Theorem zmulcld 9454

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922   · cmul 7884  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  qapne  9713  qtri3or  10330  2tnp1ge0ge0  10391  flhalf  10392  intfracq  10412  zmodcl  10436  modqmul1  10469  addmodlteq  10490  sqoddm1div8  10785  eirraplem  11942  dvdscmulr  11985  dvdsmulcr  11986  modmulconst  11988  dvds2ln  11989  dvdsmod  12027  3dvds  12029  even2n  12039  2tp1odd  12049  ltoddhalfle  12058  m1expo  12065  m1exp1  12066  divalglemqt  12084  modremain  12094  flodddiv4  12101  bits0e  12113  bits0o  12114  bitsp1e  12116  bitsp1o  12117  gcdaddm  12151  gcdmultipled  12160  bezoutlemnewy  12163  bezoutlemstep  12164  bezoutlembi  12172  mulgcd  12183  dvdsmulgcd  12192  bezoutr  12199  lcmval  12231  lcmcllem  12235  lcmgcdlem  12245  mulgcddvds  12262  rpmulgcd2  12263  divgcdcoprm0  12269  cncongr1  12271  cncongr2  12272  prmind2  12288  exprmfct  12306  2sqpwodd  12344  hashdvds  12389  phimullem  12393  eulerthlem1  12395  eulerthlema  12398  eulerthlemh  12399  eulerthlemth  12400  prmdiv  12403  prmdiveq  12404  pythagtriplem2  12435  pythagtrip  12452  pcpremul  12462  pcqmul  12472  pcaddlem  12508  prmpwdvds  12524  4sqlem5  12551  4sqlem10  12556  4sqlem14  12573  oddennn  12609  mulgass  13289  mulgmodid  13291  znunit  14215  znrrg  14216  mpodvdsmulf1o  15226  lgsval  15245  lgsdir2lem5  15273  lgsdirprm  15275  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem1cl  15300  gausslemma2dlem1f1o  15301  gausslemma2dlem2  15303  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2dlem7  15309  gausslemma2d  15310  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlem1  15318  lgsquad2lem1  15322  lgsquad3  15325  2lgslem1a1  15327  2lgslem1a2  15328  2lgslem1b  15330  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  2lgsoddprmlem2  15347  2sqlem3  15358  2sqlem4  15359