Theorem elfzelz 10039

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10035	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9551	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℤcz 9267  ℤ_≥cuz 9542  ...cfz 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-neg 8145  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10040  elfz1eq  10049  fzsplit2  10064  fzdisj  10066  elfznn  10068  fznatpl1  10090  fzdifsuc  10095  fzrev2i  10100  fzrev3i  10102  elfzp12  10113  fznuz  10116  fzrevral  10119  fzshftral  10122  fznn0sub2  10142  elfzmlbm  10145  difelfznle  10149  fzosplit  10191  ser3mono  10492  iseqf1olemkle  10498  iseqf1olemklt  10499  iseqf1olemqcl  10500  iseqf1olemnab  10502  iseqf1olemab  10503  iseqf1olemmo  10506  iseqf1olemqk  10508  seq3f1olemqsumkj  10512  seq3f1olemqsumk  10513  seq3f1olemqsum  10514  seq3f1olemstep  10515  bcval2  10744  bcval4  10746  bccmpl  10748  bcp1nk  10756  bcpasc  10760  bccl2  10762  zfz1isolemiso  10833  seq3coll  10836  seq3shft  10861  sumrbdclem  11399  summodclem2a  11403  fsum0diaglem  11462  fisum0diag  11463  mptfzshft  11464  fsumrev  11465  fsumshft  11466  fsumshftm  11467  fisum0diag2  11469  binomlem  11505  binom11  11508  bcxmas  11511  arisum  11520  geo2sum  11536  cvgratnnlemabsle  11549  cvgratnnlemrate  11552  mertenslemub  11556  mertenslemi1  11557  prodfap0  11567  prodrbdclem  11593  prodmodclem2a  11598  fprodntrivap  11606  fprodm1  11620  fprod1p  11621  fprodfac  11637  fprodeq0  11639  fprodshft  11640  fprodrev  11641  fprod0diagfz  11650  fzm1ndvds  11876  zsupssdc  11969  lcmval  12077  lcmcllem  12081  lcmledvds  12084  prmdc  12144  prmdvdsfz  12153  isprm5lem  12155  phivalfi  12226  hashdvds  12235  phiprmpw  12236  eulerthlemrprm  12243  eulerthlema  12244  prmdiveq  12250  prmdivdiv  12251  modprminv  12263  modprminveq  12264  modprm0  12268  pcfac  12362  lgsval2lem  14707  lgsdilem2  14733  lgseisenlem1  14746  lgseisenlem2  14747  trilpolemlt1  15086  supfz  15116  inffz  15117