Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crth GIF version

Theorem crth 11541
 Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 crth.1 . . . . . 6 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
31, 2eleq2s 2183 . . . . 5 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
4 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
65simp1d 956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8 zmodfzo 9817 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
94, 7, 8syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
105simp2d 957 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 zmodfzo 9817 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
134, 11, 12syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14 opelxpi 4485 . . . . . . 7 (((𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁)) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
159, 13, 14syl2anc 404 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
16 crth.2 . . . . . 6 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
1715, 16syl6eleqr 2182 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
183, 17sylan2 281 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
19 crth.3 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
2018, 19fmptd 5468 . . 3 (𝜑𝐹:𝑆𝑇)
21 simprl 499 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦𝑆)
22 elfzoelz 9621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2322, 2eleq2s 2183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
2423ad2antrl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
25 zq 9174 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℚ)
276adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28 nnq 9181 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℚ)
3027nngt0d 8529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 < 𝑀)
3126, 29, 30modqcld 9798 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ)
3210adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 nnq 9181 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3532nngt0d 8529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 < 𝑁)
3626, 34, 35modqcld 9798 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ)
37 opexg 4066 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ) → ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
3831, 36, 37syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
39 oveq1 5675 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
40 oveq1 5675 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
4139, 40opeq12d 3638 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
4241, 19fvmptg 5395 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑆 ∧ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
4321, 38, 42syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
44 simprr 500 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
45 elfzoelz 9621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4645, 2eleq2s 2183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℤ)
4744, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
48 zq 9174 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℚ)
5049, 29, 30modqcld 9798 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod 𝑀) ∈ ℚ)
5149, 34, 35modqcld 9798 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℚ)
52 opexg 4066 . . . . . . . . 9 (((𝑧 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℚ) → ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
5350, 51, 52syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
54 oveq1 5675 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
55 oveq1 5675 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
5654, 55opeq12d 3638 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5756, 19fvmptg 5395 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆 ∧ ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5844, 53, 57syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5943, 58eqeq12d 2103 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
60 opthg 4076 . . . . . . 7 (((𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ) → (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6131, 36, 60syl2anc 404 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6259, 61bitrd 187 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6327nnzd 8930 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
6432nnzd 8930 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6521, 2syl6eleq 2181 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
6665, 22syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6744, 2syl6eleq 2181 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
6867, 45syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
6966, 68zsubcld 8936 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
705simp3d 958 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
7170adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
72 coprmdvds2 11416 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7363, 64, 69, 71, 72syl31anc 1178 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
74 moddvds 11146 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
7527, 66, 68, 74syl3anc 1175 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
76 moddvds 11146 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
7732, 66, 68, 76syl3anc 1175 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
7875, 77anbi12d 458 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧))))
79 qmulcl 9185 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ)
8029, 34, 79syl2anc 404 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ)
81 elfzole1 9629 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
8265, 81syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
83 elfzolt2 9630 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
8465, 83syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
85 modqid 9819 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
8626, 80, 82, 84, 85syl22anc 1176 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
87 elfzole1 9629 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
8867, 87syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
89 elfzolt2 9630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
9067, 89syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
91 modqid 9819 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℚ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
9249, 80, 88, 90, 91syl22anc 1176 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
9386, 92eqeq12d 2103 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
9427, 32nnmulcld 8534 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
95 moddvds 11146 . . . . . . . 8 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9694, 66, 68, 95syl3anc 1175 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9793, 96bitr3d 189 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9873, 78, 973imtr4d 202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
9962, 98sylbid 149 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
10099ralrimivva 2456 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
101 dff13 5563 . . 3 (𝐹:𝑆1-1𝑇 ↔ (𝐹:𝑆𝑇 ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
10220, 100, 101sylanbrc 409 . 2 (𝜑𝐹:𝑆1-1𝑇)
103 nnnn0 8743 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
104 nnnn0 8743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
105 hashfzo0 10294 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
106 hashfzo0 10294 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
107105, 106oveqan12d 5687 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
108 0z 8824 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
109 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
110109nn0zd 8929 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
111 fzofig 9902 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
112108, 110, 111sylancr 406 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
113 nn0z 8833 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
114113adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
115 fzofig 9902 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
116108, 114, 115sylancr 406 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
117 hashxp 10297 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
118112, 116, 117syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
119 nn0mulcl 8772 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
120 hashfzo0 10294 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
121119, 120syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
122107, 118, 1213eqtr4rd 2132 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
123119nn0zd 8929 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
124 fzofig 9902 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin)
125108, 123, 124sylancr 406 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin)
126 xpfi 6696 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
127112, 116, 126syl2anc 404 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
128 hashen 10255 . . . . . . . 8 (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
129125, 127, 128syl2anc 404 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
130122, 129mpbid 146 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
131103, 104, 130syl2an 284 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
1326, 10, 131syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
133132, 2, 163brtr4g 3885 . . 3 (𝜑𝑆𝑇)
1346nnnn0d 8789 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
13510nnnn0d 8789 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
136134, 135, 127syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
13716, 136syl5eqel 2175 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
138 f1finf1o 6712 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
139133, 137, 138syl2anc 404 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
140102, 139mpbid 146 1 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  Vcvv 2622  ⟨cop 3455   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907   × cxp 4452  ⟶wf 5026  –1-1→wf1 5027  –1-1-onto→wf1o 5029  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668   ≈ cen 6511  Fincfn 6513  0cc0 7413  1c1 7414   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716  ℕcn 8485  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℚcq 9167  ..^cfzo 9616   mod cmo 9792  ♯chash 10246   ∥ cdvds 11137   gcd cgcd 11279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-fl 9740  df-mod 9793  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-dvds 11138  df-gcd 11280 This theorem is referenced by:  phimullem  11542
 Copyright terms: Public domain W3C validator