Theorem elfzelz 10217

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10213	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9727	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-neg 8316  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10218  elfz1eq  10227  fzsplit2  10242  fzdisj  10244  elfznn  10246  fznatpl1  10268  fzdifsuc  10273  fzrev2i  10278  fzrev3i  10280  elfzp12  10291  fznuz  10294  fzrevral  10297  fzshftral  10300  fznn0sub2  10320  elfzmlbm  10323  difelfznle  10327  fzosplit  10371  zsupssdc  10453  ser3mono  10704  iseqf1olemkle  10714  iseqf1olemklt  10715  iseqf1olemqcl  10716  iseqf1olemnab  10718  iseqf1olemab  10719  iseqf1olemmo  10722  iseqf1olemqk  10724  seq3f1olemqsumkj  10728  seq3f1olemqsumk  10729  seq3f1olemqsum  10730  seq3f1olemstep  10731  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  seqfeq4g  10748  bcval2  10967  bcval4  10969  bccmpl  10971  bcp1nk  10979  bcpasc  10983  bccl2  10985  zfz1isolemiso  11056  seq3coll  11059  swrdval2  11178  swrdlen  11179  swrdfv  11180  swrdf  11182  swrdwrdsymbg  11191  ccatswrd  11197  pfxlen  11212  ccatpfx  11228  swrdswrd  11232  pfxswrd  11233  swrdpfx  11234  lenrevpfxcctswrd  11239  pfxccatin12lem2a  11254  pfxccatin12lem1  11255  swrdccatin2  11256  pfxccatin12lem2  11258  pfxccatin12  11260  pfxccat3  11261  swrdccat3blem  11266  seq3shft  11344  sumrbdclem  11883  summodclem2a  11887  fsum0diaglem  11946  fisum0diag  11947  mptfzshft  11948  fsumrev  11949  fsumshft  11950  fsumshftm  11951  fisum0diag2  11953  binomlem  11989  binom11  11992  bcxmas  11995  arisum  12004  geo2sum  12020  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemrate  12036  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  prodfap0  12051  prodrbdclem  12077  prodmodclem2a  12082  fprodntrivap  12090  fprodm1  12104  fprod1p  12105  fprodfac  12121  fprodeq0  12123  fprodshft  12124  fprodrev  12125  fprod0diagfz  12134  fzm1ndvds  12362  lcmval  12580  lcmcllem  12584  lcmledvds  12587  prmdc  12647  prmdvdsfz  12656  isprm5lem  12658  phivalfi  12729  hashdvds  12738  phiprmpw  12739  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  prmdiveq  12753  prmdivdiv  12754  modprminv  12767  modprminveq  12768  modprm0  12772  pcfac  12868  4sqlemafi  12913  4sqlemffi  12914  4sqleminfi  12915  4sqexercise1  12916  4sqexercise2  12917  4sqlemsdc  12918  4sqlem11  12919  4sqlem12  12920  gsumfzfsumlemm  14545  ply1termlem  15410  ply1term  15411  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plymullem  15418  plycoeid3  15425  dvply1  15433  wilthlem1  15648  dvdsppwf1o  15657  mersenne  15665  lgsval2lem  15683  lgsdilem2  15709  gausslemma2dlem1a  15731  gausslemma2dlem1  15734  gausslemma2dlem3  15736  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem3  15745  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  2lgslem1a1  15759  2lgslem1a  15761  2lgslem1b  15762  trilpolemlt1  16368  supfz  16398  inffz  16399