Theorem elfzelz 10117

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10113	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9627	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10118  elfz1eq  10127  fzsplit2  10142  fzdisj  10144  elfznn  10146  fznatpl1  10168  fzdifsuc  10173  fzrev2i  10178  fzrev3i  10180  elfzp12  10191  fznuz  10194  fzrevral  10197  fzshftral  10200  fznn0sub2  10220  elfzmlbm  10223  difelfznle  10227  fzosplit  10270  zsupssdc  10345  ser3mono  10596  iseqf1olemkle  10606  iseqf1olemklt  10607  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  iseqf1olemmo  10614  iseqf1olemqk  10616  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1olemstep  10623  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seqfeq4g  10640  bcval2  10859  bcval4  10861  bccmpl  10863  bcp1nk  10871  bcpasc  10875  bccl2  10877  zfz1isolemiso  10948  seq3coll  10951  seq3shft  11020  sumrbdclem  11559  summodclem2a  11563  fsum0diaglem  11622  fisum0diag  11623  mptfzshft  11624  fsumrev  11625  fsumshft  11626  fsumshftm  11627  fisum0diag2  11629  binomlem  11665  binom11  11668  bcxmas  11671  arisum  11680  geo2sum  11696  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  prodfap0  11727  prodrbdclem  11753  prodmodclem2a  11758  fprodntrivap  11766  fprodm1  11780  fprod1p  11781  fprodfac  11797  fprodeq0  11799  fprodshft  11800  fprodrev  11801  fprod0diagfz  11810  fzm1ndvds  12038  lcmval  12256  lcmcllem  12260  lcmledvds  12263  prmdc  12323  prmdvdsfz  12332  isprm5lem  12334  phivalfi  12405  hashdvds  12414  phiprmpw  12415  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  prmdiveq  12429  prmdivdiv  12430  modprminv  12443  modprminveq  12444  modprm0  12448  pcfac  12544  4sqlemafi  12589  4sqlemffi  12590  4sqleminfi  12591  4sqexercise1  12592  4sqexercise2  12593  4sqlemsdc  12594  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  gsumfzfsumlemm  14219  ply1termlem  15062  ply1term  15063  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plymullem  15070  plycoeid3  15077  dvply1  15085  wilthlem1  15300  dvdsppwf1o  15309  mersenne  15317  lgsval2lem  15335  lgsdilem2  15361  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem1  15386  gausslemma2dlem3  15388  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  2lgslem1a1  15411  2lgslem1a  15413  2lgslem1b  15414  trilpolemlt1  15772  supfz  15802  inffz  15803