Theorem elfzelz 10438

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9940	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfzelzd  10439  fzssz  10440  elfz1eq  10449  fzsplit2  10465  fzdisj  10467  fzsplit3  10468  elfznn  10470  fznatpl1  10493  fzdifsuc  10498  fzrev2i  10503  fzrev3i  10505  elfzp12  10516  fznuz  10519  fzrevral  10522  fzshftral  10525  fznn0sub2  10545  elfzmlbm  10548  difelfznle  10552  fzosplit  10596  infssfzcldc  10679  infssfzledc  10680  zsupssdc  10683  ser3mono  10937  iseqf1olemkle  10947  iseqf1olemklt  10948  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  iseqf1olemmo  10955  iseqf1olemqk  10957  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1olemstep  10964  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  seqfeq4g  10981  nn0sqdc  11160  bcval2  11202  bcval4  11204  bccmpl  11206  bcp1nk  11214  bcpasc  11218  bccl2  11220  bcm1n  11221  zfz1isolemiso  11305  seq3coll  11308  swrdval2  11437  swrdlen  11438  swrdfv  11439  swrdf  11441  swrdwrdsymbg  11450  ccatswrd  11456  pfxlen  11471  ccatpfx  11487  swrdswrd  11491  pfxswrd  11492  swrdpfx  11493  lenrevpfxcctswrd  11498  pfxccatin12lem2a  11513  pfxccatin12lem1  11514  swrdccatin2  11515  pfxccatin12lem2  11517  pfxccatin12  11519  pfxccat3  11520  swrdccat3blem  11525  seq3shft  11617  sumrbdclem  12160  summodclem2a  12164  fsum0diaglem  12223  fisum0diag  12224  mptfzshft  12225  fsumrev  12226  fsumshft  12227  fsumshftm  12228  fisum0diag2  12230  binomlem  12266  binom11  12269  bcxmas  12272  arisum  12281  geo2sum  12297  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  prodfap0  12328  prodrbdclem  12354  prodmodclem2a  12359  fprodntrivap  12367  fprodm1  12381  fprod1p  12382  fprodfac  12398  fprodeq0  12400  fprodshft  12401  fprodrev  12402  fprod0diagfz  12411  fzm1ndvds  12639  lcmval  12857  lcmcllem  12861  lcmledvds  12864  prmdc  12924  prmdvdsfz  12934  isprm5lem  12936  phivalfi  13010  hashdvds  13019  phiprmpw  13020  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  prmdiveq  13034  prmdivdiv  13035  modprminv  13048  modprminveq  13049  modprm0  13053  pcfac  13149  4sqlemafi  13194  4sqlemffi  13195  4sqleminfi  13196  4sqexercise1  13197  4sqexercise2  13198  4sqlemsdc  13199  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  ballotfilemcinfi  13273  ballotfilemdifcfi  13274  ballotfilemcinfz  13275  ballotfilemdifcfz  13276  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemefi  13286  ballotfilemodife  13289  ballotfilemscl  13296  ballotfilemsle  13297  ballotfilemimin  13298  ballotfilemsgt1  13303  ballotfilemsdom  13304  ballotfilemsel1i  13305  ballotfilemsf1o  13306  ballotfilemsi  13307  ballotfilemsima  13308  ballotfilemfg  13318  ballotfilemfrc  13319  ballotfilemfrcn0  13322  gzsumshift  14198  ply1termlem  15892  ply1term  15893  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plymullem  15900  plycoeid3  15907  dvply1  15915  birthdaylem2  16145  wilthlem1  16151  ppiqfi  16158  ppiprm  16170  ppidif  16175  dvdsppwf1o  16184  ppiqub  16194  mersenne  16195  bposlem1  16209  lgsval2lem  16227  lgsdilem2  16253  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1  16278  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  2lgslem1a1  16303  2lgslem1a  16305  2lgslem1b  16306  trilpolemlt1  17188  supfz  17219  inffz  17220