ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crth GIF version

Theorem crth 12224
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps ๐‘ฅ to its remainder classes mod ๐‘€ and mod ๐‘ is 1-1 and onto when ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 ๐‘† = (0..^(๐‘€ ยท ๐‘))
crth.2 ๐‘‡ = ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))
crth.3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ)
crth.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem crth
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10147 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2 crth.1 . . . . . 6 ๐‘† = (0..^(๐‘€ ยท ๐‘))
31, 2eleq2s 2272 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4 simpr 110 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1))
65simp1d 1009 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
76adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
8 zmodfzo 10347 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) โˆˆ (0..^๐‘€))
94, 7, 8syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) โˆˆ (0..^๐‘€))
105simp2d 1010 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1110adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
12 zmodfzo 10347 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
134, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
14 opelxpi 4659 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ mod ๐‘€) โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
159, 13, 14syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
16 crth.2 . . . . . 6 ๐‘‡ = ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))
1715, 16eleqtrrdi 2271 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ๐‘‡)
183, 17sylan2 286 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ ๐‘‡)
19 crth.3 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ)
2018, 19fmptd 5671 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘‡)
21 simprl 529 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)
22 elfzoelz 10147 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2322, 2eleq2s 2272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2423ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
25 zq 9626 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„š)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„š)
276adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
28 nnq 9633 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
3027nngt0d 8963 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 < ๐‘€)
3126, 29, 30modqcld 10328 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
3210adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
33 nnq 9633 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
3532nngt0d 8963 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 < ๐‘)
3626, 34, 35modqcld 10328 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘) โˆˆ โ„š)
37 opexg 4229 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) โˆˆ โ„š) โ†’ โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
3831, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
39 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) = (๐‘ฆ mod ๐‘€))
40 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) = (๐‘ฆ mod ๐‘))
4139, 40opeq12d 3787 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
4241, 19fvmptg 5593 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
4321, 38, 42syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ)
44 simprr 531 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)
45 elfzoelz 10147 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4645, 2eleq2s 2272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
4744, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
48 zq 9626 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„š)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„š)
5049, 29, 30modqcld 10328 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
5149, 34, 35modqcld 10328 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ง mod ๐‘) โˆˆ โ„š)
52 opexg 4229 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ง mod ๐‘) โˆˆ โ„š) โ†’ โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
5350, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
54 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€))
55 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))
5654, 55opeq12d 3787 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ โŸจ(๐‘ฅ mod ๐‘€), (๐‘ฅ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
5756, 19fvmptg 5593 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
5844, 53, 57syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ)
5943, 58eqeq12d 2192 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ))
60 opthg 4239 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ mod ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) โˆˆ โ„š) โ†’ (โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โ†” ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))))
6131, 36, 60syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โŸจ(๐‘ฆ mod ๐‘€), (๐‘ฆ mod ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง mod ๐‘€), (๐‘ง mod ๐‘)โŸฉ โ†” ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))))
6259, 61bitrd 188 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘))))
6327nnzd 9374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
6432nnzd 9374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6521, 2eleqtrdi 2270 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)))
6665, 22syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6744, 2eleqtrdi 2270 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)))
6867, 45syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
6966, 68zsubcld 9380 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
705simp3d 1011 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
7170adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
72 coprmdvds2 12093 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7363, 64, 69, 71, 72syl31anc 1241 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
74 moddvds 11806 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7527, 66, 68, 74syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
76 moddvds 11806 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7732, 66, 68, 76syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
7875, 77anbi12d 473 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘)) โ†” (๐‘€ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง))))
79 qmulcl 9637 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
8029, 34, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
81 elfzole1 10155 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
8265, 81syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
83 elfzolt2 10156 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))
8465, 83syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))
85 modqid 10349 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < (๐‘€ ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ฆ)
8626, 80, 82, 84, 85syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ฆ)
87 elfzole1 10155 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
8867, 87syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ง)
89 elfzolt2 10156 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))
9067, 89syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))
91 modqid 10349 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ โ„š โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (๐‘€ ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ง)
9249, 80, 88, 90, 91syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘ง)
9386, 92eqeq12d 2192 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
9427, 32nnmulcld 8968 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
95 moddvds 11806 . . . . . . . 8 (((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
9694, 66, 68, 95syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐‘ฆ mod (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐‘ง mod (๐‘€ ยท ๐‘)) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
9793, 96bitr3d 190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†” (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ง)))
9873, 78, 973imtr4d 203 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ฆ mod ๐‘€) = (๐‘ง mod ๐‘€) โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘) = (๐‘ง mod ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
9962, 98sylbid 150 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
10099ralrimivva 2559 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
101 dff13 5769 . . 3 (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” (๐น:๐‘†โŸถ๐‘‡ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘† ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
10220, 100, 101sylanbrc 417 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡)
103 nnnn0 9183 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
104 nnnn0 9183 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
105 hashfzo0 10803 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) = ๐‘€)
106 hashfzo0 10803 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) = ๐‘)
107105, 106oveqan12d 5894 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
108 0z 9264 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
109 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
110109nn0zd 9373 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
111 fzofig 10432 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0..^๐‘€) โˆˆ Fin)
112108, 110, 111sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0..^๐‘€) โˆˆ Fin)
113 nn0z 9273 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
114113adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
115 fzofig 10432 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
116108, 114, 115sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ Fin)
117 hashxp 10806 . . . . . . . . 9 (((0..^๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (0..^๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘))))
118112, 116, 117syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘))))
119 nn0mulcl 9212 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
120 hashfzo0 10803 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
121119, 120syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐‘€ ยท ๐‘))
122107, 118, 1213eqtr4rd 2221 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))))
123119nn0zd 9373 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
124 fzofig 10432 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ Fin)
125108, 123, 124sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ Fin)
126 xpfi 6929 . . . . . . . . 9 (((0..^๐‘€) โˆˆ Fin โˆง (0..^๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin)
127112, 116, 126syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin)
128 hashen 10764 . . . . . . . 8 (((0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ Fin โˆง ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) โ†” (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))))
129125, 127, 128syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^(๐‘€ ยท ๐‘))) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))) โ†” (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘))))
130122, 129mpbid 147 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
131103, 104, 130syl2an 289 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
1326, 10, 131syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^(๐‘€ ยท ๐‘)) โ‰ˆ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)))
133132, 2, 163brtr4g 4038 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡)
1346nnnn0d 9229 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13510nnnn0d 9229 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
136134, 135, 127syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0..^๐‘€) ร— (0..^๐‘)) โˆˆ Fin)
13716, 136eqeltrid 2264 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Fin)
138 f1finf1o 6946 . . 3 ((๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘‡ โˆˆ Fin) โ†’ (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡))
139133, 137, 138syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐‘†โ€“1-1โ†’๐‘‡ โ†” ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡))
140102, 139mpbid 147 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โ€“1-1-ontoโ†’๐‘‡)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  Vcvv 2738  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065   ร— cxp 4625  โŸถwf 5213  โ€“1-1โ†’wf1 5214  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5216  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   โ‰ˆ cen 6738  Fincfn 6740  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  ..^cfzo 10142   mod cmo 10322  โ™ฏchash 10755   โˆฅ cdvds 11794   gcd cgcd 11943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944
This theorem is referenced by:  phimullem  12225
  Copyright terms: Public domain W3C validator