma2dlem1cl  15746  gausslemma2dlem1f1o  15747  gausslemma2dlem2  15749  gausslemma2dlem3  15750  gausslemma2dlem4  15751  gausslemma2dlem5a  15752  gausslemma2dlem5  15753  gausslemma2dlem6  15754  gausslemma2dlem7  15755  gausslemma2d  15756  lgseisenlem1  15757  lgseisenlem2  15758  lgseisenlem3  15759  lgseisenlem4  15760  lgseisen  15761  lgsquadlem1  15764  lgsquad2lem1  15768  lgsquad3  15771  2lgslem1a1  15773  2lgslem1a2  15774  2lgslem1b  15776  2lgslem3b1  15785  2lgslem3c1  15786  2lgsoddprmlem2  15793  2sqlem3  15804  2sqlem4  15805