Theorem elfzelz 10146

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10142	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9656	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-neg 8245  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10147  elfz1eq  10156  fzsplit2  10171  fzdisj  10173  elfznn  10175  fznatpl1  10197  fzdifsuc  10202  fzrev2i  10207  fzrev3i  10209  elfzp12  10220  fznuz  10223  fzrevral  10226  fzshftral  10229  fznn0sub2  10249  elfzmlbm  10252  difelfznle  10256  fzosplit  10299  zsupssdc  10379  ser3mono  10630  iseqf1olemkle  10640  iseqf1olemklt  10641  iseqf1olemqcl  10642  iseqf1olemnab  10644  iseqf1olemab  10645  iseqf1olemmo  10648  iseqf1olemqk  10650  seq3f1olemqsumkj  10654  seq3f1olemqsumk  10655  seq3f1olemqsum  10656  seq3f1olemstep  10657  seqf1oglem1  10662  seqf1oglem2  10663  seqfeq4g  10674  bcval2  10893  bcval4  10895  bccmpl  10897  bcp1nk  10905  bcpasc  10909  bccl2  10911  zfz1isolemiso  10982  seq3coll  10985  seq3shft  11091  sumrbdclem  11630  summodclem2a  11634  fsum0diaglem  11693  fisum0diag  11694  mptfzshft  11695  fsumrev  11696  fsumshft  11697  fsumshftm  11698  fisum0diag2  11700  binomlem  11736  binom11  11739  bcxmas  11742  arisum  11751  geo2sum  11767  cvgratnnlemabsle  11780  cvgratnnlemrate  11783  mertenslemub  11787  mertenslemi1  11788  prodfap0  11798  prodrbdclem  11824  prodmodclem2a  11829  fprodntrivap  11837  fprodm1  11851  fprod1p  11852  fprodfac  11868  fprodeq0  11870  fprodshft  11871  fprodrev  11872  fprod0diagfz  11881  fzm1ndvds  12109  lcmval  12327  lcmcllem  12331  lcmledvds  12334  prmdc  12394  prmdvdsfz  12403  isprm5lem  12405  phivalfi  12476  hashdvds  12485  phiprmpw  12486  eulerthlemrprm  12493  eulerthlema  12494  prmdiveq  12500  prmdivdiv  12501  modprminv  12514  modprminveq  12515  modprm0  12519  pcfac  12615  4sqlemafi  12660  4sqlemffi  12661  4sqleminfi  12662  4sqexercise1  12663  4sqexercise2  12664  4sqlemsdc  12665  4sqlem11  12666  4sqlem12  12667  gsumfzfsumlemm  14291  ply1termlem  15156  ply1term  15157  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plymullem  15164  plycoeid3  15171  dvply1  15179  wilthlem1  15394  dvdsppwf1o  15403  mersenne  15411  lgsval2lem  15429  lgsdilem2  15455  gausslemma2dlem1a  15477  gausslemma2dlem1  15480  gausslemma2dlem3  15482  gausslemma2dlem5a  15484  gausslemma2dlem5  15485  gausslemma2dlem6  15486  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem3  15491  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem2  15497  lgsquadlem3  15498  2lgslem1a1  15505  2lgslem1a  15507  2lgslem1b  15508  trilpolemlt1  15913  supfz  15943  inffz  15944