Theorem elfzelz 9981

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9977	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9496	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  elfzelzd  9982  elfz1eq  9991  fzsplit2  10006  fzdisj  10008  elfznn  10010  fznatpl1  10032  fzdifsuc  10037  fzrev2i  10042  fzrev3i  10044  elfzp12  10055  fznuz  10058  fzrevral  10061  fzshftral  10064  fznn0sub2  10084  elfzmlbm  10087  difelfznle  10091  fzosplit  10133  ser3mono  10434  iseqf1olemkle  10440  iseqf1olemklt  10441  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemab  10445  iseqf1olemmo  10448  iseqf1olemqk  10450  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1olemstep  10457  bcval2  10684  bcval4  10686  bccmpl  10688  bcp1nk  10696  bcpasc  10700  bccl2  10702  zfz1isolemiso  10774  seq3coll  10777  seq3shft  10802  sumrbdclem  11340  summodclem2a  11344  fsum0diaglem  11403  fisum0diag  11404  mptfzshft  11405  fsumrev  11406  fsumshft  11407  fsumshftm  11408  fisum0diag2  11410  binomlem  11446  binom11  11449  bcxmas  11452  arisum  11461  geo2sum  11477  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemrate  11493  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  prodfap0  11508  prodrbdclem  11534  prodmodclem2a  11539  fprodntrivap  11547  fprodm1  11561  fprod1p  11562  fprodfac  11578  fprodeq0  11580  fprodshft  11581  fprodrev  11582  fprod0diagfz  11591  fzm1ndvds  11816  zsupssdc  11909  lcmval  12017  lcmcllem  12021  lcmledvds  12024  prmdc  12084  prmdvdsfz  12093  isprm5lem  12095  phivalfi  12166  hashdvds  12175  phiprmpw  12176  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  prmdiveq  12190  prmdivdiv  12191  modprminv  12203  modprminveq  12204  modprm0  12208  pcfac  12302  lgsval2lem  13705  lgsdilem2  13731  trilpolemlt1  14073  supfz  14100  inffz  14101