Theorem zmulcld 9473

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925   · cmul 7903  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  qapne  9732  qtri3or  10349  2tnp1ge0ge0  10410  flhalf  10411  intfracq  10431  zmodcl  10455  modqmul1  10488  addmodlteq  10509  sqoddm1div8  10804  eirraplem  11961  dvdscmulr  12004  dvdsmulcr  12005  modmulconst  12007  dvds2ln  12008  dvdsmod  12046  3dvds  12048  even2n  12058  2tp1odd  12068  ltoddhalfle  12077  m1expo  12084  m1exp1  12085  divalglemqt  12103  modremain  12113  flodddiv4  12120  bits0e  12133  bits0o  12134  bitsp1e  12136  bitsp1o  12137  bitsmod  12140  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  gcdaddm  12178  gcdmultipled  12187  bezoutlemnewy  12190  bezoutlemstep  12191  bezoutlembi  12199  mulgcd  12210  dvdsmulgcd  12219  bezoutr  12226  lcmval  12258  lcmcllem  12262  lcmgcdlem  12272  mulgcddvds  12289  rpmulgcd2  12290  divgcdcoprm0  12296  cncongr1  12298  cncongr2  12299  prmind2  12315  exprmfct  12333  2sqpwodd  12371  hashdvds  12416  phimullem  12420  eulerthlem1  12422  eulerthlema  12425  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  prmdiv  12430  prmdiveq  12431  pythagtriplem2  12462  pythagtrip  12479  pcpremul  12489  pcqmul  12499  pcaddlem  12535  prmpwdvds  12551  4sqlem5  12578  4sqlem10  12583  4sqlem14  12600  oddennn  12636  mulgass  13367  mulgmodid  13369  znunit  14293  znrrg  14294  mpodvdsmulf1o  15334  lgsval  15353  lgsdir2lem5  15381  lgsdirprm  15383  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1cl  15408  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem2  15411  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  gausslemma2dlem7  15417  gausslemma2d  15418  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgseisen  15423  lgsquadlem1  15426  lgsquad2lem1  15430  lgsquad3  15433  2lgslem1a1  15435  2lgslem1a2  15436  2lgslem1b  15438  2lgslem3b1  15447  2lgslem3c1  15448  2lgsoddprmlem2  15455  2sqlem3  15466  2sqlem4  15467