Theorem invrfvald 14101

Description: Multiplicative inverse function for a ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
invrfvald.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
invrfvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
invrfvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
invrfvald	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Proof of Theorem invrfvald

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfvald.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2	1	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
3	2	fveq2d 5633	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
4		invrfvald.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	4	fveq2d 5633	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6		invrfvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
7		df-invr 14100	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
8		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
9		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
10	8, 9	oveq12d 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5633	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
12		invrfvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	elexd 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
15		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
16	14, 15	unitgrp 14095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
17	12, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
18		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
19		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
20	18, 19	grpinvfng 13592	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
21	17, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
22		basfn 13106	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
23	17	elexd 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V)
24		funfvex 5646	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ dom Base) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
25	24	funfni 5423	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
26	22, 23, 25	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
27		fnex 5865	. . . . 5 ⊢ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∧ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V) → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
28	21, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
29	7, 11, 13, 28	fvmptd3 5730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
30	6, 29	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
31	3, 5, 30	3eqtr4rd 2273	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047   ↾_s cress 13048  Grpcgrp 13548  inv_gcminusg 13549  mulGrpcmgp 13898  Ringcrg 13974  Unitcui 14065  inv_rcinvr 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-tpos 6397  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-oppr 14046  df-dvdsr 14067  df-unit 14068  df-invr 14100

This theorem is referenced by:  unitinvcl  14102  unitinvinv  14103  unitlinv  14105  unitrinv  14106  rdivmuldivd  14123  invrpropdg  14128  subrgugrp  14219