Theorem zmulcld 9500

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943   · cmul 7929  ℤcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372

This theorem is referenced by:  qapne  9759  qtri3or  10381  2tnp1ge0ge0  10442  flhalf  10443  intfracq  10463  zmodcl  10487  modqmul1  10520  addmodlteq  10541  sqoddm1div8  10836  eirraplem  12059  dvdscmulr  12102  dvdsmulcr  12103  modmulconst  12105  dvds2ln  12106  dvdsmod  12144  3dvds  12146  even2n  12156  2tp1odd  12166  ltoddhalfle  12175  m1expo  12182  m1exp1  12183  divalglemqt  12201  modremain  12211  flodddiv4  12218  bits0e  12231  bits0o  12232  bitsp1e  12234  bitsp1o  12235  bitsmod  12238  bitscmp  12240  bitsinv1lem  12243  gcdaddm  12276  gcdmultipled  12285  bezoutlemnewy  12288  bezoutlemstep  12289  bezoutlembi  12297  mulgcd  12308  dvdsmulgcd  12317  bezoutr  12324  lcmval  12356  lcmcllem  12360  lcmgcdlem  12370  mulgcddvds  12387  rpmulgcd2  12388  divgcdcoprm0  12394  cncongr1  12396  cncongr2  12397  prmind2  12413  exprmfct  12431  2sqpwodd  12469  hashdvds  12514  phimullem  12518  eulerthlem1  12520  eulerthlema  12523  eulerthlemh  12524  eulerthlemth  12525  prmdiv  12528  prmdiveq  12529  pythagtriplem2  12560  pythagtrip  12577  pcpremul  12587  pcqmul  12597  pcaddlem  12633  prmpwdvds  12649  4sqlem5  12676  4sqlem10  12681  4sqlem14  12698  oddennn  12734  mulgass  13466  mulgmodid  13468  znunit  14392  znrrg  14393  mpodvdsmulf1o  15433  lgsval  15452  lgsdir2lem5  15480  lgsdirprm  15482  lgsdir  15483  lgsdilem2  15484  lgsdi  15485  lgsne0  15486  gausslemma2dlem1a  15506  gausslemma2dlem1cl  15507  gausslemma2dlem1f1o  15508  gausslemma2dlem2  15510  gausslemma2dlem3  15511  gausslemma2dlem4  15512  gausslemma2dlem5a  15513  gausslemma2dlem5  15514  gausslemma2dlem6  15515  gausslemma2dlem7  15516  gausslemma2d  15517  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem3  15520  lgseisenlem4  15521  lgseisen  15522  lgsquadlem1  15525  lgsquad2lem1  15529  lgsquad3  15532  2lgslem1a1  15534  2lgslem1a2  15535  2lgslem1b  15537  2lgslem3b1  15546  2lgslem3c1  15547  2lgsoddprmlem2  15554  2sqlem3  15565  2sqlem4  15566