Theorem elfzelz 9430

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9426	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9018	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  ‘cfv 5010  (class class class)co 5644  ℤcz 8740  ℤ_≥cuz 9009  ...cfz 9414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-neg 7646  df-z 8741  df-uz 9010  df-fz 9415

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9439  fzsplit2  9454  fzdisj  9456  elfznn  9458  fznatpl1  9478  fzdifsuc  9483  fzrev2i  9488  fzrev3i  9490  elfzp12  9501  fznuz  9504  fzrevral  9507  fzshftral  9510  fznn0sub2  9527  elfzmlbm  9530  difelfznle  9534  fzosplit  9576  isermono  9894  iseqf1olemkle  9901  iseqf1olemklt  9902  iseqf1olemqcl  9903  iseqf1olemnab  9905  iseqf1olemab  9906  iseqf1olemmo  9909  iseqf1olemqk  9911  seq3f1olemqsumkj  9915  seq3f1olemqsumk  9916  seq3f1olemqsum  9917  seq3f1olemstep  9918  bcval2  10146  bcval4  10148  bccmpl  10150  bcp1nk  10158  bcpasc  10162  bccl2  10164  zfz1isolemiso  10232  iseqcoll  10235  seq3shft  10260  isumrblem  10752  isummolem2a  10758  fsum0diaglem  10821  fisum0diag  10822  mptfzshft  10823  fsumrev  10824  fsumshft  10825  fsumshftm  10826  fisum0diag2  10828  binomlem  10864  binom11  10867  bcxmas  10870  arisum  10879  geo2sum  10895  cvgratnnlemabsle  10908  cvgratnnlemrate  10911  mertenslemub  10915  mertenslemi1  10916  fzm1ndvds  11122  lcmval  11310  lcmcllem  11314  lcmledvds  11317  prmdvdsfz  11385  phivalfi  11453  hashdvds  11462  phiprmpw  11463  supfz  11799  inffz  11800