Theorem elfzelz 10091

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10087	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9601	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10092  elfz1eq  10101  fzsplit2  10116  fzdisj  10118  elfznn  10120  fznatpl1  10142  fzdifsuc  10147  fzrev2i  10152  fzrev3i  10154  elfzp12  10165  fznuz  10168  fzrevral  10171  fzshftral  10174  fznn0sub2  10194  elfzmlbm  10197  difelfznle  10201  fzosplit  10244  ser3mono  10558  iseqf1olemkle  10568  iseqf1olemklt  10569  iseqf1olemqcl  10570  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemab  10573  iseqf1olemmo  10576  iseqf1olemqk  10578  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemqsum  10584  seq3f1olemstep  10585  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  seqfeq4g  10602  bcval2  10821  bcval4  10823  bccmpl  10825  bcp1nk  10833  bcpasc  10837  bccl2  10839  zfz1isolemiso  10910  seq3coll  10913  seq3shft  10982  sumrbdclem  11520  summodclem2a  11524  fsum0diaglem  11583  fisum0diag  11584  mptfzshft  11585  fsumrev  11586  fsumshft  11587  fsumshftm  11588  fisum0diag2  11590  binomlem  11626  binom11  11629  bcxmas  11632  arisum  11641  geo2sum  11657  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemrate  11673  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  prodfap0  11688  prodrbdclem  11714  prodmodclem2a  11719  fprodntrivap  11727  fprodm1  11741  fprod1p  11742  fprodfac  11758  fprodeq0  11760  fprodshft  11761  fprodrev  11762  fprod0diagfz  11771  fzm1ndvds  11998  zsupssdc  12091  lcmval  12201  lcmcllem  12205  lcmledvds  12208  prmdc  12268  prmdvdsfz  12277  isprm5lem  12279  phivalfi  12350  hashdvds  12359  phiprmpw  12360  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  prmdiveq  12374  prmdivdiv  12375  modprminv  12387  modprminveq  12388  modprm0  12392  pcfac  12488  4sqlemafi  12533  4sqlemffi  12534  4sqleminfi  12535  4sqexercise1  12536  4sqexercise2  12537  4sqlemsdc  12538  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  gsumfzfsumlemm  14075  ply1termlem  14888  ply1term  14889  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  plymullem  14896  wilthlem1  15112  lgsval2lem  15126  lgsdilem2  15152  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1  15177  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgsquadlem1  15191  trilpolemlt1  15531  supfz  15561  inffz  15562