Theorem elfzelz 10260

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9765	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10261  elfz1eq  10270  fzsplit2  10285  fzdisj  10287  elfznn  10289  fznatpl1  10311  fzdifsuc  10316  fzrev2i  10321  fzrev3i  10323  elfzp12  10334  fznuz  10337  fzrevral  10340  fzshftral  10343  fznn0sub2  10363  elfzmlbm  10366  difelfznle  10370  fzosplit  10414  zsupssdc  10499  ser3mono  10750  iseqf1olemkle  10760  iseqf1olemklt  10761  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  iseqf1olemmo  10768  iseqf1olemqk  10770  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemstep  10777  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seqfeq4g  10794  bcval2  11013  bcval4  11015  bccmpl  11017  bcp1nk  11025  bcpasc  11029  bccl2  11031  zfz1isolemiso  11104  seq3coll  11107  swrdval2  11236  swrdlen  11237  swrdfv  11238  swrdf  11240  swrdwrdsymbg  11249  ccatswrd  11255  pfxlen  11270  ccatpfx  11286  swrdswrd  11290  pfxswrd  11291  swrdpfx  11292  lenrevpfxcctswrd  11297  pfxccatin12lem2a  11312  pfxccatin12lem1  11313  swrdccatin2  11314  pfxccatin12lem2  11316  pfxccatin12  11318  pfxccat3  11319  swrdccat3blem  11324  seq3shft  11403  sumrbdclem  11943  summodclem2a  11947  fsum0diaglem  12006  fisum0diag  12007  mptfzshft  12008  fsumrev  12009  fsumshft  12010  fsumshftm  12011  fisum0diag2  12013  binomlem  12049  binom11  12052  bcxmas  12055  arisum  12064  geo2sum  12080  cvgratnnlemabsle  12093  cvgratnnlemrate  12096  mertenslemub  12100  mertenslemi1  12101  prodfap0  12111  prodrbdclem  12137  prodmodclem2a  12142  fprodntrivap  12150  fprodm1  12164  fprod1p  12165  fprodfac  12181  fprodeq0  12183  fprodshft  12184  fprodrev  12185  fprod0diagfz  12194  fzm1ndvds  12422  lcmval  12640  lcmcllem  12644  lcmledvds  12647  prmdc  12707  prmdvdsfz  12716  isprm5lem  12718  phivalfi  12789  hashdvds  12798  phiprmpw  12799  eulerthlemrprm  12806  eulerthlema  12807  prmdiveq  12813  prmdivdiv  12814  modprminv  12827  modprminveq  12828  modprm0  12832  pcfac  12928  4sqlemafi  12973  4sqlemffi  12974  4sqleminfi  12975  4sqexercise1  12976  4sqexercise2  12977  4sqlemsdc  12978  4sqlem11  12979  4sqlem12  12980  gsumfzfsumlemm  14607  ply1termlem  15472  ply1term  15473  plyaddlem1  15477  plymullem1  15478  plymullem  15480  plycoeid3  15487  dvply1  15495  wilthlem1  15710  dvdsppwf1o  15719  mersenne  15727  lgsval2lem  15745  lgsdilem2  15771  gausslemma2dlem1a  15793  gausslemma2dlem1  15796  gausslemma2dlem3  15798  gausslemma2dlem5a  15800  gausslemma2dlem5  15801  gausslemma2dlem6  15802  lgseisenlem1  15805  lgseisenlem2  15806  lgseisenlem3  15807  lgsquadlem1  15812  lgsquadlem2  15813  lgsquadlem3  15814  2lgslem1a1  15821  2lgslem1a  15823  2lgslem1b  15824  trilpolemlt1  16671  supfz  16702  inffz  16703  gsumgfsumlem  16710