Theorem elfzelz 10359

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10355	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9863	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10360  elfz1eq  10369  fzsplit2  10384  fzdisj  10386  elfznn  10388  fznatpl1  10410  fzdifsuc  10415  fzrev2i  10420  fzrev3i  10422  elfzp12  10433  fznuz  10436  fzrevral  10439  fzshftral  10442  fznn0sub2  10462  elfzmlbm  10465  difelfznle  10469  fzosplit  10513  zsupssdc  10598  ser3mono  10849  iseqf1olemkle  10859  iseqf1olemklt  10860  iseqf1olemqcl  10861  iseqf1olemnab  10863  iseqf1olemab  10864  iseqf1olemmo  10867  iseqf1olemqk  10869  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemqsum  10875  seq3f1olemstep  10876  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  seqfeq4g  10893  bcval2  11112  bcval4  11114  bccmpl  11116  bcp1nk  11124  bcpasc  11128  bccl2  11130  bcm1n  11131  zfz1isolemiso  11211  seq3coll  11214  swrdval2  11343  swrdlen  11344  swrdfv  11345  swrdf  11347  swrdwrdsymbg  11356  ccatswrd  11362  pfxlen  11377  ccatpfx  11393  swrdswrd  11397  pfxswrd  11398  swrdpfx  11399  lenrevpfxcctswrd  11404  pfxccatin12lem2a  11419  pfxccatin12lem1  11420  swrdccatin2  11421  pfxccatin12lem2  11423  pfxccatin12  11425  pfxccat3  11426  swrdccat3blem  11431  seq3shft  11523  sumrbdclem  12063  summodclem2a  12067  fsum0diaglem  12126  fisum0diag  12127  mptfzshft  12128  fsumrev  12129  fsumshft  12130  fsumshftm  12131  fisum0diag2  12133  binomlem  12169  binom11  12172  bcxmas  12175  arisum  12184  geo2sum  12200  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  prodfap0  12231  prodrbdclem  12257  prodmodclem2a  12262  fprodntrivap  12270  fprodm1  12284  fprod1p  12285  fprodfac  12301  fprodeq0  12303  fprodshft  12304  fprodrev  12305  fprod0diagfz  12314  fzm1ndvds  12542  lcmval  12760  lcmcllem  12764  lcmledvds  12767  prmdc  12827  prmdvdsfz  12836  isprm5lem  12838  phivalfi  12909  hashdvds  12918  phiprmpw  12919  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  prmdiveq  12933  prmdivdiv  12934  modprminv  12947  modprminveq  12948  modprm0  12952  pcfac  13048  4sqlemafi  13093  4sqlemffi  13094  4sqleminfi  13095  4sqexercise1  13096  4sqexercise2  13097  4sqlemsdc  13098  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  gsumfzfsumlemm  14735  ply1termlem  15607  ply1term  15608  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plymullem  15615  plycoeid3  15622  dvply1  15630  wilthlem1  15848  dvdsppwf1o  15857  mersenne  15865  lgsval2lem  15883  lgsdilem2  15909  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1  15934  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem3  15945  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  2lgslem1a1  15959  2lgslem1a  15961  2lgslem1b  15962  trilpolemlt1  16825  supfz  16857  inffz  16858  gsumgfsumlem  16865