ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemsumlt GIF version

Theorem cvgratnnlemsumlt 11538
Description: Lemma for cvgratnn 11541. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cvgratnn.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
cvgratnn.gt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
cvgratnn.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
cvgratnn.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐ด ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
cvgratnn.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
cvgratnn.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemsumlt (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)) < (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘–,๐‘˜   ๐‘–,๐‘€,๐‘˜   ๐‘–,๐‘   ๐œ‘,๐‘–
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘–)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.m . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21nnzd 9376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 1zzd 9282 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4 cvgratnn.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
5 eluzelz 9539 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
64, 5syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
76, 2zsubcld 9382 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
8 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98recnd 7988 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
109adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 elfznn 10056 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1211adantl 277 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1312nnnn0d 9231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1410, 13expcld 10656 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
15 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘˜ = (๐‘– โˆ’ ๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)))
162, 3, 7, 14, 15fsumshft 11454 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘– โˆˆ ((1 + ๐‘€)...((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€))(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)))
17 1cnd 7975 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
181nncnd 8935 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcomd 8110 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐‘€) = (๐‘€ + 1))
206zcnd 9378 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2120, 18npcand 8274 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€) = ๐‘)
2219, 21oveq12d 5895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 + ๐‘€)...((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€)) = ((๐‘€ + 1)...๐‘))
2322sumeq1d 11376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ((1 + ๐‘€)...((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + ๐‘€))(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)))
2416, 23eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘– โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)))
25 fzval3 10206 . . . . 5 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (1..^((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1)))
2625sumeq1d 11376 . . . 4 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1..^((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
277, 26syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1..^((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
28 1red 7974 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 cvgratnn.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
308, 28, 29ltapd 8597 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
31 1nn0 9194 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
3231a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
337peano2zd 9380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„ค)
34 eluzle 9542 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
354, 34syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
366zred 9377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
371nnred 8934 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3836, 37subge0d 8494 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
3935, 38mpbird 167 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
407zred 9377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„)
4128, 40addge02d 8493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ†” 1 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1)))
4239, 41mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))
43 eluz2 9536 . . . . . 6 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1)))
443, 33, 42, 43syl3anbrc 1181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
459, 30, 32, 44geosergap 11516 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1..^((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘1) โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)))
469exp1d 10651 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
4746, 8eqeltrd 2254 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘1) โˆˆ โ„)
48 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
498, 48elrpd 9695 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
5049, 33rpexpcld 10680 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1)) โˆˆ โ„+)
5150rpred 9698 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1)) โˆˆ โ„)
5247, 51resubcld 8340 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) โˆˆ โ„)
5328, 8resubcld 8340 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
548, 28posdifd 8491 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ ๐ด)))
5529, 54mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 โˆ’ ๐ด))
5653, 55elrpd 9695 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
5746oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) = (๐ด โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))))
588, 50ltsubrpd 9731 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) < ๐ด)
5957, 58eqbrtrd 4027 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘1) โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) < ๐ด)
6052, 8, 56, 59ltdiv1dd 9756 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘1) โˆ’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))) / (1 โˆ’ ๐ด)) < (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
6145, 60eqbrtrd 4027 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1..^((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) < (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
6227, 61eqbrtrd 4027 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(๐ดโ†‘๐‘˜) < (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
6324, 62eqbrtrrd 4029 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ดโ†‘(๐‘– โˆ’ ๐‘€)) < (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010  ..^cfzo 10144  โ†‘cexp 10521  abscabs 11008  ฮฃcsu 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11540
  Copyright terms: Public domain W3C validator