Theorem cvgratnnlemsumlt 11297

Description: Lemma for cvgratnn 11300. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemsumlt	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐴,𝑖,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1zzd 9081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9335	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6, 2	zsubcld 9178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
8		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		elfznn 9834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	11	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	10, 13	expcld 10424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 5782	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 − 𝑀) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
16	2, 3, 7, 14, 15	fsumshft 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
17		1cnd 7782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	1	nncnd 8734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	17, 18	addcomd 7913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
20	6	zcnd 9174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	npcand 8077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
22	19, 21	oveq12d 5792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝑀 + 1)...𝑁))
23	22	sumeq1d 11135	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
24	16, 23	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
25		fzval3 9981	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 𝑀)) = (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1)))
26	25	sumeq1d 11135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
27	7, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
28		1red 7781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
30	8, 28, 29	ltapd 8400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
31		1nn0 8993	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
33	7	peano2zd 9176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ)
34		eluzle 9338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	4, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
36	6	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	1	nnred 8733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	36, 37	subge0d 8297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
39	35, 38	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))
40	7	zred 9173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
41	28, 40	addge02d 8296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
42	39, 41	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1))
43		eluz2 9332	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
44	3, 33, 42, 43	syl3anbrc 1165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
45	9, 30, 32, 44	geosergap 11275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)))
46	9	exp1d 10419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
47	46, 8	eqeltrd 2216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) ∈ ℝ)
48		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
49	8, 48	elrpd 9481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49, 33	rpexpcld 10448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ)
52	47, 51	resubcld 8143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) ∈ ℝ)
53	28, 8	resubcld 8143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
54	8, 28	posdifd 8294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
55	29, 54	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
56	53, 55	elrpd 9481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
57	46	oveq1d 5789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) = (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))))
58	8, 50	ltsubrpd 9516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
59	57, 58	eqbrtrd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
60	52, 8, 56, 59	ltdiv1dd 9541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
61	45, 60	eqbrtrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
62	27, 61	eqbrtrd 3950	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
63	24, 62	eqbrtrrd 3952	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933   / cdiv 8432  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  ..^cfzo 9919  ↑cexp 10292  abscabs 10769  Σcsu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11299