Theorem pcbc 12869

Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcbc	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝐾

Proof of Theorem pcbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		nnnn0 9372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10953	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9564	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6	4	nnne0d 9151	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ≠ 0)
7		fznn0sub 10249	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8	7	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
9	8	faccld 10953	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
10		elfznn0 10306	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	10	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12	11	faccld 10953	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
13	9, 12	nnmulcld 9155	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
14		pcdiv 12820	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
15	1, 5, 6, 13, 14	syl121anc 1276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
16		bcval2 10967	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
17	16	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
18	17	oveq2d 6016	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
19		1zzd 9469	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20	3	nn0zd 9563	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	fzfigd 10648	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
22	20	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		simpl3 1026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
24		prmnn 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26		elfznn 10246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 9418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	25, 28	nnexpcld 10912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
30		znq 9815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
32	31	flqcld 10492	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
33	32	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
34		simpl2 1025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
35	10	nn0zd 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	22, 36	zsubcld 9570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
38		znq 9815	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
39	37, 29, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
40	39	flqcld 10492	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9566	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
42		znq 9815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ) → (𝐾 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
43	36, 29, 42	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℚ)
44	43	flqcld 10492	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℤ)
45	44	zcnd 9566	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))) ∈ ℂ)
46	41, 45	addcld 8162	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘)))) ∈ ℂ)
47	21, 33, 46	fsumsub 11958	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))))
48		uzid 9732	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
49	20, 48	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
50		pcfac 12868	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
51	3, 49, 1, 50	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))
52	11	nn0ge0d 9421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐾)
53		nnre 9113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	11	nn0red 9419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℝ)
56	54, 55	subge02d 8680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁)
58	11	nn0zd 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℤ)
59	20, 58	zsubcld 9570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
60		eluz 9731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
61	59, 20, 60	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝐾)))
63		pcfac 12868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝐾)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁 − 𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))))
64	8, 62, 1, 63	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁 − 𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))))
65		elfzuz3 10214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
66	65	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
67		pcfac 12868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))
68	11, 66, 1, 67	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))
69	64, 68	oveq12d 6018	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁 − 𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘)))))
70	9	nnzd 9564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
71	9	nnne0d 9151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0)
72	12	nnzd 9564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℤ)
73	12	nnne0d 9151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ≠ 0)
74		pcmul 12819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐾) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁 − 𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
75	1, 70, 71, 72, 73, 74	syl122anc 1280	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁 − 𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
76	21, 41, 45	fsumadd 11912	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘)))))
77	69, 75, 76	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘)))))
78	51, 77	oveq12d 6018	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))))
79	47, 78	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
80	15, 18, 79	3eqtr4d 2272	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) − ((⌊‘((𝑁 − 𝐾) / (𝑃↑𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000   ≤ cle 8178   − cmin 8313   / cdiv 8815  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ℚcq 9810  ...cfz 10200  ⌊cfl 10483  ↑cexp 10755  !cfa 10942  Ccbc 10964  Σcsu 11859  ℙcprime 12624   pCnt cpc 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625  df-pc 12803

This theorem is referenced by: (None)