Theorem georeclim 11314

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 10985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		0red 7791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		1red 7805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		0lt1 7913	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
7		georeclim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
8	3, 4, 2, 6, 7	lttrd 7912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐴))
9	2, 8	gt0ap0d 8415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
10		abs00ap 10866	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
12	9, 11	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
13	1, 12	recclapd 8565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
14		1cnd 7806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	14, 1, 12	absdivapd 10999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
16		abs1 10876	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 5792	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
18	15, 17	eqtrdi 2189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
19	2, 8	elrpd 9510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	recgt1d 9528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
21	7, 20	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
22	18, 21	eqbrtrd 3958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
23		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
24	13, 22, 23	geolim 11312	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
25	1, 14, 1, 12	divsubdirapd 8614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
26	1, 12	dividapd 8570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
27	26	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
28	25, 27	eqtrd 2173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
29	28	oveq2d 5798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
30		ax-1cn 7737	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		subcl 7985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
32	1, 30, 31	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
33	4, 6	elrpd 9510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
34	1, 33, 7	absgtap 11311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
35	1, 14, 34	subap0d 8430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
36	32, 1, 35, 12	recdivapd 8591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
37	29, 36	eqtr3d 2175	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
38	24, 37	breqtrd 3962	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   − cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕ₀cn0 9001  seqcseq 10249  ↑cexp 10323  abscabs 10801   ⇝ cli 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  geoisumr  11319  ege2le3  11414  eftlub  11433