Theorem expnlbnd2 10874

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnlbnd 10873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴)
2		simpl2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl3 1026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 < 𝐵)
4		1re 8133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		ltle 8222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
6	4, 2, 5	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
9		leexp2a 10801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
11		0red 8135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12		1red 8149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 8261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 1)
15	11, 12, 2, 14, 3	lttrd 8260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 𝐵)
16	2, 15	elrpd 9877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17		nnz 9453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
21		eluzelz 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
25	20, 24	lerecd 9900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗))))
26	10, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)))
27	24	rprecred 9892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
28	20	rprecred 9892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ)
29		simpl1 1024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 9880	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		lelttr 8223	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
32	27, 28, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
33	26, 32	mpand 429	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
34	33	anassrs 400	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
35	34	ralrimdva 2610	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
36	35	reximdva 2632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
37	1, 36	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   < clt 8169   ≤ cle 8170   / cdiv 8807  ℕcn 9098  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  ℝ⁺crp 9837  ↑cexp 10747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748

This theorem is referenced by: (None)