Theorem elfzelz 10305

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10301	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9809	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-neg 8395  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10306  elfz1eq  10315  fzsplit2  10330  fzdisj  10332  elfznn  10334  fznatpl1  10356  fzdifsuc  10361  fzrev2i  10366  fzrev3i  10368  elfzp12  10379  fznuz  10382  fzrevral  10385  fzshftral  10388  fznn0sub2  10408  elfzmlbm  10411  difelfznle  10415  fzosplit  10459  zsupssdc  10544  ser3mono  10795  iseqf1olemkle  10805  iseqf1olemklt  10806  iseqf1olemqcl  10807  iseqf1olemnab  10809  iseqf1olemab  10810  iseqf1olemmo  10813  iseqf1olemqk  10815  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seq3f1olemqsum  10821  seq3f1olemstep  10822  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  seqfeq4g  10839  bcval2  11058  bcval4  11060  bccmpl  11062  bcp1nk  11070  bcpasc  11074  bccl2  11076  zfz1isolemiso  11149  seq3coll  11152  swrdval2  11281  swrdlen  11282  swrdfv  11283  swrdf  11285  swrdwrdsymbg  11294  ccatswrd  11300  pfxlen  11315  ccatpfx  11331  swrdswrd  11335  pfxswrd  11336  swrdpfx  11337  lenrevpfxcctswrd  11342  pfxccatin12lem2a  11357  pfxccatin12lem1  11358  swrdccatin2  11359  pfxccatin12lem2  11361  pfxccatin12  11363  pfxccat3  11364  swrdccat3blem  11369  seq3shft  11461  sumrbdclem  12001  summodclem2a  12005  fsum0diaglem  12064  fisum0diag  12065  mptfzshft  12066  fsumrev  12067  fsumshft  12068  fsumshftm  12069  fisum0diag2  12071  binomlem  12107  binom11  12110  bcxmas  12113  arisum  12122  geo2sum  12138  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemrate  12154  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  prodfap0  12169  prodrbdclem  12195  prodmodclem2a  12200  fprodntrivap  12208  fprodm1  12222  fprod1p  12223  fprodfac  12239  fprodeq0  12241  fprodshft  12242  fprodrev  12243  fprod0diagfz  12252  fzm1ndvds  12480  lcmval  12698  lcmcllem  12702  lcmledvds  12705  prmdc  12765  prmdvdsfz  12774  isprm5lem  12776  phivalfi  12847  hashdvds  12856  phiprmpw  12857  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  prmdiveq  12871  prmdivdiv  12872  modprminv  12885  modprminveq  12886  modprm0  12890  pcfac  12986  4sqlemafi  13031  4sqlemffi  13032  4sqleminfi  13033  4sqexercise1  13034  4sqexercise2  13035  4sqlemsdc  13036  4sqlem11  13037  4sqlem12  13038  gsumfzfsumlemm  14666  ply1termlem  15536  ply1term  15537  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plymullem  15544  plycoeid3  15551  dvply1  15559  wilthlem1  15777  dvdsppwf1o  15786  mersenne  15794  lgsval2lem  15812  lgsdilem2  15838  gausslemma2dlem1a  15860  gausslemma2dlem1  15863  gausslemma2dlem3  15865  gausslemma2dlem5a  15867  gausslemma2dlem5  15868  gausslemma2dlem6  15869  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem2  15873  lgseisenlem3  15874  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  2lgslem1a1  15888  2lgslem1a  15890  2lgslem1b  15891  trilpolemlt1  16756  supfz  16787  inffz  16788  gsumgfsumlem  16795