Theorem ghmlin 14053

Description: A homomorphism of groups is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmlin.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmlin.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
ghmlin.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

Proof of Theorem ghmlin

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmlin.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		ghmlin.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		ghmlin.b	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 14048	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))))
6	5	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
7	6	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
8		fvoveq1 6108	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)))
9		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑈))
10	9	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)))
11	8, 10	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑈 → ((𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏))))
12		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝑈 + 𝑏) = (𝑈 + 𝑉))
13	12	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)))
14		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑉))
15	14	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
16	13, 15	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑉 → ((𝐹‘(𝑈 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
17	11, 16	rspc2v 2943	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ⨣ (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉))))
18	7, 17	mpan9 281	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))
19	18	3impb 1230	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑈 + 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈) ⨣ (𝐹‘𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  Grpcgrp 13807   GrpHom cghm 14045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-ghm 14046

This theorem is used by:  ghmid  14054  ghminv  14055  ghmsub  14056  ghmmhm  14058  ghmrn  14062  resghm  14065  ghmpreima  14071  ghmnsgima  14073  ghmnsgpreima  14074  ghmf1o  14080  invghm  14135  rhmopp  14485