Theorem zrhval 14589

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		df-zrh 14586	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
3	2	mptrcl 5719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤRHom‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4	3, 1	eleq2s 2324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
5		zringring 14565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rhmex 14129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ V) → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
8	7	uniexd 4531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
9		oveq2 6015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
10	9	unieqd 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
11	10, 2	fvmptg 5712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
12	8, 11	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
14	1, 13	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
16	15	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eluni2 3892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦)
18		rexm 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
20		rhmrcl2 14128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	exlimiv 1644	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	elexd 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ V)
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
25	1, 24	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
26	25	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
27	26	ibir 177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐿)
28	16, 27	impbii 126	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
29	28	eqriv 2226	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  Vcvv 2799  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Ringcrg 13967   RingHom crh 14122  ℤ_ringczring 14562  ℤRHomczrh 14583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-rp 9858  df-fz 10213  df-cj 11361  df-abs 11518  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-mhm 13500  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-subg 13715  df-ghm 13786  df-cmn 13831  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-cring 13970  df-rhm 14124  df-subrg 14191  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-zring 14563  df-zrh 14586

This theorem is referenced by:  zrhpropd  14598