Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemsumlt GIF version

Theorem cvgratnnlemsumlt 10985
 Description: Lemma for cvgratnn 10988. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemsumlt (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐴,𝑖,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnzd 8930 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 1zzd 8840 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 cvgratnn.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76, 2zsubcld 8936 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
8 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 7579 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 271 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 elfznn 9531 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1211adantl 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1312nnnn0d 8789 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1410, 13expcld 10149 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 oveq2 5676 . . . 4 (𝑘 = (𝑖𝑀) → (𝐴𝑘) = (𝐴↑(𝑖𝑀)))
162, 3, 7, 14, 15fsumshft 10901 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖𝑀)))
17 1cnd 7567 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
181nncnd 8499 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1917, 18addcomd 7696 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
206zcnd 8932 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120, 18npcand 7860 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
2219, 21oveq12d 5686 . . . 4 (𝜑 → ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑀 + 1)...𝑁))
2322sumeq1d 10818 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)))
2416, 23eqtrd 2121 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)))
25 fzval3 9678 . . . . 5 ((𝑁𝑀) ∈ ℤ → (1...(𝑁𝑀)) = (1..^((𝑁𝑀) + 1)))
2625sumeq1d 10818 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘))
277, 26syl 14 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘))
28 1red 7566 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 cvgratnn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
308, 28, 29ltapd 8176 . . . . 5 (𝜑𝐴 # 1)
31 1nn0 8752 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
337peano2zd 8934 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℤ)
34 eluzle 9094 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
354, 34syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
366zred 8931 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
371nnred 8498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3836, 37subge0d 8075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
3935, 38mpbird 166 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑀))
407zred 8931 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
4128, 40addge02d 8074 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1)))
4239, 41mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1))
43 eluz2 9088 . . . . . 6 (((𝑁𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1)))
443, 33, 42, 43syl3anbrc 1128 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘1))
459, 30, 32, 44geosergap 10963 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘) = (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)))
469exp1d 10144 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
4746, 8eqeltrd 2165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑1) ∈ ℝ)
48 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
498, 48elrpd 9234 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5049, 33rpexpcld 10173 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1)) ∈ ℝ+)
5150rpred 9236 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1)) ∈ ℝ)
5247, 51resubcld 7922 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) ∈ ℝ)
5328, 8resubcld 7922 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
548, 28posdifd 8072 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
5529, 54mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
5653, 55elrpd 9234 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
5746oveq1d 5683 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) = (𝐴 − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))))
588, 50ltsubrpd 9269 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) < 𝐴)
5957, 58eqbrtrd 3873 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) < 𝐴)
6052, 8, 56, 59ltdiv1dd 9294 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6145, 60eqbrtrd 3873 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6227, 61eqbrtrd 3873 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6324, 62eqbrtrrd 3875 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716   / cdiv 8202  ℕcn 8485  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  ...cfz 9487  ..^cfzo 9616  ↑cexp 10017  abscabs 10493  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  10987
 Copyright terms: Public domain W3C validator