Theorem zmulcld 9354

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 5865   · cmul 7791  ℤcz 9226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227

This theorem is referenced by:  qapne  9612  qtri3or  10213  2tnp1ge0ge0  10271  flhalf  10272  intfracq  10290  zmodcl  10314  modqmul1  10347  addmodlteq  10368  sqoddm1div8  10643  eirraplem  11752  dvdscmulr  11795  dvdsmulcr  11796  modmulconst  11798  dvds2ln  11799  dvdsmod  11835  even2n  11846  2tp1odd  11856  ltoddhalfle  11865  m1expo  11872  m1exp1  11873  divalglemqt  11891  modremain  11901  flodddiv4  11906  gcdaddm  11952  gcdmultipled  11961  bezoutlemnewy  11964  bezoutlemstep  11965  bezoutlembi  11973  mulgcd  11984  dvdsmulgcd  11993  bezoutr  12000  lcmval  12030  lcmcllem  12034  lcmgcdlem  12044  mulgcddvds  12061  rpmulgcd2  12062  divgcdcoprm0  12068  cncongr1  12070  cncongr2  12071  prmind2  12087  exprmfct  12105  2sqpwodd  12143  hashdvds  12188  phimullem  12192  eulerthlem1  12194  eulerthlema  12197  eulerthlemh  12198  eulerthlemth  12199  prmdiv  12202  prmdiveq  12203  pythagtriplem2  12233  pythagtrip  12250  pcpremul  12260  pcqmul  12270  pcaddlem  12305  prmpwdvds  12320  4sqlem5  12347  4sqlem10  12352  oddennn  12360  mulgass  12880  mulgmodid  12882  lgsval  13976  lgsdir2lem5  14004  lgsdirprm  14006  lgsdir  14007  lgsdilem2  14008  lgsdi  14009  lgsne0  14010  2sqlem3  14024  2sqlem4  14025