Theorem leexp2a 10978

Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
leexp2a	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem leexp2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 8291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 8305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 8416	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 1)
6		simp2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
7	2, 3, 1, 5, 6	ltletrd 8714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	elrpd 10044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzel2 9876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		rpexpcl 10944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 10047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 8308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑀))
16		uznn0sub 9904	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	16	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		expge1 10962	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
19	1, 17, 6, 18	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
20	1	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	1, 7	gt0ap0d 8920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 # 0)
22		eluzelz 9881	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		expsubap 10973	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
25	20, 21, 23, 10, 24	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
26	19, 25	breqtrd 4140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
27		rpexpcl 10944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
28	8, 23, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	rpred 10047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
30	3, 29, 12	lemuldivd 10097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀))))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁))
32	15, 31	eqbrtrrd 4138	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ℝ⁺crp 10004  ↑cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  11052  leexp2ad  11089  ef01bndlem  12467