Theorem elfzelz 10445

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10441	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9947	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfzelzd  10446  fzssz  10447  elfz1eq  10456  fzsplit2  10472  fzdisj  10474  fzsplit3  10475  elfznn  10477  fznatpl1  10500  fzdifsuc  10505  fzrev2i  10510  fzrev3i  10512  elfzp12  10523  fznuz  10526  fzrevral  10529  fzshftral  10532  fznn0sub2  10552  elfzmlbm  10555  difelfznle  10559  fzosplit  10603  infssfzcldc  10686  infssfzledc  10687  zsupssdc  10690  ser3mono  10945  iseqf1olemkle  10955  iseqf1olemklt  10956  iseqf1olemqcl  10957  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemab  10960  iseqf1olemmo  10963  iseqf1olemqk  10965  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1olemqsum  10971  seq3f1olemstep  10972  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  seqfeq4g  10989  nn0sqdc  11168  bcval2  11210  bcval4  11212  bccmpl  11214  bcp1nk  11222  bcpasc  11226  bccl2  11228  bcm1n  11229  zfz1isolemiso  11313  seq3coll  11316  swrdval2  11445  swrdlen  11446  swrdfv  11447  swrdf  11449  swrdwrdsymbg  11458  ccatswrd  11464  pfxlen  11479  ccatpfx  11495  swrdswrd  11499  pfxswrd  11500  swrdpfx  11501  lenrevpfxcctswrd  11506  pfxccatin12lem2a  11521  pfxccatin12lem1  11522  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12  11527  pfxccat3  11528  swrdccat3blem  11533  seq3shft  11625  sumrbdclem  12169  summodclem2a  12173  fsum0diaglem  12232  fisum0diag  12233  mptfzshft  12234  fsumrev  12235  fsumshft  12236  fsumshftm  12237  fisum0diag2  12239  binomlem  12275  binom11  12278  bcxmas  12281  arisum  12290  geo2sum  12306  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemrate  12322  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  prodfap0  12337  prodrbdclem  12363  prodmodclem2a  12368  fprodntrivap  12376  fprodm1  12390  fprod1p  12391  fprodfac  12407  fprodeq0  12409  fprodshft  12410  fprodrev  12411  fprod0diagfz  12420  fzm1ndvds  12648  lcmval  12866  lcmcllem  12870  lcmledvds  12873  prmdc  12933  prmdvdsfz  12943  isprm5lem  12945  phivalfi  13019  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  prmdiveq  13043  prmdivdiv  13044  modprminv  13057  modprminveq  13058  modprm0  13062  pcfac  13158  4sqlemafi  13203  4sqlemffi  13204  4sqleminfi  13205  4sqexercise1  13206  4sqexercise2  13207  4sqlemsdc  13208  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  ballotfilemcinfi  13282  ballotfilemdifcfi  13283  ballotfilemcinfz  13284  ballotfilemdifcfz  13285  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemefi  13295  ballotfilemodife  13298  ballotfilemscl  13305  ballotfilemsle  13306  ballotfilemimin  13307  ballotfilemsgt1  13312  ballotfilemsdom  13313  ballotfilemsel1i  13314  ballotfilemsf1o  13315  ballotfilemsi  13316  ballotfilemsima  13317  ballotfilemfg  13327  ballotfilemfrc  13328  ballotfilemfrcn0  13331  gzsumshift  14239  ply1termlem  15968  ply1term  15969  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plymullem  15976  plycoeid3  15983  dvply1  15991  efnthr  16176  birthdaylem2  16226  wilthlem1  16232  ppiqfi  16242  ppiprm  16259  chtprm  16261  chtdif  16264  efchtqdvds  16265  ppidif  16269  prmorcht  16282  dvdsppwf1o  16283  ppiqub  16293  chtublem  16295  mersenne  16297  bposlem1  16311  bpos  16320  lgsval2lem  16334  lgsdilem2  16360  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1  16385  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  2lgslem1a1  16410  2lgslem1a  16412  2lgslem1b  16413  trilpolemlt1  17297  supfz  17328  inffz  17329