Theorem elfzelz 10119

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9629	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10120  elfz1eq  10129  fzsplit2  10144  fzdisj  10146  elfznn  10148  fznatpl1  10170  fzdifsuc  10175  fzrev2i  10180  fzrev3i  10182  elfzp12  10193  fznuz  10196  fzrevral  10199  fzshftral  10202  fznn0sub2  10222  elfzmlbm  10225  difelfznle  10229  fzosplit  10272  zsupssdc  10347  ser3mono  10598  iseqf1olemkle  10608  iseqf1olemklt  10609  iseqf1olemqcl  10610  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemab  10613  iseqf1olemmo  10616  iseqf1olemqk  10618  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1olemstep  10625  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  seqfeq4g  10642  bcval2  10861  bcval4  10863  bccmpl  10865  bcp1nk  10873  bcpasc  10877  bccl2  10879  zfz1isolemiso  10950  seq3coll  10953  seq3shft  11022  sumrbdclem  11561  summodclem2a  11565  fsum0diaglem  11624  fisum0diag  11625  mptfzshft  11626  fsumrev  11627  fsumshft  11628  fsumshftm  11629  fisum0diag2  11631  binomlem  11667  binom11  11670  bcxmas  11673  arisum  11682  geo2sum  11698  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemrate  11714  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  prodfap0  11729  prodrbdclem  11755  prodmodclem2a  11760  fprodntrivap  11768  fprodm1  11782  fprod1p  11783  fprodfac  11799  fprodeq0  11801  fprodshft  11802  fprodrev  11803  fprod0diagfz  11812  fzm1ndvds  12040  lcmval  12258  lcmcllem  12262  lcmledvds  12265  prmdc  12325  prmdvdsfz  12334  isprm5lem  12336  phivalfi  12407  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  prmdiveq  12431  prmdivdiv  12432  modprminv  12445  modprminveq  12446  modprm0  12450  pcfac  12546  4sqlemafi  12591  4sqlemffi  12592  4sqleminfi  12593  4sqexercise1  12594  4sqexercise2  12595  4sqlemsdc  12596  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  gsumfzfsumlemm  14221  ply1termlem  15086  ply1term  15087  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plymullem  15094  plycoeid3  15101  dvply1  15109  wilthlem1  15324  dvdsppwf1o  15333  mersenne  15341  lgsval2lem  15359  lgsdilem2  15385  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1  15410  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  2lgslem1a1  15435  2lgslem1a  15437  2lgslem1b  15438  trilpolemlt1  15798  supfz  15828  inffz  15829