ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  invrfvald GIF version

Theorem invrfvald 13289
Description: Multiplicative inverse function for a ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrfvald.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Unitโ€˜๐‘…))
invrfvald.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ๐‘ˆ))
invrfvald.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (invrโ€˜๐‘…))
invrfvald.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
Assertion
Ref Expression
invrfvald (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (invgโ€˜๐บ))

Proof of Theorem invrfvald
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invrfvald.u . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ = (Unitโ€˜๐‘…))
21oveq2d 5890 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ๐‘ˆ) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)))
32fveq2d 5519 . 2 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ๐‘ˆ)) = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
4 invrfvald.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ๐‘ˆ))
54fveq2d 5519 . 2 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs ๐‘ˆ)))
6 invrfvald.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (invrโ€˜๐‘…))
7 df-invr 13288 . . . 4 invr = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โ†พs (Unitโ€˜๐‘Ÿ))))
8 fveq2 5515 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) = (mulGrpโ€˜๐‘…))
9 fveq2 5515 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Unitโ€˜๐‘Ÿ) = (Unitโ€˜๐‘…))
108, 9oveq12d 5892 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โ†พs (Unitโ€˜๐‘Ÿ)) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)))
1110fveq2d 5519 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘Ÿ) โ†พs (Unitโ€˜๐‘Ÿ))) = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
12 invrfvald.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1312elexd 2750 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
14 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Unitโ€˜๐‘…) = (Unitโ€˜๐‘…)
15 eqid 2177 . . . . . . . 8 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))
1614, 15unitgrp 13283 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
1712, 16syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
18 eqid 2177 . . . . . . 7 (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)))
19 eqid 2177 . . . . . . 7 (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)))
2018, 19grpinvfng 12916 . . . . . 6 (((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) Fn (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
2117, 20syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) Fn (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
22 basfn 12519 . . . . . 6 Base Fn V
2317elexd 2750 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
24 funfvex 5532 . . . . . . 7 ((Fun Base โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ dom Base) โ†’ (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V)
2524funfni 5316 . . . . . 6 ((Base Fn V โˆง ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…)) โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V)
2622, 23, 25sylancr 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V)
27 fnex 5738 . . . . 5 (((invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) Fn (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆง (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V) โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V)
2821, 26, 27syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))) โˆˆ V)
297, 11, 13, 28fvmptd3 5609 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (invrโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
306, 29eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (invgโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (Unitโ€˜๐‘…))))
313, 5, 303eqtr4rd 2221 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (invgโ€˜๐บ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2737   Fn wfn 5211  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461   โ†พs cress 12462  Grpcgrp 12876  invgcminusg 12877  mulGrpcmgp 13128  Ringcrg 13177  Unitcui 13254  invrcinvr 13287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-cmn 13088  df-abl 13089  df-mgp 13129  df-ur 13141  df-srg 13145  df-ring 13179  df-oppr 13238  df-dvdsr 13256  df-unit 13257  df-invr 13288
This theorem is referenced by:  unitinvcl  13290  unitinvinv  13291  unitlinv  13293  unitrinv  13294  rdivmuldivd  13311  invrpropdg  13316  subrgugrp  13359
  Copyright terms: Public domain W3C validator