Theorem zmulcld 9779

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   · cmul 8185  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  qapne  10049  qtri3or  10686  2tnp1ge0ge0  10751  flhalf  10752  intfracq  10772  zmodcl  10796  modqmul1  10829  addmodlteq  10850  sqoddm1div8  11146  eirraplem  12563  dvdscmulr  12606  dvdsmulcr  12607  modmulconst  12609  dvds2ln  12610  dvdsmod  12648  3dvds  12650  even2n  12660  2tp1odd  12670  ltoddhalfle  12679  m1expo  12686  m1exp1  12687  divalglemqt  12705  modremain  12715  flodddiv4  12722  bits0e  12735  bits0o  12736  bitsp1e  12738  bitsp1o  12739  bitsmod  12742  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  gcdaddm  12780  gcdmultipled  12789  bezoutlemnewy  12792  bezoutlemstep  12793  bezoutlembi  12801  mulgcd  12812  dvdsmulgcd  12821  bezoutr  12828  lcmval  12860  lcmcllem  12864  lcmgcdlem  12874  mulgcddvds  12891  rpmulgcd2  12892  divgcdcoprm0  12898  cncongr1  12900  cncongr2  12901  prmind2  12917  exprmfct  12936  2sqpwodd  12975  hashdvds  13022  phimullem  13026  eulerthlem1  13028  eulerthlema  13031  eulerthlemh  13032  eulerthlemth  13033  prmdiv  13036  prmdiveq  13037  pythagtriplem2  13068  pythagtrip  13085  pcpremul  13095  pcqmul  13105  pcaddlem  13141  prmpwdvds  13157  4sqlem5  13184  4sqlem10  13189  4sqlem14  13206  oddennn  13335  mulgass  14015  mulgmodid  14017  znunit  15078  znrrg  15079  mpodvdsmulf1o  16245  bposlem1  16272  bpos  16281  lgsval  16289  lgsdir2lem5  16317  lgsdirprm  16319  lgsdir  16320  lgsdilem2  16321  lgsdi  16322  lgsne0  16323  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem2  16347  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2dlem7  16353  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlem1  16362  lgsquad2lem1  16366  lgsquad3  16369  2lgslem1a1  16371  2lgslem1a2  16372  2lgslem1b  16374  2lgslem3b1  16383  2lgslem3c1  16384  2lgsoddprmlem2  16391  2sqlem3  16402  2sqlem4  16403