Theorem 0nsg 13635

Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nsg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0nsg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nsg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 13620	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		elsni 3656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
4	3	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
5	4	oveq2d 5978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺) 0 ))
6		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7, 1	grprid 13449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
9	8	adantrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
10	5, 9	eqtrd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
11	10	oveq1d 5977	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑥))
12		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	6, 1, 12	grpsubid 13501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
14	13	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
15	11, 14	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
16		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
18	6, 1	grpidcl 13446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 19	eqeltrd 2283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
21	6, 7, 16, 17, 20	grpcld 13431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
22	6, 12	grpsubcl 13497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
23	16, 21, 17, 22	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
24		elsng 3653	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
25	23, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
26	15, 25	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
27	26	ralrimivva 2589	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
28	6, 7, 12	isnsg3 13628	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
29	2, 27, 28	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {csn 3638  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  Basecbs 12917  +_gcplusg 12994  0_gc0g 13173  Grpcgrp 13417  -_gcsg 13419  SubGrpcsubg 13588  NrmSGrpcnsg 13589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-iress 12925  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-submnd 13377  df-grp 13420  df-minusg 13421  df-sbg 13422  df-subg 13591  df-nsg 13592

This theorem is referenced by:  0idnsgd  13637  1nsgtrivd  13640  ghmker  13691