ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1r GIF version

Theorem m1r 7579
Description: The constant -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
m1r -1RR

Proof of Theorem m1r
StepHypRef Expression
1 1pr 7381 . . . 4 1PP
2 addclpr 7364 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 422 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
4 opelxpi 4574 . . . 4 ((1PP ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P))
51, 3, 4mp2an 422 . . 3 ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P)
6 enrex 7564 . . . 4 ~R ∈ V
76ecelqsi 6486 . . 3 (⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
85, 7ax-mp 5 . 2 [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9 df-m1r 7560 . 2 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
10 df-nr 7554 . 2 R = ((P × P) / ~R )
118, 9, 103eltr4i 2221 1 -1RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480  cop 3530   × cxp 4540  (class class class)co 5777  [cec 6430   / cqs 6431  Pcnp 7118  1Pc1p 7119   +P cpp 7120   ~R cer 7123  Rcnr 7124  -1Rcm1r 7127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-eprel 4214  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-1o 6316  df-2o 6317  df-oadd 6320  df-omul 6321  df-er 6432  df-ec 6434  df-qs 6438  df-ni 7131  df-pli 7132  df-mi 7133  df-lti 7134  df-plpq 7171  df-mpq 7172  df-enq 7174  df-nqqs 7175  df-plqqs 7176  df-mqqs 7177  df-1nqqs 7178  df-rq 7179  df-ltnqqs 7180  df-enq0 7251  df-nq0 7252  df-0nq0 7253  df-plq0 7254  df-mq0 7255  df-inp 7293  df-i1p 7294  df-iplp 7295  df-enr 7553  df-nr 7554  df-m1r 7560
This theorem is referenced by:  pn0sr  7598  negexsr  7599  ltm1sr  7604  caucvgsrlemoffval  7623  caucvgsrlemofff  7624  caucvgsrlemoffres  7627  caucvgsr  7629  mappsrprg  7631  map2psrprg  7632  suplocsrlempr  7634  suplocsrlem  7635  mulcnsr  7662  mulresr  7665  mulcnsrec  7670  axmulcl  7693  axmulass  7700  axdistr  7701  axi2m1  7702  axrnegex  7706  axcnre  7708
  Copyright terms: Public domain W3C validator