Theorem zrhval 14752

Description: Define the unique homomorphism from the integers to a ring or field. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval	⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Proof of Theorem zrhval

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		df-zrh 14749	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤRHom = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ (ℤring RingHom 𝑟))
3	2	mptrcl 5759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤRHom‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4	3, 1	eleq2s 2327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
5		zringring 14728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rhmex 14291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ V) → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
7	5, 6	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
8	7	uniexd 4560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V)
9		oveq2 6057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℤring RingHom 𝑟) = (ℤring RingHom 𝑅))
10	9	unieqd 3924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ (ℤring RingHom 𝑟) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
11	10, 2	fvmptg 5752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ∈ V) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
12	8, 11	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
13	4, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
14	1, 13	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
15	14	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
16	15	ibi 176	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 → 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
17		eluni2 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦)
18		rexm 3608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
20		rhmrcl2 14290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	exlimiv 1647	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	elexd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑅 ∈ V)
24	23, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
25	1, 24	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
26	25	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅)))
27	26	ibir 177	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐿)
28	16, 27	impbii 126	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
29	28	eqriv 2229	1 ⊢ 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  Vcvv 2812  ∪ cuni 3913  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Ringcrg 14129   RingHom crh 14284  ℤ_ringczring 14725  ℤRHomczrh 14746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-cj 11520  df-abs 11677  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-subg 13876  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-mgp 14054  df-ur 14093  df-ring 14131  df-cring 14132  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749

This theorem is referenced by:  zrhpropd  14761