Theorem zmulcld 9753

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9677	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075   · cmul 8174  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  qapne  10018  qtri3or  10653  2tnp1ge0ge0  10714  flhalf  10715  intfracq  10735  zmodcl  10759  modqmul1  10792  addmodlteq  10813  sqoddm1div8  11109  eirraplem  12522  dvdscmulr  12565  dvdsmulcr  12566  modmulconst  12568  dvds2ln  12569  dvdsmod  12607  3dvds  12609  even2n  12619  2tp1odd  12629  ltoddhalfle  12638  m1expo  12645  m1exp1  12646  divalglemqt  12664  modremain  12674  flodddiv4  12681  bits0e  12694  bits0o  12695  bitsp1e  12697  bitsp1o  12698  bitsmod  12701  bitscmp  12703  bitsinv1lem  12706  gcdaddm  12739  gcdmultipled  12748  bezoutlemnewy  12751  bezoutlemstep  12752  bezoutlembi  12760  mulgcd  12771  dvdsmulgcd  12780  bezoutr  12787  lcmval  12819  lcmcllem  12823  lcmgcdlem  12833  mulgcddvds  12850  rpmulgcd2  12851  divgcdcoprm0  12857  cncongr1  12859  cncongr2  12860  prmind2  12876  exprmfct  12894  2sqpwodd  12932  hashdvds  12977  phimullem  12981  eulerthlem1  12983  eulerthlema  12986  eulerthlemh  12987  eulerthlemth  12988  prmdiv  12991  prmdiveq  12992  pythagtriplem2  13023  pythagtrip  13040  pcpremul  13050  pcqmul  13060  pcaddlem  13096  prmpwdvds  13112  4sqlem5  13139  4sqlem10  13144  4sqlem14  13161  oddennn  13261  mulgass  13939  mulgmodid  13941  znunit  14966  znrrg  14967  mpodvdsmulf1o  16018  lgsval  16037  lgsdir2lem5  16065  lgsdirprm  16067  lgsdir  16068  lgsdilem2  16069  lgsdi  16070  lgsne0  16071  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem1cl  16092  gausslemma2dlem1f1o  16093  gausslemma2dlem2  16095  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  gausslemma2dlem7  16101  gausslemma2d  16102  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlem1  16110  lgsquad2lem1  16114  lgsquad3  16117  2lgslem1a1  16119  2lgslem1a2  16120  2lgslem1b  16122  2lgslem3b1  16131  2lgslem3c1  16132  2lgsoddprmlem2  16139  2sqlem3  16150  2sqlem4  16151