Theorem dvdsrcld 13729

Description: Closure of a dividing element. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrcld.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvdsrcld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrcld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		dvdsrvald.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsrvald.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
5		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 13726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8	7	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  SRingcsrg 13595  ∥_rcdsr 13718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mgp 13553  df-srg 13596  df-dvdsr 13721

This theorem is referenced by:  unitcld  13740