Theorem dvdsrcld 14026

Description: Closure of a dividing element. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrcld.d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrcld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvdsrcld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrcld.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		dvdsrvald.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsrvald.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
4		dvdsrvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
5		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
6	2, 3, 4, 5	dvdsrd 14023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8	7	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  SRingcsrg 13892  ∥_rcdsr 14015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mgp 13850  df-srg 13893  df-dvdsr 14018

This theorem is referenced by:  unitcld  14037