ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2a GIF version

Theorem leexp2a 10139
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 946 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 7586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 7600 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4 0lt1 7707 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 1)
6 simp2 947 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 7998 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
81, 7elrpd 9270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 eluzel2 9123 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1093ad2ant3 969 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 rpexpcl 10105 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2anc 404 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
1312rpred 9272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1413recnd 7613 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1514mulid2d 7603 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑀))
16 uznn0sub 9149 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
17163ad2ant3 969 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 expge1 10123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1181 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
201recnd 7613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
211, 7gt0ap0d 8202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 # 0)
22 eluzelz 9127 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23223ad2ant3 969 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 expsubap 10134 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 1182 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2619, 25breqtrd 3891 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
27 rpexpcl 10105 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
288, 23, 27syl2anc 404 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2928rpred 9272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
303, 29, 12lemuldivd 9322 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀))))
3126, 30mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁))
3215, 31eqbrtrrd 3889 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445  cr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   · cmul 7452   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750   # cap 8155   / cdiv 8236  0cn0 8771  cz 8848  cuz 9118  +crp 9233  cexp 10085
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  10210  leexp2ad  10246  ef01bndlem  11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator