Theorem elfzelz 10100

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10096	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9610	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10101  elfz1eq  10110  fzsplit2  10125  fzdisj  10127  elfznn  10129  fznatpl1  10151  fzdifsuc  10156  fzrev2i  10161  fzrev3i  10163  elfzp12  10174  fznuz  10177  fzrevral  10180  fzshftral  10183  fznn0sub2  10203  elfzmlbm  10206  difelfznle  10210  fzosplit  10253  zsupssdc  10328  ser3mono  10579  iseqf1olemkle  10589  iseqf1olemklt  10590  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemab  10594  iseqf1olemmo  10597  iseqf1olemqk  10599  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1olemstep  10606  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  seqfeq4g  10623  bcval2  10842  bcval4  10844  bccmpl  10846  bcp1nk  10854  bcpasc  10858  bccl2  10860  zfz1isolemiso  10931  seq3coll  10934  seq3shft  11003  sumrbdclem  11542  summodclem2a  11546  fsum0diaglem  11605  fisum0diag  11606  mptfzshft  11607  fsumrev  11608  fsumshft  11609  fsumshftm  11610  fisum0diag2  11612  binomlem  11648  binom11  11651  bcxmas  11654  arisum  11663  geo2sum  11679  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  prodfap0  11710  prodrbdclem  11736  prodmodclem2a  11741  fprodntrivap  11749  fprodm1  11763  fprod1p  11764  fprodfac  11780  fprodeq0  11782  fprodshft  11783  fprodrev  11784  fprod0diagfz  11793  fzm1ndvds  12021  lcmval  12231  lcmcllem  12235  lcmledvds  12238  prmdc  12298  prmdvdsfz  12307  isprm5lem  12309  phivalfi  12380  hashdvds  12389  phiprmpw  12390  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  prmdiveq  12404  prmdivdiv  12405  modprminv  12418  modprminveq  12419  modprm0  12423  pcfac  12519  4sqlemafi  12564  4sqlemffi  12565  4sqleminfi  12566  4sqexercise1  12567  4sqexercise2  12568  4sqlemsdc  12569  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  gsumfzfsumlemm  14143  ply1termlem  14978  ply1term  14979  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plymullem  14986  plycoeid3  14993  dvply1  15001  wilthlem1  15216  dvdsppwf1o  15225  mersenne  15233  lgsval2lem  15251  lgsdilem2  15277  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem1  15302  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  lgsquadlem3  15320  2lgslem1a1  15327  2lgslem1a  15329  2lgslem1b  15330  trilpolemlt1  15685  supfz  15715  inffz  15716