Theorem elfzelz 10233

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10229	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9743	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10234  elfz1eq  10243  fzsplit2  10258  fzdisj  10260  elfznn  10262  fznatpl1  10284  fzdifsuc  10289  fzrev2i  10294  fzrev3i  10296  elfzp12  10307  fznuz  10310  fzrevral  10313  fzshftral  10316  fznn0sub2  10336  elfzmlbm  10339  difelfznle  10343  fzosplit  10387  zsupssdc  10470  ser3mono  10721  iseqf1olemkle  10731  iseqf1olemklt  10732  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  iseqf1olemmo  10739  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1olemstep  10748  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  seqfeq4g  10765  bcval2  10984  bcval4  10986  bccmpl  10988  bcp1nk  10996  bcpasc  11000  bccl2  11002  zfz1isolemiso  11074  seq3coll  11077  swrdval2  11198  swrdlen  11199  swrdfv  11200  swrdf  11202  swrdwrdsymbg  11211  ccatswrd  11217  pfxlen  11232  ccatpfx  11248  swrdswrd  11252  pfxswrd  11253  swrdpfx  11254  lenrevpfxcctswrd  11259  pfxccatin12lem2a  11274  pfxccatin12lem1  11275  swrdccatin2  11276  pfxccatin12lem2  11278  pfxccatin12  11280  pfxccat3  11281  swrdccat3blem  11286  seq3shft  11364  sumrbdclem  11903  summodclem2a  11907  fsum0diaglem  11966  fisum0diag  11967  mptfzshft  11968  fsumrev  11969  fsumshft  11970  fsumshftm  11971  fisum0diag2  11973  binomlem  12009  binom11  12012  bcxmas  12015  arisum  12024  geo2sum  12040  cvgratnnlemabsle  12053  cvgratnnlemrate  12056  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  prodfap0  12071  prodrbdclem  12097  prodmodclem2a  12102  fprodntrivap  12110  fprodm1  12124  fprod1p  12125  fprodfac  12141  fprodeq0  12143  fprodshft  12144  fprodrev  12145  fprod0diagfz  12154  fzm1ndvds  12382  lcmval  12600  lcmcllem  12604  lcmledvds  12607  prmdc  12667  prmdvdsfz  12676  isprm5lem  12678  phivalfi  12749  hashdvds  12758  phiprmpw  12759  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  prmdiveq  12773  prmdivdiv  12774  modprminv  12787  modprminveq  12788  modprm0  12792  pcfac  12888  4sqlemafi  12933  4sqlemffi  12934  4sqleminfi  12935  4sqexercise1  12936  4sqexercise2  12937  4sqlemsdc  12938  4sqlem11  12939  4sqlem12  12940  gsumfzfsumlemm  14566  ply1termlem  15431  ply1term  15432  plyaddlem1  15436  plymullem1  15437  plymullem  15439  plycoeid3  15446  dvply1  15454  wilthlem1  15669  dvdsppwf1o  15678  mersenne  15686  lgsval2lem  15704  lgsdilem2  15730  gausslemma2dlem1a  15752  gausslemma2dlem1  15755  gausslemma2dlem3  15757  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem5  15760  gausslemma2dlem6  15761  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  lgsquadlem3  15773  2lgslem1a1  15780  2lgslem1a  15782  2lgslem1b  15783  trilpolemlt1  16469  supfz  16499  inffz  16500