Theorem zrhval 14814

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		df-zrh 14811	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
3	2	mptrcl 5762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤRHom‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4	3, 1	eleq2s 2329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
5		zringring 14790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rhmex 14324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ V) → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
8	7	uniexd 4563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
9		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
10	9	unieqd 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
11	10, 2	fvmptg 5755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
12	8, 11	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
14	1, 13	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
16	15	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eluni2 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦)
18		rexm 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
20		rhmrcl2 14323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	exlimiv 1647	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	elexd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ V)
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
25	1, 24	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
26	25	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
27	26	ibir 177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐿)
28	16, 27	impbii 126	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
29	28	eqriv 2231	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  Vcvv 2815  ∪ cuni 3916  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Ringcrg 14161   RingHom crh 14317  ℤ_ringczring 14787  ℤRHomczrh 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-rp 9993  df-fz 10349  df-cj 11535  df-abs 11692  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-starv 13326  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-unif 13334  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-mhm 13693  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-subg 13908  df-ghm 13979  df-cmn 14024  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163  df-cring 14164  df-rhm 14319  df-subrg 14387  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-fg 14746  df-metu 14747  df-cnfld 14754  df-zring 14788  df-zrh 14811

This theorem is referenced by:  zrhpropd  14823