ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemfm GIF version

Theorem cvgratnnlemfm 11532
Description: Lemma for cvgratnn 11534. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemfm.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
21eleq1d 2246 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
3 cvgratnn.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
43ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
62, 4, 5rspcdva 2846 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
76abscld 11185 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
108, 9gt0ap0d 8584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
118, 10rerecclapd 8789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
12 1red 7971 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 8336 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 1)
158, 9elrpd 9691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615reclt1d 9708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1714, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
1812, 11posdifd 8487 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
1917, 18mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
2013, 19elrpd 9691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
2120rpreccld 9705 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ+)
2221, 15rpdivcld 9712 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ+)
2322rpred 9694 . . . 4 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ)
24 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2524eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
26 1nn 8928 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
2825, 4, 27rspcdva 2846 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
2928abscld 11185 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3023, 29remulcld 7986 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) ∈ ℝ)
3130, 5nndivred 8967 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) ∈ ℝ)
32 peano2re 8091 . . . . 5 ((abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ)
3329, 32syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ)
3423, 33remulcld 7986 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℝ)
3534, 5nndivred 8967 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
36 nnm1nn0 9215 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
375, 36syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
388, 37reexpcld 10667 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
3929, 38remulcld 7986 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ∈ ℝ)
40 cvgratnn.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11527 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))))
4223, 5nndivred 8967 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀) ∈ ℝ)
4328absge0d 11188 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
448recnd 7984 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
455nnzd 9372 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4644, 10, 45expm1apd 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
475nnnn0d 9227 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
488, 47reexpcld 10667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
4921rpred 9694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
5049, 5nndivred 8967 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9752 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / 𝐴) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴))
5346, 52eqbrtrd 4025 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴))
5449recnd 7984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
555nncnd 8931 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
565nnap0d 8963 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 # 0)
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8771 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴) = (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
5853, 57breqtrd 4029 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
5938, 42, 58ltled 8074 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ≤ (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8895 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6129recnd 7984 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6223recnd 7984 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℂ)
6361, 62mulcomd 7977 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) = (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))))
6463oveq1d 5889 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) / 𝑀) = ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
6561, 62, 55, 56divassapd 8781 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) / 𝑀) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6664, 65eqtr3d 2212 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6760, 66breqtrrd 4031 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ≤ ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
687, 39, 31, 41, 67letrd 8079 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
695nnrpd 9692 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7029ltp1d 8885 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) < ((abs‘(𝐹‘1)) + 1))
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9751 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)))
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9752 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 8080 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990  cle 7991  cmin 8126   / cdiv 8627  cn 8917  0cn0 9174  cexp 10516  abscabs 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11533
  Copyright terms: Public domain W3C validator