Theorem cvgratnnlemsumlt 11554

Description: Lemma for cvgratnn 11557. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemsumlt	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐴,𝑖,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1zzd 9298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9555	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6, 2	zsubcld 9398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
8		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 8004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		elfznn 10072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	10, 13	expcld 10672	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 5899	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 − 𝑀) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
16	2, 3, 7, 14, 15	fsumshft 11470	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
17		1cnd 7991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	1	nncnd 8951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	17, 18	addcomd 8126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
20	6	zcnd 9394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	npcand 8290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
22	19, 21	oveq12d 5909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝑀 + 1)...𝑁))
23	22	sumeq1d 11392	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
24	16, 23	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
25		fzval3 10222	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 𝑀)) = (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1)))
26	25	sumeq1d 11392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
27	7, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
28		1red 7990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
30	8, 28, 29	ltapd 8613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
31		1nn0 9210	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
33	7	peano2zd 9396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ)
34		eluzle 9558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	4, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
36	6	zred 9393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	1	nnred 8950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	36, 37	subge0d 8510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
39	35, 38	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))
40	7	zred 9393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
41	28, 40	addge02d 8509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1))
43		eluz2 9552	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
44	3, 33, 42, 43	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
45	9, 30, 32, 44	geosergap 11532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)))
46	9	exp1d 10667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
47	46, 8	eqeltrd 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) ∈ ℝ)
48		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
49	8, 48	elrpd 9711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49, 33	rpexpcld 10696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ)
52	47, 51	resubcld 8356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) ∈ ℝ)
53	28, 8	resubcld 8356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
54	8, 28	posdifd 8507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
55	29, 54	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
56	53, 55	elrpd 9711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
57	46	oveq1d 5906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) = (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))))
58	8, 50	ltsubrpd 9747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
59	57, 58	eqbrtrd 4040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
60	52, 8, 56, 59	ltdiv1dd 9772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
61	45, 60	eqbrtrd 4040	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
62	27, 61	eqbrtrd 4040	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
63	24, 62	eqbrtrrd 4042	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  ℂcc 7827  ℝcr 7828  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   · cmul 7834   < clt 8010   ≤ cle 8011   − cmin 8146   / cdiv 8647  ℕcn 8937  ℕ₀cn0 9194  ℤcz 9271  ℤ_≥cuz 9546  ...cfz 10026  ..^cfzo 10160  ↑cexp 10537  abscabs 11024  Σcsu 11379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11556