Theorem 0nsg 13791

Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nsg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0nsg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nsg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 13776	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		elsni 3685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
4	3	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
5	4	oveq2d 6029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺) 0 ))
6		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7, 1	grprid 13605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
9	8	adantrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
10	5, 9	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
11	10	oveq1d 6028	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑥))
12		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	6, 1, 12	grpsubid 13657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
14	13	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
15	11, 14	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
16		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
18	6, 1	grpidcl 13602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 19	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
21	6, 7, 16, 17, 20	grpcld 13587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
22	6, 12	grpsubcl 13653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
23	16, 21, 17, 22	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
24		elsng 3682	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
25	23, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 ))
26	15, 25	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
27	26	ralrimivva 2612	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
28	6, 7, 12	isnsg3 13784	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
29	2, 27, 28	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {csn 3667  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329  Grpcgrp 13573  -_gcsg 13575  SubGrpcsubg 13744  NrmSGrpcnsg 13745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-submnd 13533  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-subg 13747  df-nsg 13748

This theorem is referenced by:  0idnsgd  13793  1nsgtrivd  13796  ghmker  13847