Theorem elfzelz 10250

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10246	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9755	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10251  elfz1eq  10260  fzsplit2  10275  fzdisj  10277  elfznn  10279  fznatpl1  10301  fzdifsuc  10306  fzrev2i  10311  fzrev3i  10313  elfzp12  10324  fznuz  10327  fzrevral  10330  fzshftral  10333  fznn0sub2  10353  elfzmlbm  10356  difelfznle  10360  fzosplit  10404  zsupssdc  10488  ser3mono  10739  iseqf1olemkle  10749  iseqf1olemklt  10750  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemab  10754  iseqf1olemmo  10757  iseqf1olemqk  10759  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1olemstep  10766  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  seqfeq4g  10783  bcval2  11002  bcval4  11004  bccmpl  11006  bcp1nk  11014  bcpasc  11018  bccl2  11020  zfz1isolemiso  11093  seq3coll  11096  swrdval2  11222  swrdlen  11223  swrdfv  11224  swrdf  11226  swrdwrdsymbg  11235  ccatswrd  11241  pfxlen  11256  ccatpfx  11272  swrdswrd  11276  pfxswrd  11277  swrdpfx  11278  lenrevpfxcctswrd  11283  pfxccatin12lem2a  11298  pfxccatin12lem1  11299  swrdccatin2  11300  pfxccatin12lem2  11302  pfxccatin12  11304  pfxccat3  11305  swrdccat3blem  11310  seq3shft  11389  sumrbdclem  11928  summodclem2a  11932  fsum0diaglem  11991  fisum0diag  11992  mptfzshft  11993  fsumrev  11994  fsumshft  11995  fsumshftm  11996  fisum0diag2  11998  binomlem  12034  binom11  12037  bcxmas  12040  arisum  12049  geo2sum  12065  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  prodfap0  12096  prodrbdclem  12122  prodmodclem2a  12127  fprodntrivap  12135  fprodm1  12149  fprod1p  12150  fprodfac  12166  fprodeq0  12168  fprodshft  12169  fprodrev  12170  fprod0diagfz  12179  fzm1ndvds  12407  lcmval  12625  lcmcllem  12629  lcmledvds  12632  prmdc  12692  prmdvdsfz  12701  isprm5lem  12703  phivalfi  12774  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  prmdiveq  12798  prmdivdiv  12799  modprminv  12812  modprminveq  12813  modprm0  12817  pcfac  12913  4sqlemafi  12958  4sqlemffi  12959  4sqleminfi  12960  4sqexercise1  12961  4sqexercise2  12962  4sqlemsdc  12963  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  gsumfzfsumlemm  14591  ply1termlem  15456  ply1term  15457  plyaddlem1  15461  plymullem1  15462  plymullem  15464  plycoeid3  15471  dvply1  15479  wilthlem1  15694  dvdsppwf1o  15703  mersenne  15711  lgsval2lem  15729  lgsdilem2  15755  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem1  15780  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  2lgslem1a1  15805  2lgslem1a  15807  2lgslem1b  15808  trilpolemlt1  16581  supfz  16611  inffz  16612