Theorem elfzelz 10444

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10440	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9946	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  elfzelzd  10445  fzssz  10446  elfz1eq  10455  fzsplit2  10471  fzdisj  10473  fzsplit3  10474  elfznn  10476  fznatpl1  10499  fzdifsuc  10504  fzrev2i  10509  fzrev3i  10511  elfzp12  10522  fznuz  10525  fzrevral  10528  fzshftral  10531  fznn0sub2  10551  elfzmlbm  10554  difelfznle  10558  fzosplit  10602  infssfzcldc  10685  infssfzledc  10686  zsupssdc  10689  ser3mono  10944  iseqf1olemkle  10954  iseqf1olemklt  10955  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemab  10959  iseqf1olemmo  10962  iseqf1olemqk  10964  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemqsum  10970  seq3f1olemstep  10971  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  seqfeq4g  10988  nn0sqdc  11167  bcval2  11209  bcval4  11211  bccmpl  11213  bcp1nk  11221  bcpasc  11225  bccl2  11227  bcm1n  11228  zfz1isolemiso  11312  seq3coll  11315  swrdval2  11444  swrdlen  11445  swrdfv  11446  swrdf  11448  swrdwrdsymbg  11457  ccatswrd  11463  pfxlen  11478  ccatpfx  11494  swrdswrd  11498  pfxswrd  11499  swrdpfx  11500  lenrevpfxcctswrd  11505  pfxccatin12lem2a  11520  pfxccatin12lem1  11521  swrdccatin2  11522  pfxccatin12lem2  11524  pfxccatin12  11526  pfxccat3  11527  swrdccat3blem  11532  seq3shft  11624  sumrbdclem  12168  summodclem2a  12172  fsum0diaglem  12231  fisum0diag  12232  mptfzshft  12233  fsumrev  12234  fsumshft  12235  fsumshftm  12236  fisum0diag2  12238  binomlem  12274  binom11  12277  bcxmas  12280  arisum  12289  geo2sum  12305  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  prodfap0  12336  prodrbdclem  12362  prodmodclem2a  12367  fprodntrivap  12375  fprodm1  12389  fprod1p  12390  fprodfac  12406  fprodeq0  12408  fprodshft  12409  fprodrev  12410  fprod0diagfz  12419  fzm1ndvds  12647  lcmval  12865  lcmcllem  12869  lcmledvds  12872  prmdc  12932  prmdvdsfz  12942  isprm5lem  12944  phivalfi  13018  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  prmdiveq  13042  prmdivdiv  13043  modprminv  13056  modprminveq  13057  modprm0  13061  pcfac  13157  4sqlemafi  13202  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqexercise1  13205  4sqexercise2  13206  4sqlemsdc  13207  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  ballotfilemcinfi  13281  ballotfilemdifcfi  13282  ballotfilemcinfz  13283  ballotfilemdifcfz  13284  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemefi  13294  ballotfilemodife  13297  ballotfilemscl  13304  ballotfilemsle  13305  ballotfilemimin  13306  ballotfilemsgt1  13311  ballotfilemsdom  13312  ballotfilemsel1i  13313  ballotfilemsf1o  13314  ballotfilemsi  13315  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfg  13326  ballotfilemfrc  13327  ballotfilemfrcn0  13330  gzsumshift  14238  ply1termlem  15985  ply1term  15986  plyaddlem1  15990  plymullem1  15991  plymullem  15993  plycoeid3  16000  dvply1  16008  efnthr  16193  birthdaylem2  16243  wilthlem1  16249  ppiqfi  16259  ppiprm  16276  chtprm  16278  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  ppidif  16286  prmorcht  16299  dvdsppwf1o  16300  ppiqub  16310  chtublem  16312  mersenne  16314  bposlem1  16328  bpos  16337  lgsval2lem  16351  lgsdilem2  16377  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1  16402  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  2lgslem1a1  16427  2lgslem1a  16429  2lgslem1b  16430  trilpolemlt1  17314  supfz  17345  inffz  17346