Theorem zmulcld 9319

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842   · cmul 7758  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  qapne  9577  qtri3or  10178  2tnp1ge0ge0  10236  flhalf  10237  intfracq  10255  zmodcl  10279  modqmul1  10312  addmodlteq  10333  sqoddm1div8  10608  eirraplem  11717  dvdscmulr  11760  dvdsmulcr  11761  modmulconst  11763  dvds2ln  11764  dvdsmod  11800  even2n  11811  2tp1odd  11821  ltoddhalfle  11830  m1expo  11837  m1exp1  11838  divalglemqt  11856  modremain  11866  flodddiv4  11871  gcdaddm  11917  gcdmultipled  11926  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemstep  11930  bezoutlembi  11938  mulgcd  11949  dvdsmulgcd  11958  bezoutr  11965  lcmval  11995  lcmcllem  11999  lcmgcdlem  12009  mulgcddvds  12026  rpmulgcd2  12027  divgcdcoprm0  12033  cncongr1  12035  cncongr2  12036  prmind2  12052  exprmfct  12070  2sqpwodd  12108  hashdvds  12153  phimullem  12157  eulerthlem1  12159  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  prmdiv  12167  prmdiveq  12168  pythagtriplem2  12198  pythagtrip  12215  pcpremul  12225  pcqmul  12235  pcaddlem  12270  prmpwdvds  12285  4sqlem5  12312  4sqlem10  12317  oddennn  12325  lgsval  13545  lgsdir2lem5  13573  lgsdirprm  13575  lgsdir  13576  lgsdilem2  13577  lgsdi  13578  lgsne0  13579  2sqlem3  13593  2sqlem4  13594