Theorem zmulcld 9340

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853   · cmul 7779  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  qapne  9598  qtri3or  10199  2tnp1ge0ge0  10257  flhalf  10258  intfracq  10276  zmodcl  10300  modqmul1  10333  addmodlteq  10354  sqoddm1div8  10629  eirraplem  11739  dvdscmulr  11782  dvdsmulcr  11783  modmulconst  11785  dvds2ln  11786  dvdsmod  11822  even2n  11833  2tp1odd  11843  ltoddhalfle  11852  m1expo  11859  m1exp1  11860  divalglemqt  11878  modremain  11888  flodddiv4  11893  gcdaddm  11939  gcdmultipled  11948  bezoutlemnewy  11951  bezoutlemstep  11952  bezoutlembi  11960  mulgcd  11971  dvdsmulgcd  11980  bezoutr  11987  lcmval  12017  lcmcllem  12021  lcmgcdlem  12031  mulgcddvds  12048  rpmulgcd2  12049  divgcdcoprm0  12055  cncongr1  12057  cncongr2  12058  prmind2  12074  exprmfct  12092  2sqpwodd  12130  hashdvds  12175  phimullem  12179  eulerthlem1  12181  eulerthlema  12184  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  prmdiv  12189  prmdiveq  12190  pythagtriplem2  12220  pythagtrip  12237  pcpremul  12247  pcqmul  12257  pcaddlem  12292  prmpwdvds  12307  4sqlem5  12334  4sqlem10  12339  oddennn  12347  lgsval  13699  lgsdir2lem5  13727  lgsdirprm  13729  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsdi  13732  lgsne0  13733  2sqlem3  13747  2sqlem4  13748