Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  georeclim GIF version

Theorem georeclim 11072
 Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
georeclim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21abscld 10745 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3 0red 7586 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 1red 7600 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 0lt1 7707 . . . . . . . 8 0 < 1
65a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 1)
7 georeclim.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
83, 4, 2, 6, 7lttrd 7706 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (abs‘𝐴))
92, 8gt0ap0d 8202 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
10 abs00ap 10626 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
111, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
129, 11mpbid 146 . . . 4 (𝜑𝐴 # 0)
131, 12recclapd 8345 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
14 1cnd 7601 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1514, 1, 12absdivapd 10759 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
16 abs1 10636 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
1716oveq1i 5700 . . . . 5 ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
1815, 17syl6eq 2143 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
192, 8elrpd 9270 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2019recgt1d 9287 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
217, 20mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
2218, 21eqbrtrd 3887 . . 3 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
23 georeclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
2413, 22, 23geolim 11070 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
251, 14, 1, 12divsubdirapd 8394 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
261, 12dividapd 8350 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
2726oveq1d 5705 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
2825, 27eqtrd 2127 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
2928oveq2d 5706 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
30 ax-1cn 7535 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 subcl 7778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
321, 30, 31sylancl 405 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
334, 6elrpd 9270 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
341, 33, 7absgtap 11069 . . . . 5 (𝜑𝐴 # 1)
351, 14, 34subap0d 8216 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
3632, 1, 35, 12recdivapd 8371 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
3729, 36eqtr3d 2129 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
3824, 37breqtrd 3891 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619   − cmin 7750   # cap 8155   / cdiv 8236  ℕ0cn0 8771  seqcseq 10001  ↑cexp 10085  abscabs 10561   ⇝ cli 10837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10913 This theorem is referenced by:  geoisumr  11077  ege2le3  11126  eftlub  11145
 Copyright terms: Public domain W3C validator