ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absrpclap GIF version

Theorem absrpclap 10840
Description: The absolute value of a number apart from zero is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absrpclap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem absrpclap
StepHypRef Expression
1 absval 10780 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
21adantr 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
3 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43cjmulrcld 10730 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
53cjmulge0d 10732 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
63cjcld 10719 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 # 0)
83, 7cjap0d 10727 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (∗‘𝐴) # 0)
93, 6, 7, 8mulap0d 8426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) # 0)
104, 5, 9ap0gt0d 8410 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · (∗‘𝐴)))
114, 10elrpd 9488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ+)
12 rpsqrtcl 10820 . . 3 ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ+)
1311, 12syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ ℝ+)
142, 13eqeltrd 2216 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627   · cmul 7632   # cap 8350  +crp 9448  ccj 10618  csqrt 10775  abscabs 10776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778
This theorem is referenced by:  abs00ap  10841  absdivap  10849  absrpclapd  10967
  Copyright terms: Public domain W3C validator