Theorem invrfvald 14367

Description: Multiplicative inverse function for a ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
invrfvald.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
invrfvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
invrfvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
invrfvald	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Proof of Theorem invrfvald

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfvald.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2	1	oveq2d 6074	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
3	2	fveq2d 5679	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
4		invrfvald.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5	4	fveq2d 5679	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
6		invrfvald.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
7		df-invr 14366	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
8		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
9		fveq2 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
10	8, 9	oveq12d 6076	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
11	10	fveq2d 5679	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
12		invrfvald.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	12	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
15		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
16	14, 15	unitgrp 14361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
17	12, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
18		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
19		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
20	18, 19	grpinvfng 13799	. . . . . 6 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
21	17, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
22		basfn 13355	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
23	17	elexd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V)
24		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ dom Base) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
25	24	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ V) → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
26	22, 23, 25	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
27		fnex 5911	. . . . 5 ⊢ (((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) Fn (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∧ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V) → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
28	21, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))) ∈ V)
29	7, 11, 13, 28	fvmptd3 5776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
30	6, 29	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))))
31	3, 5, 30	3eqtr4rd 2278	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296   ↾_s cress 13297  Grpcgrp 13755  inv_gcminusg 13756  mulGrpcmgp 14159  Ringcrg 14239  Unitcui 14331  inv_rcinvr 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-cmn 14039  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-srg 14207  df-ring 14241  df-oppr 14311  df-dvdsr 14333  df-unit 14334  df-invr 14366

This theorem is referenced by:  unitinvcl  14368  unitinvinv  14369  unitlinv  14371  unitrinv  14372  rdivmuldivd  14389  invrpropdg  14394  subrgugrp  14486