Theorem elfzelz 10439

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10435	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9941	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  elfzelzd  10440  fzssz  10441  elfz1eq  10450  fzsplit2  10466  fzdisj  10468  fzsplit3  10469  elfznn  10471  fznatpl1  10494  fzdifsuc  10499  fzrev2i  10504  fzrev3i  10506  elfzp12  10517  fznuz  10520  fzrevral  10523  fzshftral  10526  fznn0sub2  10546  elfzmlbm  10549  difelfznle  10553  fzosplit  10597  infssfzcldc  10680  infssfzledc  10681  zsupssdc  10684  ser3mono  10939  iseqf1olemkle  10949  iseqf1olemklt  10950  iseqf1olemqcl  10951  iseqf1olemnab  10953  iseqf1olemab  10954  iseqf1olemmo  10957  iseqf1olemqk  10959  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsumk  10964  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1olemstep  10966  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  seqfeq4g  10983  nn0sqdc  11162  bcval2  11204  bcval4  11206  bccmpl  11208  bcp1nk  11216  bcpasc  11220  bccl2  11222  bcm1n  11223  zfz1isolemiso  11307  seq3coll  11310  swrdval2  11439  swrdlen  11440  swrdfv  11441  swrdf  11443  swrdwrdsymbg  11452  ccatswrd  11458  pfxlen  11473  ccatpfx  11489  swrdswrd  11493  pfxswrd  11494  swrdpfx  11495  lenrevpfxcctswrd  11500  pfxccatin12lem2a  11515  pfxccatin12lem1  11516  swrdccatin2  11517  pfxccatin12lem2  11519  pfxccatin12  11521  pfxccat3  11522  swrdccat3blem  11527  seq3shft  11619  sumrbdclem  12163  summodclem2a  12167  fsum0diaglem  12226  fisum0diag  12227  mptfzshft  12228  fsumrev  12229  fsumshft  12230  fsumshftm  12231  fisum0diag2  12233  binomlem  12269  binom11  12272  bcxmas  12275  arisum  12284  geo2sum  12300  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemrate  12316  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  prodfap0  12331  prodrbdclem  12357  prodmodclem2a  12362  fprodntrivap  12370  fprodm1  12384  fprod1p  12385  fprodfac  12401  fprodeq0  12403  fprodshft  12404  fprodrev  12405  fprod0diagfz  12414  fzm1ndvds  12642  lcmval  12860  lcmcllem  12864  lcmledvds  12867  prmdc  12927  prmdvdsfz  12937  isprm5lem  12939  phivalfi  13013  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  prmdiveq  13037  prmdivdiv  13038  modprminv  13051  modprminveq  13052  modprm0  13056  pcfac  13152  4sqlemafi  13197  4sqlemffi  13198  4sqleminfi  13199  4sqexercise1  13200  4sqexercise2  13201  4sqlemsdc  13202  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  ballotfilemcinfi  13276  ballotfilemdifcfi  13277  ballotfilemcinfz  13278  ballotfilemdifcfz  13279  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemefi  13289  ballotfilemodife  13292  ballotfilemscl  13299  ballotfilemsle  13300  ballotfilemimin  13301  ballotfilemsgt1  13306  ballotfilemsdom  13307  ballotfilemsel1i  13308  ballotfilemsf1o  13309  ballotfilemsi  13310  ballotfilemsima  13311  ballotfilemfg  13321  ballotfilemfrc  13322  ballotfilemfrcn0  13325  gzsumshift  14233  ply1termlem  15934  ply1term  15935  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plymullem  15942  plycoeid3  15949  dvply1  15957  birthdaylem2  16187  wilthlem1  16193  ppiqfi  16203  ppiprm  16220  chtprm  16222  chtdif  16225  efchtqdvds  16226  ppidif  16230  prmorcht  16243  dvdsppwf1o  16244  ppiqub  16254  chtublem  16256  mersenne  16258  bposlem1  16272  bpos  16281  lgsval2lem  16295  lgsdilem2  16321  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1  16346  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  2lgslem1a1  16371  2lgslem1a  16373  2lgslem1b  16374  trilpolemlt1  17257  supfz  17288  inffz  17289