Theorem dvdsrcld 14514

Description: Closure of a dividing element. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrcld.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvdsrcld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrcld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		dvdsrvald.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsrvald.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
5		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 14511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8	7	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  ._rcmulr 13492  SRingcsrg 14375  ∥_rcdsr 14502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mgp 14326  df-srg 14376  df-dvdsr 14505

This theorem is used by:  unitcld  14525