ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apsqgt0 GIF version

Theorem apsqgt0 7977
Description: The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apsqgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem apsqgt0
StepHypRef Expression
1 0re 7390 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 reaplt 7964 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
43pm5.32i 442 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5 mullt0 7860 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
65anidms 389 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
7 mulgt0 7462 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
87anidms 389 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
96, 8jaodan 744 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
104, 9sylbi 119 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5590  cr 7251  0cc0 7252   · cmul 7257   < clt 7424   # cap 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-ltxr 7429  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958
This theorem is referenced by:  msqge0  7992  recexaplem2  8018  msqznn  8741  sqgt0ap  9859
  Copyright terms: Public domain W3C validator