Theorem zmulcld 9586

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007   · cmul 8015  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  qapne  9846  qtri3or  10472  2tnp1ge0ge0  10533  flhalf  10534  intfracq  10554  zmodcl  10578  modqmul1  10611  addmodlteq  10632  sqoddm1div8  10927  eirraplem  12304  dvdscmulr  12347  dvdsmulcr  12348  modmulconst  12350  dvds2ln  12351  dvdsmod  12389  3dvds  12391  even2n  12401  2tp1odd  12411  ltoddhalfle  12420  m1expo  12427  m1exp1  12428  divalglemqt  12446  modremain  12456  flodddiv4  12463  bits0e  12476  bits0o  12477  bitsp1e  12479  bitsp1o  12480  bitsmod  12483  bitscmp  12485  bitsinv1lem  12488  gcdaddm  12521  gcdmultipled  12530  bezoutlemnewy  12533  bezoutlemstep  12534  bezoutlembi  12542  mulgcd  12553  dvdsmulgcd  12562  bezoutr  12569  lcmval  12601  lcmcllem  12605  lcmgcdlem  12615  mulgcddvds  12632  rpmulgcd2  12633  divgcdcoprm0  12639  cncongr1  12641  cncongr2  12642  prmind2  12658  exprmfct  12676  2sqpwodd  12714  hashdvds  12759  phimullem  12763  eulerthlem1  12765  eulerthlema  12768  eulerthlemh  12769  eulerthlemth  12770  prmdiv  12773  prmdiveq  12774  pythagtriplem2  12805  pythagtrip  12822  pcpremul  12832  pcqmul  12842  pcaddlem  12878  prmpwdvds  12894  4sqlem5  12921  4sqlem10  12926  4sqlem14  12943  oddennn  12979  mulgass  13712  mulgmodid  13714  znunit  14639  znrrg  14640  mpodvdsmulf1o  15680  lgsval  15699  lgsdir2lem5  15727  lgsdirprm  15729  lgsdir  15730  lgsdilem2  15731  lgsdi  15732  lgsne0  15733  gausslemma2dlem1a  15753  gausslemma2dlem1cl  15754  gausslemma2dlem1f1o  15755  gausslemma2dlem2  15757  gausslemma2dlem3  15758  gausslemma2dlem4  15759  gausslemma2dlem5a  15760  gausslemma2dlem5  15761  gausslemma2dlem6  15762  gausslemma2dlem7  15763  gausslemma2d  15764  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768  lgseisen  15769  lgsquadlem1  15772  lgsquad2lem1  15776  lgsquad3  15779  2lgslem1a1  15781  2lgslem1a2  15782  2lgslem1b  15784  2lgslem3b1  15793  2lgslem3c1  15794  2lgsoddprmlem2  15801  2sqlem3  15812  2sqlem4  15813