Theorem apsqgt0 8744

Description: The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apsqgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem apsqgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8142	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8731	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5		mullt0 8623	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
6	5	anidms 397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
7		mulgt0 8217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8	7	anidms 397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
9	6, 8	jaodan 802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
10	4, 9	sylbi 121	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995   · cmul 8000   < clt 8177   # cap 8724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725

This theorem is referenced by:  msqge0  8759  recexaplem2  8795  msqznn  9543  sqgt0ap  10825