Theorem zmulcld 9536

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967   · cmul 7965  ℤcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  qapne  9795  qtri3or  10420  2tnp1ge0ge0  10481  flhalf  10482  intfracq  10502  zmodcl  10526  modqmul1  10559  addmodlteq  10580  sqoddm1div8  10875  eirraplem  12203  dvdscmulr  12246  dvdsmulcr  12247  modmulconst  12249  dvds2ln  12250  dvdsmod  12288  3dvds  12290  even2n  12300  2tp1odd  12310  ltoddhalfle  12319  m1expo  12326  m1exp1  12327  divalglemqt  12345  modremain  12355  flodddiv4  12362  bits0e  12375  bits0o  12376  bitsp1e  12378  bitsp1o  12379  bitsmod  12382  bitscmp  12384  bitsinv1lem  12387  gcdaddm  12420  gcdmultipled  12429  bezoutlemnewy  12432  bezoutlemstep  12433  bezoutlembi  12441  mulgcd  12452  dvdsmulgcd  12461  bezoutr  12468  lcmval  12500  lcmcllem  12504  lcmgcdlem  12514  mulgcddvds  12531  rpmulgcd2  12532  divgcdcoprm0  12538  cncongr1  12540  cncongr2  12541  prmind2  12557  exprmfct  12575  2sqpwodd  12613  hashdvds  12658  phimullem  12662  eulerthlem1  12664  eulerthlema  12667  eulerthlemh  12668  eulerthlemth  12669  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  pythagtriplem2  12704  pythagtrip  12721  pcpremul  12731  pcqmul  12741  pcaddlem  12777  prmpwdvds  12793  4sqlem5  12820  4sqlem10  12825  4sqlem14  12842  oddennn  12878  mulgass  13610  mulgmodid  13612  znunit  14536  znrrg  14537  mpodvdsmulf1o  15577  lgsval  15596  lgsdir2lem5  15624  lgsdirprm  15626  lgsdir  15627  lgsdilem2  15628  lgsdi  15629  lgsne0  15630  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem1cl  15651  gausslemma2dlem1f1o  15652  gausslemma2dlem2  15654  gausslemma2dlem3  15655  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem5  15658  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2dlem7  15660  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlem1  15669  lgsquad2lem1  15673  lgsquad3  15676  2lgslem1a1  15678  2lgslem1a2  15679  2lgslem1b  15681  2lgslem3b1  15690  2lgslem3c1  15691  2lgsoddprmlem2  15698  2sqlem3  15709  2sqlem4  15710