Theorem georeclim 12298

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		0red 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		1red 8342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		0lt1 8455	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
7		georeclim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
8	3, 4, 2, 6, 7	lttrd 8454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐴))
9	2, 8	gt0ap0d 8960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
10		abs00ap 11843	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
12	9, 11	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
13	1, 12	recclapd 9114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
14		1cnd 8343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	14, 1, 12	absdivapd 11977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
16		abs1 11853	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
18	15, 17	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
19	2, 8	elrpd 10105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	recgt1d 10123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
21	7, 20	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
22	18, 21	eqbrtrd 4152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
23		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
24	13, 22, 23	geolim 12296	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
25	1, 14, 1, 12	divsubdirapd 9163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
26	1, 12	dividapd 9119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
27	26	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
28	25, 27	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
29	28	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
30		ax-1cn 8273	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		subcl 8527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
32	1, 30, 31	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
33	4, 6	elrpd 10105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
34	1, 33, 7	absgtap 12295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
35	1, 14, 34	subap0d 8975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
36	32, 1, 35, 12	recdivapd 9140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
37	29, 36	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
38	24, 37	breqtrd 4156	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   − cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005  ℕ₀cn0 9568  seqcseq 10898  ↑cexp 10989  abscabs 11778   ⇝ cli 12062

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-ihash 11230  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-sumdc 12138

This theorem is used by:  geoisumr  12303  ege2le3  12456  eftlub  12475