Theorem zmulcld 9598

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9523	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013   · cmul 8027  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  qapne  9863  qtri3or  10490  2tnp1ge0ge0  10551  flhalf  10552  intfracq  10572  zmodcl  10596  modqmul1  10629  addmodlteq  10650  sqoddm1div8  10945  eirraplem  12328  dvdscmulr  12371  dvdsmulcr  12372  modmulconst  12374  dvds2ln  12375  dvdsmod  12413  3dvds  12415  even2n  12425  2tp1odd  12435  ltoddhalfle  12444  m1expo  12451  m1exp1  12452  divalglemqt  12470  modremain  12480  flodddiv4  12487  bits0e  12500  bits0o  12501  bitsp1e  12503  bitsp1o  12504  bitsmod  12507  bitscmp  12509  bitsinv1lem  12512  gcdaddm  12545  gcdmultipled  12554  bezoutlemnewy  12557  bezoutlemstep  12558  bezoutlembi  12566  mulgcd  12577  dvdsmulgcd  12586  bezoutr  12593  lcmval  12625  lcmcllem  12629  lcmgcdlem  12639  mulgcddvds  12656  rpmulgcd2  12657  divgcdcoprm0  12663  cncongr1  12665  cncongr2  12666  prmind2  12682  exprmfct  12700  2sqpwodd  12738  hashdvds  12783  phimullem  12787  eulerthlem1  12789  eulerthlema  12792  eulerthlemh  12793  eulerthlemth  12794  prmdiv  12797  prmdiveq  12798  pythagtriplem2  12829  pythagtrip  12846  pcpremul  12856  pcqmul  12866  pcaddlem  12902  prmpwdvds  12918  4sqlem5  12945  4sqlem10  12950  4sqlem14  12967  oddennn  13003  mulgass  13736  mulgmodid  13738  znunit  14663  znrrg  14664  mpodvdsmulf1o  15704  lgsval  15723  lgsdir2lem5  15751  lgsdirprm  15753  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsdi  15756  lgsne0  15757  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem1cl  15778  gausslemma2dlem1f1o  15779  gausslemma2dlem2  15781  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2dlem7  15787  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquad2lem1  15800  lgsquad3  15803  2lgslem1a1  15805  2lgslem1a2  15806  2lgslem1b  15808  2lgslem3b1  15817  2lgslem3c1  15818  2lgsoddprmlem2  15825  2sqlem3  15836  2sqlem4  15837