Theorem dvdsrcld 13903

Description: Closure of a dividing element. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrcld.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvdsrcld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrcld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		dvdsrvald.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsrvald.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
5		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 13900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8	7	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954  SRingcsrg 13769  ∥_rcdsr 13892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mgp 13727  df-srg 13770  df-dvdsr 13895

This theorem is referenced by:  unitcld  13914