Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a GIF version

Theorem leexp2a 10377
 Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 7791 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 7805 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4 0lt1 7913 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 1)
6 simp2 983 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 8209 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
81, 7elrpd 9510 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 eluzel2 9355 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1093ad2ant3 1005 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 rpexpcl 10343 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
1312rpred 9513 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1413recnd 7818 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1514mulid2d 7808 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑀))
16 uznn0sub 9381 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
17163ad2ant3 1005 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 expge1 10361 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1217 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
201recnd 7818 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
211, 7gt0ap0d 8415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 # 0)
22 eluzelz 9359 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23223ad2ant3 1005 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 expsubap 10372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1218 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2619, 25breqtrd 3962 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
27 rpexpcl 10343 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
288, 23, 27syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2928rpred 9513 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
303, 29, 12lemuldivd 9563 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀))))
3126, 30mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁))
3215, 31eqbrtrrd 3960 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   · cmul 7649   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456  ℕ0cn0 9001  ℤcz 9078  ℤ≥cuz 9350  ℝ+crp 9470  ↑cexp 10323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324 This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10448  leexp2ad  10484  ef01bndlem  11499
 Copyright terms: Public domain W3C validator