Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemfm GIF version

Theorem cvgratnnlemfm 11329
 Description: Lemma for cvgratnn 11331. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemfm.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5428 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
21eleq1d 2209 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
3 cvgratnn.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
43ralrimiva 2508 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
62, 4, 5rspcdva 2797 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
76abscld 10984 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐴)
108, 9gt0ap0d 8414 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 # 0)
118, 10rerecclapd 8616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
12 1red 7804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1311, 12resubcld 8166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 1)
158, 9elrpd 9509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1615reclt1d 9526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
1714, 16mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
1812, 11posdifd 8317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
1917, 18mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
2013, 19elrpd 9509 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
2120rpreccld 9523 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ+)
2221, 15rpdivcld 9530 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ+)
2322rpred 9512 . . . 4 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ)
24 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
2524eleq1d 2209 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
26 1nn 8754 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
2825, 4, 27rspcdva 2797 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
2928abscld 10984 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
3023, 29remulcld 7819 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) ∈ ℝ)
3130, 5nndivred 8793 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) ∈ ℝ)
32 peano2re 7921 . . . . 5 ((abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ)
3329, 32syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ)
3423, 33remulcld 7819 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℝ)
3534, 5nndivred 8793 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
36 nnm1nn0 9041 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
375, 36syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
388, 37reexpcld 10471 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
3929, 38remulcld 7819 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ∈ ℝ)
40 cvgratnn.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11324 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))))
4223, 5nndivred 8793 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀) ∈ ℝ)
4328absge0d 10987 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
448recnd 7817 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
455nnzd 9195 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4644, 10, 45expm1apd 10464 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
475nnnn0d 9053 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
488, 47reexpcld 10471 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
4921rpred 9512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
5049, 5nndivred 8793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) < ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀))
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9570 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / 𝐴) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴))
5346, 52eqbrtrd 3957 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴))
5449recnd 7817 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
555nncnd 8757 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
565nnap0d 8789 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 # 0)
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8599 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝑀) / 𝐴) = (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
5853, 57breqtrd 3961 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
5938, 42, 58ltled 7904 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ≤ (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀))
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8721 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ≤ ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6129recnd 7817 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℂ)
6223recnd 7817 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℂ)
6361, 62mulcomd 7810 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) = (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))))
6463oveq1d 5796 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) / 𝑀) = ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
6561, 62, 55, 56divassapd 8609 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐹‘1)) · ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴)) / 𝑀) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6664, 65eqtr3d 2175 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) = ((abs‘(𝐹‘1)) · (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) / 𝑀)))
6760, 66breqtrrd 3963 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) · (𝐴↑(𝑀 − 1))) ≤ ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
687, 39, 31, 41, 67letrd 7909 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ≤ ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀))
695nnrpd 9510 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7029ltp1d 8711 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) < ((abs‘(𝐹‘1)) + 1))
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9569 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) < (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)))
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9570 . 2 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · (abs‘(𝐹‘1))) / 𝑀) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 7910 1 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℂcc 7641  ℝcr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   · cmul 7648   < clt 7823   ≤ cle 7824   − cmin 7956   / cdiv 8455  ℕcn 8743  ℕ0cn0 9000  ↑cexp 10322  abscabs 10800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11330
 Copyright terms: Public domain W3C validator