ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemfm GIF version

Theorem cvgratnnlemfm 11540
Description: Lemma for cvgratnn 11542. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cvgratnn.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
cvgratnn.gt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
cvgratnn.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
cvgratnn.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐ด ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
cvgratnnlemfm.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘€)) < ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)) / ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5517 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘€))
21eleq1d 2246 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚))
3 cvgratnn.6 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
43ralrimiva 2550 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
62, 4, 5rspcdva 2848 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
76abscld 11193 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„)
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
108, 9gt0ap0d 8589 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
118, 10rerecclapd 8794 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
12 1red 7975 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1311, 12resubcld 8341 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 1)
158, 9elrpd 9696 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
1615reclt1d 9713 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 1 โ†” 1 < (1 / ๐ด)))
1714, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < (1 / ๐ด))
1812, 11posdifd 8492 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 < (1 / ๐ด) โ†” 0 < ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)))
1917, 18mpbid 147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((1 / ๐ด) โˆ’ 1))
2013, 19elrpd 9696 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
2120rpreccld 9710 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
2221, 15rpdivcld 9717 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
2322rpred 9699 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) โˆˆ โ„)
24 fveq2 5517 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜1))
2524eleq1d 2246 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„‚))
26 1nn 8933 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•
2726a1i 9 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
2825, 4, 27rspcdva 2848 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
2928abscld 11193 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„)
3023, 29remulcld 7991 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) โˆˆ โ„)
3130, 5nndivred 8972 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
32 peano2re 8096 . . . . 5 ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1) โˆˆ โ„)
3329, 32syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1) โˆˆ โ„)
3423, 33remulcld 7991 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)) โˆˆ โ„)
3534, 5nndivred 8972 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
36 nnm1nn0 9220 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
375, 36syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
388, 37reexpcld 10674 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
3929, 38remulcld 7991 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
40 cvgratnn.7 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (๐ด ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11535 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘€)) โ‰ค ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))))
4223, 5nndivred 8972 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
4328absge0d 11196 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐นโ€˜1)))
448recnd 7989 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
455nnzd 9377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4644, 10, 45expm1apd 10667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด))
475nnnn0d 9232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
488, 47reexpcld 10674 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
4921rpred 9699 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
5049, 5nndivred 8972 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐‘€) โˆˆ โ„)
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11534 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) < ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐‘€))
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9757 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) / ๐ด) < (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐‘€) / ๐ด))
5346, 52eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) < (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐‘€) / ๐ด))
5449recnd 7989 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
555nncnd 8936 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
565nnap0d 8968 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ # 0)
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐‘€) / ๐ด) = (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€))
5853, 57breqtrd 4031 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) < (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€))
5938, 42, 58ltled 8079 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โ‰ค (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€))
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8900 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โ‰ค ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€)))
6129recnd 7989 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
6223recnd 7989 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6361, 62mulcomd 7982 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด)) = (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))))
6463oveq1d 5893 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด)) / ๐‘€) = ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€))
6561, 62, 55, 56divassapd 8786 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท ((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด)) / ๐‘€) = ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€)))
6664, 65eqtr3d 2212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€) = ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) / ๐‘€)))
6760, 66breqtrrd 4033 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) ยท (๐ดโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โ‰ค ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€))
687, 39, 31, 41, 67letrd 8084 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘€)) โ‰ค ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€))
695nnrpd 9697 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7029ltp1d 8890 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜1)) < ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1))
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9756 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) < (((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)))
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9757 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜1))) / ๐‘€) < ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)) / ๐‘€))
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 8085 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘€)) < ((((1 / ((1 / ๐ด) โˆ’ 1)) / ๐ด) ยท ((absโ€˜(๐นโ€˜1)) + 1)) / ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  โ„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   โˆ’ cmin 8131   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  โ„•0cn0 9179  โ†‘cexp 10522  abscabs 11009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11541
  Copyright terms: Public domain W3C validator