Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cxplt GIF version

Theorem cxplt 13030
 Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxplt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐵) < (𝐴𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxplt
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 rplogcl 12994 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
32adantr 274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
43rpred 9506 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
51, 4remulcld 7815 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
6 simprr 521 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
76, 4remulcld 7815 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8 eflt 12891 . . 3 (((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴)) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
95, 7, 8syl2anc 408 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴)) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
101, 6, 3ltmul1d 9548 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴))))
11 simpll 518 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 0red 7786 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
13 1red 7800 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 7908 . . . . . . 7 0 < 1
1514a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 1)
16 simplr 519 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 < 𝐴)
1712, 13, 11, 15, 16lttrd 7907 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐴)
1811, 17elrpd 9503 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
191recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 rpcxpef 13009 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
2118, 19, 20syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
226recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
23 rpcxpef 13009 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
2418, 22, 23syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
2521, 24breq12d 3945 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝑐𝐵) < (𝐴𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
269, 10, 253bitr4d 219 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴𝑐𝐵) < (𝐴𝑐𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3932  ‘cfv 5126  (class class class)co 5777  ℂcc 7637  ℝcr 7638  0cc0 7639  1c1 7640   · cmul 7644   < clt 7819  ℝ+crp 9463  expce 11372  logclog 12971  ↑𝑐ccxp 12972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759  ax-pre-suploc 7760  ax-addf 7761  ax-mulf 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-disj 3910  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-of 5985  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-er 6432  df-map 6547  df-pm 6548  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-xadd 9583  df-ioo 9698  df-ico 9700  df-icc 9701  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-fac 10496  df-bc 10518  df-ihash 10546  df-shft 10611  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-clim 11072  df-sumdc 11147  df-ef 11378  df-e 11379  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-psmet 12182  df-xmet 12183  df-met 12184  df-bl 12185  df-mopn 12186  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-ntr 12291  df-cn 12383  df-cnp 12384  df-tx 12448  df-cncf 12753  df-limced 12820  df-dvap 12821  df-relog 12973  df-rpcxp 12974 This theorem is referenced by:  cxple  13031  cxplt3  13034  cxpltd  13042
 Copyright terms: Public domain W3C validator