Theorem invrfvald 14135

Description: Multiplicative inverse function for a ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
invrfvald.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
invrfvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
invrfvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
invrfvald	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Proof of Theorem invrfvald

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfvald.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2	1	oveq2d 6033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
3	2	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
4		invrfvald.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	4	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6		invrfvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
7		df-invr 14134	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
8		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
9		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
10	8, 9	oveq12d 6035	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
12		invrfvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	elexd 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
15		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
16	14, 15	unitgrp 14129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
17	12, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
18		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
19		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
20	18, 19	grpinvfng 13626	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
21	17, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
22		basfn 13140	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
23	17	elexd 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V)
24		funfvex 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ dom Base) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
25	24	funfni 5432	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
26	22, 23, 25	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
27		fnex 5875	. . . . 5 ⊢ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∧ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V) → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
28	21, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
29	7, 11, 13, 28	fvmptd3 5740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
30	6, 29	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
31	3, 5, 30	3eqtr4rd 2275	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081   ↾_s cress 13082  Grpcgrp 13582  inv_gcminusg 13583  mulGrpcmgp 13932  Ringcrg 14008  Unitcui 14099  inv_rcinvr 14133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-tpos 6410  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976  df-ring 14010  df-oppr 14080  df-dvdsr 14101  df-unit 14102  df-invr 14134

This theorem is referenced by:  unitinvcl  14136  unitinvinv  14137  unitlinv  14139  unitrinv  14140  rdivmuldivd  14157  invrpropdg  14162  subrgugrp  14253