Theorem 0nsg 13344

Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nsg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0nsg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nsg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 13329	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		elsni 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
4	3	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
5	4	oveq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺) 0 ))
6		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7, 1	grprid 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
9	8	adantrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
10	5, 9	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
11	10	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑥))
12		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	6, 1, 12	grpsubid 13216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
14	13	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
15	11, 14	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
16		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
18	6, 1	grpidcl 13161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 19	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
21	6, 7, 16, 17, 20	grpcld 13146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
22	6, 12	grpsubcl 13212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
23	16, 21, 17, 22	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
24		elsng 3637	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
25	23, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
26	15, 25	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
27	26	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
28	6, 7, 12	isnsg3 13337	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
29	2, 27, 28	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {csn 3622  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  0_gc0g 12927  Grpcgrp 13132  -_gcsg 13134  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-submnd 13092  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-nsg 13301

This theorem is referenced by:  0idnsgd  13346  1nsgtrivd  13349  ghmker  13400