Theorem modqval 10513

Description: The value of the modulo operation. The modulo congruence notation of number theory, 𝐽≡𝐾 (modulo 𝑁), can be expressed in our notation as (𝐽 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁). Definition 1 in Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. I (1972), p. 38. Knuth uses "mod" for the operation and "modulo" for the congruence. Unlike Knuth, we restrict the second argument to positive numbers to simplify certain theorems. (This also gives us future flexibility to extend it to any one of several different conventions for a zero or negative second argument, should there be an advantage in doing so.) As with flqcl 10460 we only prove this for rationals although other particular kinds of real numbers may be possible. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqval	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))

Proof of Theorem modqval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		qre 9788	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6	4, 5	elrpd 9857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	5	gt0ne0d 8627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
8		qdivcl 9806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
9	7, 8	syld3an3 1297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
10	9	flqcld 10464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
11	10	zred 9537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
12	4, 11	remulcld 8145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
13	2, 12	resubcld 8495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℝ)
14		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
15	14	fveq2d 5607	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘(𝑥 / 𝑦)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑦)))
16	15	oveq2d 5990	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · (⌊‘(𝑥 / 𝑦))) = (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦))))
17		oveq12 5983	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦 · (⌊‘(𝑥 / 𝑦))) = (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦)))) → (𝑥 − (𝑦 · (⌊‘(𝑥 / 𝑦)))) = (𝐴 − (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦)))))
18	16, 17	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − (𝑦 · (⌊‘(𝑥 / 𝑦)))) = (𝐴 − (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦)))))
19		oveq2 5982	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
20	19	fveq2d 5607	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (⌊‘(𝐴 / 𝑦)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
21		oveq12 5983	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝐵 ∧ (⌊‘(𝐴 / 𝑦)) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) → (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
22	20, 21	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦))) = (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))))
23	22	oveq2d 5990	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 − (𝑦 · (⌊‘(𝐴 / 𝑦)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
24		df-mod 10512	. . 3 ⊢ mod = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 − (𝑦 · (⌊‘(𝑥 / 𝑦)))))
25	18, 23, 24	ovmpog 6110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℝ) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
26	2, 6, 13, 25	syl3anc 1252	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   · cmul 7972   < clt 8149   − cmin 8285   / cdiv 8787  ℚcq 9782  ℝ⁺crp 9817  ⌊cfl 10455   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  modqvalr  10514  modqcl  10515  modq0  10518  modqge0  10521  modqlt  10522  modqdiffl  10524  modqfrac  10526  modqmulnn  10531  zmodcl  10533  modqid  10538  modqcyc  10548  modqadd1  10550  modqmul1  10566  modqdi  10581  modqsubdir  10582  iexpcyc  10833  dvdsmod  12339  divalgmod  12404  modgcd  12478  prmdiv  12723  odzdvds  12734  fldivp1  12837  mulgmodid  13664  lgseisenlem4  15717