Theorem ltapii 8644

Description: 'Less than' implies apart. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltapii.a	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltapii.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltapii.lt	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltapii	⊢ 𝐴 # 𝐵

Proof of Theorem ltapii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapii.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltapii.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		ltapii.lt	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
4	1, 2, 3	gtapii 8643	. 2 ⊢ 𝐵 # 𝐴
5	2	recni 8021	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6	1	recni 8021	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
7		apsym 8615	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 # 𝐴 ↔ 𝐴 # 𝐵))
8	5, 6, 7	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐵 # 𝐴 ↔ 𝐴 # 𝐵)
9	4, 8	mpbi 145	1 ⊢ 𝐴 # 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℂcc 7860  ℝcr 7861   < clt 8044   # cap 8590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591

This theorem is referenced by:  1ap2  9179  geo2sum  11644  cvgcmp2nlemabs  15460