Theorem cvgratnnlemsumlt 11469

Description: Lemma for cvgratnn 11472. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
cvgratnn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemsumlt	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐴,𝑖,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1zzd 9218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		cvgratnn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 9475	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6, 2	zsubcld 9318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
8		cvgratnn.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		elfznn 9989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	11	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	10, 13	expcld 10588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 5850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 − 𝑀) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
16	2, 3, 7, 14, 15	fsumshft 11385	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
17		1cnd 7915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	1	nncnd 8871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	17, 18	addcomd 8049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
20	6	zcnd 9314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	npcand 8213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
22	19, 21	oveq12d 5860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝑀 + 1)...𝑁))
23	22	sumeq1d 11307	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
24	16, 23	eqtrd 2198	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)))
25		fzval3 10139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → (1...(𝑁 − 𝑀)) = (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1)))
26	25	sumeq1d 11307	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
27	7, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘))
28		1red 7914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		cvgratnn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
30	8, 28, 29	ltapd 8536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
31		1nn0 9130	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
33	7	peano2zd 9316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ)
34		eluzle 9478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	4, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
36	6	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	1	nnred 8870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	36, 37	subge0d 8433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
39	35, 38	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))
40	7	zred 9313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
41	28, 40	addge02d 8432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
42	39, 41	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1))
43		eluz2 9472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 − 𝑀) + 1)))
44	3, 33, 42, 43	syl3anbrc 1171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
45	9, 30, 32, 44	geosergap 11447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)))
46	9	exp1d 10583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
47	46, 8	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) ∈ ℝ)
48		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
49	8, 48	elrpd 9629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
50	49, 33	rpexpcld 10612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1)) ∈ ℝ)
52	47, 51	resubcld 8279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) ∈ ℝ)
53	28, 8	resubcld 8279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
54	8, 28	posdifd 8430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
55	29, 54	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
56	53, 55	elrpd 9629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
57	46	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) = (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))))
58	8, 50	ltsubrpd 9665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
59	57, 58	eqbrtrd 4004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) < 𝐴)
60	52, 8, 56, 59	ltdiv1dd 9690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
61	45, 60	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁 − 𝑀) + 1))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
62	27, 61	eqbrtrd 4004	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 𝑀))(𝐴↑𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
63	24, 62	eqbrtrrd 4006	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 − 𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ..^cfzo 10077  ↑cexp 10454  abscabs 10939  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11471