ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 GIF version

Theorem expnlbnd2 10543
Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 10542 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴)
2 simpl2 986 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 987 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 < 𝐵)
4 1re 7877 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
5 ltle 7964 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
64, 2, 5sylancr 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
73, 6mpd 13 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8 simprr 522 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
9 leexp2a 10472 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
11 0red 7879 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12 1red 7893 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13 0lt1 8002 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 8001 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 𝐵)
162, 15elrpd 9600 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17 nnz 9186 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1817ad2antrl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 10438 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
21 eluzelz 9448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
2221ad2antll 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 10438 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2416, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2520, 24lerecd 9623 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗))))
2610, 25mpbid 146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)))
2724rprecred 9615 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
2820rprecred 9615 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ)
29 simpl1 985 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3029rpred 9603 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 lelttr 7965 . . . . . . 7 (((1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3326, 32mpand 426 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3433anassrs 398 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3534ralrimdva 2537 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3635reximdva 2559 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
371, 36mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 2128  wral 2435  wrex 2436   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   < clt 7912  cle 7913   / cdiv 8545  cn 8833  cz 9167  cuz 9439  +crp 9560  cexp 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator