Theorem elfzelz 10167

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10163	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9677	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  ...cfz 10150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-neg 8266  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10168  elfz1eq  10177  fzsplit2  10192  fzdisj  10194  elfznn  10196  fznatpl1  10218  fzdifsuc  10223  fzrev2i  10228  fzrev3i  10230  elfzp12  10241  fznuz  10244  fzrevral  10247  fzshftral  10250  fznn0sub2  10270  elfzmlbm  10273  difelfznle  10277  fzosplit  10321  zsupssdc  10403  ser3mono  10654  iseqf1olemkle  10664  iseqf1olemklt  10665  iseqf1olemqcl  10666  iseqf1olemnab  10668  iseqf1olemab  10669  iseqf1olemmo  10672  iseqf1olemqk  10674  seq3f1olemqsumkj  10678  seq3f1olemqsumk  10679  seq3f1olemqsum  10680  seq3f1olemstep  10681  seqf1oglem1  10686  seqf1oglem2  10687  seqfeq4g  10698  bcval2  10917  bcval4  10919  bccmpl  10921  bcp1nk  10929  bcpasc  10933  bccl2  10935  zfz1isolemiso  11006  seq3coll  11009  swrdval2  11127  swrdlen  11128  swrdfv  11129  swrdf  11131  swrdwrdsymbg  11140  ccatswrd  11146  pfxlen  11161  ccatpfx  11177  swrdswrd  11181  pfxswrd  11182  swrdpfx  11183  lenrevpfxcctswrd  11188  seq3shft  11224  sumrbdclem  11763  summodclem2a  11767  fsum0diaglem  11826  fisum0diag  11827  mptfzshft  11828  fsumrev  11829  fsumshft  11830  fsumshftm  11831  fisum0diag2  11833  binomlem  11869  binom11  11872  bcxmas  11875  arisum  11884  geo2sum  11900  cvgratnnlemabsle  11913  cvgratnnlemrate  11916  mertenslemub  11920  mertenslemi1  11921  prodfap0  11931  prodrbdclem  11957  prodmodclem2a  11962  fprodntrivap  11970  fprodm1  11984  fprod1p  11985  fprodfac  12001  fprodeq0  12003  fprodshft  12004  fprodrev  12005  fprod0diagfz  12014  fzm1ndvds  12242  lcmval  12460  lcmcllem  12464  lcmledvds  12467  prmdc  12527  prmdvdsfz  12536  isprm5lem  12538  phivalfi  12609  hashdvds  12618  phiprmpw  12619  eulerthlemrprm  12626  eulerthlema  12627  prmdiveq  12633  prmdivdiv  12634  modprminv  12647  modprminveq  12648  modprm0  12652  pcfac  12748  4sqlemafi  12793  4sqlemffi  12794  4sqleminfi  12795  4sqexercise1  12796  4sqexercise2  12797  4sqlemsdc  12798  4sqlem11  12799  4sqlem12  12800  gsumfzfsumlemm  14424  ply1termlem  15289  ply1term  15290  plyaddlem1  15294  plymullem1  15295  plymullem  15297  plycoeid3  15304  dvply1  15312  wilthlem1  15527  dvdsppwf1o  15536  mersenne  15544  lgsval2lem  15562  lgsdilem2  15588  gausslemma2dlem1a  15610  gausslemma2dlem1  15613  gausslemma2dlem3  15615  gausslemma2dlem5a  15617  gausslemma2dlem5  15618  gausslemma2dlem6  15619  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem3  15624  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  lgsquadlem3  15631  2lgslem1a1  15638  2lgslem1a  15640  2lgslem1b  15641  trilpolemlt1  16121  supfz  16151  inffz  16152