Theorem zmulcld 9501

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944   · cmul 7930  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  qapne  9760  qtri3or  10383  2tnp1ge0ge0  10444  flhalf  10445  intfracq  10465  zmodcl  10489  modqmul1  10522  addmodlteq  10543  sqoddm1div8  10838  eirraplem  12088  dvdscmulr  12131  dvdsmulcr  12132  modmulconst  12134  dvds2ln  12135  dvdsmod  12173  3dvds  12175  even2n  12185  2tp1odd  12195  ltoddhalfle  12204  m1expo  12211  m1exp1  12212  divalglemqt  12230  modremain  12240  flodddiv4  12247  bits0e  12260  bits0o  12261  bitsp1e  12263  bitsp1o  12264  bitsmod  12267  bitscmp  12269  bitsinv1lem  12272  gcdaddm  12305  gcdmultipled  12314  bezoutlemnewy  12317  bezoutlemstep  12318  bezoutlembi  12326  mulgcd  12337  dvdsmulgcd  12346  bezoutr  12353  lcmval  12385  lcmcllem  12389  lcmgcdlem  12399  mulgcddvds  12416  rpmulgcd2  12417  divgcdcoprm0  12423  cncongr1  12425  cncongr2  12426  prmind2  12442  exprmfct  12460  2sqpwodd  12498  hashdvds  12543  phimullem  12547  eulerthlem1  12549  eulerthlema  12552  eulerthlemh  12553  eulerthlemth  12554  prmdiv  12557  prmdiveq  12558  pythagtriplem2  12589  pythagtrip  12606  pcpremul  12616  pcqmul  12626  pcaddlem  12662  prmpwdvds  12678  4sqlem5  12705  4sqlem10  12710  4sqlem14  12727  oddennn  12763  mulgass  13495  mulgmodid  13497  znunit  14421  znrrg  14422  mpodvdsmulf1o  15462  lgsval  15481  lgsdir2lem5  15509  lgsdirprm  15511  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsdi  15514  lgsne0  15515  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem1cl  15536  gausslemma2dlem1f1o  15537  gausslemma2dlem2  15539  gausslemma2dlem3  15540  gausslemma2dlem4  15541  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem5  15543  gausslemma2dlem6  15544  gausslemma2dlem7  15545  gausslemma2d  15546  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgseisen  15551  lgsquadlem1  15554  lgsquad2lem1  15558  lgsquad3  15561  2lgslem1a1  15563  2lgslem1a2  15564  2lgslem1b  15566  2lgslem3b1  15575  2lgslem3c1  15576  2lgsoddprmlem2  15583  2sqlem3  15594  2sqlem4  15595