ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  invrfvald GIF version

Theorem invrfvald 13222
Description: Multiplicative inverse function for a ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrfvald.u (𝜑𝑈 = (Unit‘𝑅))
invrfvald.g (𝜑𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
invrfvald.i (𝜑𝐼 = (invr𝑅))
invrfvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
invrfvald (𝜑𝐼 = (invg𝐺))

Proof of Theorem invrfvald
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invrfvald.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (Unit‘𝑅))
21oveq2d 5888 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
32fveq2d 5518 . 2 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
4 invrfvald.g . . 3 (𝜑𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
54fveq2d 5518 . 2 (𝜑 → (invg𝐺) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6 invrfvald.i . . 3 (𝜑𝐼 = (invr𝑅))
7 df-invr 13221 . . . 4 invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
8 fveq2 5514 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
9 fveq2 5514 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
108, 9oveq12d 5890 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
1110fveq2d 5518 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
12 invrfvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1312elexd 2750 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ V)
14 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
15 eqid 2177 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
1614, 15unitgrp 13216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
1712, 16syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
18 eqid 2177 . . . . . . 7 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
19 eqid 2177 . . . . . . 7 (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
2018, 19grpinvfng 12849 . . . . . 6 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
2117, 20syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
22 basfn 12512 . . . . . 6 Base Fn V
2317elexd 2750 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V)
24 funfvex 5531 . . . . . . 7 ((Fun Base ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ dom Base) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
2524funfni 5315 . . . . . 6 ((Base Fn V ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
2622, 23, 25sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
27 fnex 5737 . . . . 5 (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∧ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V) → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
2821, 26, 27syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
297, 11, 13, 28fvmptd3 5608 . . 3 (𝜑 → (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
306, 29eqtrd 2210 . 2 (𝜑𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
313, 5, 303eqtr4rd 2221 1 (𝜑𝐼 = (invg𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737   Fn wfn 5210  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  s cress 12455  Grpcgrp 12809  invgcminusg 12810  mulGrpcmgp 13061  Ringcrg 13110  Unitcui 13187  invrcinvr 13220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-tpos 6243  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-oppr 13171  df-dvdsr 13189  df-unit 13190  df-invr 13221
This theorem is referenced by:  unitinvcl  13223  unitinvinv  13224  unitlinv  13226  unitrinv  13227  rdivmuldivd  13244  invrpropdg  13249  subrgugrp  13299
  Copyright terms: Public domain W3C validator