Theorem zmulcld 9669

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 9594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028   · cmul 8097  ℤcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  qapne  9934  qtri3or  10563  2tnp1ge0ge0  10624  flhalf  10625  intfracq  10645  zmodcl  10669  modqmul1  10702  addmodlteq  10723  sqoddm1div8  11018  eirraplem  12418  dvdscmulr  12461  dvdsmulcr  12462  modmulconst  12464  dvds2ln  12465  dvdsmod  12503  3dvds  12505  even2n  12515  2tp1odd  12525  ltoddhalfle  12534  m1expo  12541  m1exp1  12542  divalglemqt  12560  modremain  12570  flodddiv4  12577  bits0e  12590  bits0o  12591  bitsp1e  12593  bitsp1o  12594  bitsmod  12597  bitscmp  12599  bitsinv1lem  12602  gcdaddm  12635  gcdmultipled  12644  bezoutlemnewy  12647  bezoutlemstep  12648  bezoutlembi  12656  mulgcd  12667  dvdsmulgcd  12676  bezoutr  12683  lcmval  12715  lcmcllem  12719  lcmgcdlem  12729  mulgcddvds  12746  rpmulgcd2  12747  divgcdcoprm0  12753  cncongr1  12755  cncongr2  12756  prmind2  12772  exprmfct  12790  2sqpwodd  12828  hashdvds  12873  phimullem  12877  eulerthlem1  12879  eulerthlema  12882  eulerthlemh  12883  eulerthlemth  12884  prmdiv  12887  prmdiveq  12888  pythagtriplem2  12919  pythagtrip  12936  pcpremul  12946  pcqmul  12956  pcaddlem  12992  prmpwdvds  13008  4sqlem5  13035  4sqlem10  13040  4sqlem14  13057  oddennn  13093  mulgass  13826  mulgmodid  13828  znunit  14755  znrrg  14756  mpodvdsmulf1o  15804  lgsval  15823  lgsdir2lem5  15851  lgsdirprm  15853  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsdi  15856  lgsne0  15857  gausslemma2dlem1a  15877  gausslemma2dlem1cl  15878  gausslemma2dlem1f1o  15879  gausslemma2dlem2  15881  gausslemma2dlem3  15882  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem5  15885  gausslemma2dlem6  15886  gausslemma2dlem7  15887  gausslemma2d  15888  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgseisenlem4  15892  lgseisen  15893  lgsquadlem1  15896  lgsquad2lem1  15900  lgsquad3  15903  2lgslem1a1  15905  2lgslem1a2  15906  2lgslem1b  15908  2lgslem3b1  15917  2lgslem3c1  15918  2lgsoddprmlem2  15925  2sqlem3  15936  2sqlem4  15937