Theorem apsqgt0 8583

Description: The square of a real number apart from zero is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apsqgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem apsqgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7982	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reaplt 8570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4	3	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5		mullt0 8462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
6	5	anidms 397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
7		mulgt0 8057	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8	7	anidms 397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
9	6, 8	jaodan 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
10	4, 9	sylbi 121	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  ℝcr 7835  0cc0 7836   · cmul 7841   < clt 8017   # cap 8563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564

This theorem is referenced by:  msqge0  8598  recexaplem2  8634  msqznn  9378  sqgt0ap  10615