Theorem georeclim 11454

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		0red 7900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		1red 7914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		0lt1 8025	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
7		georeclim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
8	3, 4, 2, 6, 7	lttrd 8024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐴))
9	2, 8	gt0ap0d 8527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) # 0)
10		abs00ap 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
12	9, 11	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
13	1, 12	recclapd 8677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
14		1cnd 7915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15	14, 1, 12	absdivapd 11137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
16		abs1 11014	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
17	16	oveq1i 5852	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
18	15, 17	eqtrdi 2215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
19	2, 8	elrpd 9629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
20	19	recgt1d 9647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
21	7, 20	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
22	18, 21	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
23		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
24	13, 22, 23	geolim 11452	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
25	1, 14, 1, 12	divsubdirapd 8726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
26	1, 12	dividapd 8682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
27	26	oveq1d 5857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
28	25, 27	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
29	28	oveq2d 5858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
30		ax-1cn 7846	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		subcl 8097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
32	1, 30, 31	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
33	4, 6	elrpd 9629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
34	1, 33, 7	absgtap 11451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
35	1, 14, 34	subap0d 8542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
36	32, 1, 35, 12	recdivapd 8703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
37	29, 36	eqtr3d 2200	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
38	24, 37	breqtrd 4008	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕ₀cn0 9114  seqcseq 10380  ↑cexp 10454  abscabs 10939   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  geoisumr  11459  ege2le3  11612  eftlub  11631