Theorem zrhex 14622

Description: Set existence for ℤRHom. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V)

Proof of Theorem zrhex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhvalg 14619	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
3		zringring 14594	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		rhmex 14158	. . . 4 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
5	3, 4	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
6	5	uniexd 4533	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
7	2, 6	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐿 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ∪ cuni 3889  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  Ringcrg 13996   RingHom crh 14151  ℤ_ringczring 14591  ℤRHomczrh 14612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137  ax-addf 8142  ax-mulf 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-map 6812  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-reap 8743  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-9 9197  df-n0 9391  df-z 9468  df-dec 9600  df-uz 9744  df-rp 9877  df-fz 10232  df-cj 11390  df-abs 11547  df-struct 13071  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-sets 13076  df-iress 13077  df-plusg 13160  df-mulr 13161  df-starv 13162  df-tset 13166  df-ple 13167  df-ds 13169  df-unif 13170  df-0g 13328  df-topgen 13330  df-mgm 13426  df-sgrp 13472  df-mnd 13487  df-grp 13573  df-minusg 13574  df-subg 13744  df-cmn 13860  df-mgp 13921  df-ur 13960  df-ring 13998  df-cring 13999  df-rhm 14153  df-subrg 14220  df-bl 14547  df-mopn 14548  df-fg 14550  df-metu 14551  df-cnfld 14558  df-zring 14592  df-zrh 14615

This theorem is referenced by:  zrhrhmb  14623  znval  14637  znle  14638  znbaslemnn  14640  znleval  14654