Theorem zrhval 15062

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		df-zrh 15059	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
3	2	mptrcl 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤRHom‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4	3, 1	eleq2s 2333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
5		zringring 15038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rhmex 14574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ V) → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
7	5, 6	mpan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
8	7	uniexd 4588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
9		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
10	9	unieqd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
11	10, 2	fvmptg 5784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
12	8, 11	mpdan 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
14	1, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
16	15	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eluni2 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦)
18		rexm 3627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
20		rhmrcl2 14573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	exlimiv 1651	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	elexd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ V)
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
25	1, 24	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
26	25	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
27	26	ibir 177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐿)
28	16, 27	impbii 126	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
29	28	eqriv 2235	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Ringcrg 14408   RingHom crh 14567  ℤ_ringczring 15035  ℤRHomczrh 15056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-rp 10073  df-fz 10430  df-cj 11630  df-abs 11788  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-unif 13514  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mhm 13826  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-subg 14033  df-ghm 14104  df-cmn 14180  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-cring 14411  df-rhm 14569  df-subrg 14637  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-fg 14996  df-metu 14997  df-cnfld 15004  df-zring 15036  df-zrh 15059

This theorem is used by:  zrhpropd  15071