Theorem ltexp2a 10702

Description: Ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltexp2a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem ltexp2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 8046	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 8060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 8172	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 < 1)
6		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < 𝐴)
7	2, 3, 1, 5, 6	lttrd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	elrpd 9787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		simpl2 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		rpexpcl 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
13	12	recnd 8074	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
14	13	mulid2d 8064	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑀))
15		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 < 𝑁)
16		simpl3 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		znnsub 9396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
18	9, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	15, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
20		expgt1 10688	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
21	1, 19, 6, 20	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
22	1	recnd 8074	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	1, 7	gt0ap0d 8675	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 # 0)
24		expsubap 10698	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
25	22, 23, 16, 9, 24	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
26	21, 25	breqtrd 4060	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → 1 < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
27		rpexpcl 10669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	rpred 9790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
30	3, 29, 11	ltmuldivd 9838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → ((1 · (𝐴↑𝑀)) < (𝐴↑𝑁) ↔ 1 < ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀))))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) < (𝐴↑𝑁))
32	14, 31	eqbrtrrd 4058	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   · cmul 7903   < clt 8080   − cmin 8216   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ℝ⁺crp 9747  ↑cexp 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650

This theorem is referenced by:  expnass  10756  nn0ltexp2  10820  expcanlem  10826  perfectlem2  15344