ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crth GIF version

Theorem crth 11806
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps 𝑥 to its remainder classes mod 𝑀 and mod 𝑁 is 1-1 and onto when 𝑀 and 𝑁 are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
Assertion
Ref Expression
crth (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem crth
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9875 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 crth.1 . . . . . 6 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
31, 2eleq2s 2210 . . . . 5 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
4 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 crth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
65simp1d 976 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
8 zmodfzo 10071 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
94, 7, 8syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
105simp2d 977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 zmodfzo 10071 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
134, 11, 12syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14 opelxpi 4539 . . . . . . 7 (((𝑥 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁)) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
159, 13, 14syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
16 crth.2 . . . . . 6 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
1715, 16syl6eleqr 2209 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
183, 17sylan2 282 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ ∈ 𝑇)
19 crth.3 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
2018, 19fmptd 5540 . . 3 (𝜑𝐹:𝑆𝑇)
21 simprl 503 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦𝑆)
22 elfzoelz 9875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2322, 2eleq2s 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
2423ad2antrl 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
25 zq 9370 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℚ)
276adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28 nnq 9377 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℚ)
3027nngt0d 8724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 < 𝑀)
3126, 29, 30modqcld 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ)
3210adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 nnq 9377 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3532nngt0d 8724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 < 𝑁)
3626, 34, 35modqcld 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ)
37 opexg 4118 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ) → ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
3831, 36, 37syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
39 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑦 mod 𝑀))
40 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
4139, 40opeq12d 3681 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
4241, 19fvmptg 5463 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑆 ∧ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
4321, 38, 42syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑦) = ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩)
44 simprr 504 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
45 elfzoelz 9875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4645, 2eleq2s 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℤ)
4744, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
48 zq 9370 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℚ)
5049, 29, 30modqcld 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod 𝑀) ∈ ℚ)
5149, 34, 35modqcld 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℚ)
52 opexg 4118 . . . . . . . . 9 (((𝑧 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℚ) → ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
5350, 51, 52syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V)
54 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀))
55 oveq1 5747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
5654, 55opeq12d 3681 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5756, 19fvmptg 5463 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆 ∧ ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5844, 53, 57syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑧) = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩)
5943, 58eqeq12d 2130 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩))
60 opthg 4128 . . . . . . 7 (((𝑦 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑦 mod 𝑁) ∈ ℚ) → (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6131, 36, 60syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (⟨(𝑦 mod 𝑀), (𝑦 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑧 mod 𝑀), (𝑧 mod 𝑁)⟩ ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6259, 61bitrd 187 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))))
6327nnzd 9126 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
6432nnzd 9126 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6521, 2syl6eleq 2208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
6665, 22syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 ∈ ℤ)
6744, 2syl6eleq 2208 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
6867, 45syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℤ)
6966, 68zsubcld 9132 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
705simp3d 978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
7170adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
72 coprmdvds2 11681 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑧) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
7363, 64, 69, 71, 72syl31anc 1202 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
74 moddvds 11409 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
7527, 66, 68, 74syl3anc 1199 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝑦𝑧)))
76 moddvds 11409 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
7732, 66, 68, 76syl3anc 1199 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧)))
7875, 77anbi12d 462 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ (𝑦𝑧) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝑧))))
79 qmulcl 9381 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ)
8029, 34, 79syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ)
81 elfzole1 9883 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑦)
8265, 81syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑦)
83 elfzolt2 9884 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
8465, 83syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑦 < (𝑀 · 𝑁))
85 modqid 10073 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
8626, 80, 82, 84, 85syl22anc 1200 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑦)
87 elfzole1 9883 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 0 ≤ 𝑧)
8867, 87syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 0 ≤ 𝑧)
89 elfzolt2 9884 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
9067, 89syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 < (𝑀 · 𝑁))
91 modqid 10073 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℚ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < (𝑀 · 𝑁))) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
9249, 80, 88, 90, 91syl22anc 1200 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) = 𝑧)
9386, 92eqeq12d 2130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
9427, 32nnmulcld 8729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
95 moddvds 11409 . . . . . . . 8 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9694, 66, 68, 95syl3anc 1199 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑦 mod (𝑀 · 𝑁)) = (𝑧 mod (𝑀 · 𝑁)) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9793, 96bitr3d 189 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑦𝑧)))
9873, 78, 973imtr4d 202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → (((𝑦 mod 𝑀) = (𝑧 mod 𝑀) ∧ (𝑦 mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁)) → 𝑦 = 𝑧))
9962, 98sylbid 149 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
10099ralrimivva 2489 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
101 dff13 5635 . . 3 (𝐹:𝑆1-1𝑇 ↔ (𝐹:𝑆𝑇 ∧ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
10220, 100, 101sylanbrc 411 . 2 (𝜑𝐹:𝑆1-1𝑇)
103 nnnn0 8938 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
104 nnnn0 8938 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
105 hashfzo0 10520 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
106 hashfzo0 10520 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
107105, 106oveqan12d 5759 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
108 0z 9019 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
109 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
110109nn0zd 9125 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
111 fzofig 10156 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
112108, 110, 111sylancr 408 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑀) ∈ Fin)
113 nn0z 9028 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
114113adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
115 fzofig 10156 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
116108, 114, 115sylancr 408 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
117 hashxp 10523 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
118112, 116, 117syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘(0..^𝑁))))
119 nn0mulcl 8967 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
120 hashfzo0 10520 . . . . . . . . 9 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
121119, 120syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 · 𝑁))
122107, 118, 1213eqtr4rd 2159 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
123119nn0zd 9125 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
124 fzofig 10156 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin)
125108, 123, 124sylancr 408 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin)
126 xpfi 6784 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
127112, 116, 126syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
128 hashen 10481 . . . . . . . 8 (((0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
129125, 127, 128syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(0..^(𝑀 · 𝑁))) = (♯‘((0..^𝑀) × (0..^𝑁))) ↔ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))))
130122, 129mpbid 146 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
131103, 104, 130syl2an 285 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
1326, 10, 131syl2anc 406 . . . 4 (𝜑 → (0..^(𝑀 · 𝑁)) ≈ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
133132, 2, 163brtr4g 3930 . . 3 (𝜑𝑆𝑇)
1346nnnn0d 8984 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
13510nnnn0d 8984 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
136134, 135, 127syl2anc 406 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)) ∈ Fin)
13716, 136eqeltrid 2202 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
138 f1finf1o 6801 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ∈ Fin) → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
139133, 137, 138syl2anc 406 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑆1-1𝑇𝐹:𝑆1-1-onto𝑇))
140102, 139mpbid 146 1 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  Vcvv 2658  cop 3498   class class class wbr 3897  cmpt 3957   × cxp 4505  wf 5087  1-1wf1 5088  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  cen 6598  Fincfn 6600  0cc0 7584  1c1 7585   · cmul 7589   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008  cq 9363  ..^cfzo 9870   mod cmo 10046  chash 10472  cdvds 11400   gcd cgcd 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401  df-gcd 11543
This theorem is referenced by:  phimullem  11807
  Copyright terms: Public domain W3C validator