Theorem elfzelz 9837

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9833	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9359	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9846  fzsplit2  9861  fzdisj  9863  elfznn  9865  fznatpl1  9887  fzdifsuc  9892  fzrev2i  9897  fzrev3i  9899  elfzp12  9910  fznuz  9913  fzrevral  9916  fzshftral  9919  fznn0sub2  9936  elfzmlbm  9939  difelfznle  9943  fzosplit  9985  ser3mono  10282  iseqf1olemkle  10288  iseqf1olemklt  10289  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemab  10293  iseqf1olemmo  10296  iseqf1olemqk  10298  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemqsum  10304  seq3f1olemstep  10305  bcval2  10528  bcval4  10530  bccmpl  10532  bcp1nk  10540  bcpasc  10544  bccl2  10546  zfz1isolemiso  10614  seq3coll  10617  seq3shft  10642  sumrbdclem  11178  summodclem2a  11182  fsum0diaglem  11241  fisum0diag  11242  mptfzshft  11243  fsumrev  11244  fsumshft  11245  fsumshftm  11246  fisum0diag2  11248  binomlem  11284  binom11  11287  bcxmas  11290  arisum  11299  geo2sum  11315  cvgratnnlemabsle  11328  cvgratnnlemrate  11331  mertenslemub  11335  mertenslemi1  11336  prodfap0  11346  prodrbdclem  11372  prodmodclem2a  11377  fzm1ndvds  11590  lcmval  11780  lcmcllem  11784  lcmledvds  11787  prmdvdsfz  11855  phivalfi  11924  hashdvds  11933  phiprmpw  11934  trilpolemlt1  13409  supfz  13428  inffz  13429