ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemsumlt GIF version

Theorem cvgratnnlemsumlt 11309
Description: Lemma for cvgratnn 11312. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnn.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnn.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemsumlt (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐴,𝑖,𝑘   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑖)

Proof of Theorem cvgratnnlemsumlt
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnzd 9184 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 1zzd 9093 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 cvgratnn.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzelz 9347 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76, 2zsubcld 9190 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
8 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 7806 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 elfznn 9846 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1211adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1312nnnn0d 9042 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1410, 13expcld 10436 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 oveq2 5782 . . . 4 (𝑘 = (𝑖𝑀) → (𝐴𝑘) = (𝐴↑(𝑖𝑀)))
162, 3, 7, 14, 15fsumshft 11225 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖𝑀)))
17 1cnd 7794 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
181nncnd 8746 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1917, 18addcomd 7925 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
206zcnd 9186 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120, 18npcand 8089 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
2219, 21oveq12d 5792 . . . 4 (𝜑 → ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑀 + 1)...𝑁))
2322sumeq1d 11147 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((1 + 𝑀)...((𝑁𝑀) + 𝑀))(𝐴↑(𝑖𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)))
2416, 23eqtrd 2172 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)))
25 fzval3 9993 . . . . 5 ((𝑁𝑀) ∈ ℤ → (1...(𝑁𝑀)) = (1..^((𝑁𝑀) + 1)))
2625sumeq1d 11147 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℤ → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘))
277, 26syl 14 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘))
28 1red 7793 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 cvgratnn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
308, 28, 29ltapd 8412 . . . . 5 (𝜑𝐴 # 1)
31 1nn0 9005 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
337peano2zd 9188 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℤ)
34 eluzle 9350 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
354, 34syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
366zred 9185 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
371nnred 8745 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3836, 37subge0d 8309 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
3935, 38mpbird 166 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑀))
407zred 9185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
4128, 40addge02d 8308 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1)))
4239, 41mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1))
43 eluz2 9344 . . . . . 6 (((𝑁𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁𝑀) + 1)))
443, 33, 42, 43syl3anbrc 1165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘1))
459, 30, 32, 44geosergap 11287 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘) = (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)))
469exp1d 10431 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
4746, 8eqeltrd 2216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑1) ∈ ℝ)
48 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
498, 48elrpd 9493 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
5049, 33rpexpcld 10460 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1)) ∈ ℝ+)
5150rpred 9495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1)) ∈ ℝ)
5247, 51resubcld 8155 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) ∈ ℝ)
5328, 8resubcld 8155 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
548, 28posdifd 8306 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
5529, 54mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
5653, 55elrpd 9493 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
5746oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) = (𝐴 − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))))
588, 50ltsubrpd 9528 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) < 𝐴)
5957, 58eqbrtrd 3950 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) < 𝐴)
6052, 8, 56, 59ltdiv1dd 9553 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑1) − (𝐴↑((𝑁𝑀) + 1))) / (1 − 𝐴)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6145, 60eqbrtrd 3950 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1..^((𝑁𝑀) + 1))(𝐴𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6227, 61eqbrtrd 3950 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁𝑀))(𝐴𝑘) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
6324, 62eqbrtrrd 3952 1 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812  cle 7813  cmin 7945   / cdiv 8444  cn 8732  0cn0 8989  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802  ..^cfzo 9931  cexp 10304  abscabs 10781  Σcsu 11134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11311
  Copyright terms: Public domain W3C validator