ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eulerthlemfi GIF version

Theorem eulerthlemfi 12107
Description: Lemma for eulerth 12112. The set 𝑆 is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
Assertion
Ref Expression
eulerthlemfi (𝜑𝑆 ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑦,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlemfi
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9179 . . 3 0 ∈ ℤ
2 eulerth.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
32simp1d 994 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnzd 9286 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 fzofig 10335 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
61, 4, 5sylancr 411 . 2 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
7 eulerth.2 . . . 4 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
8 ssrab2 3213 . . . 4 {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)
97, 8eqsstri 3160 . . 3 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)
109a1i 9 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ (0..^𝑁))
11 elfzoelz 10050 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
1211adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
134adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13gcdcld 11856 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 9285 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑗 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16 1zzd 9195 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
17 zdceq 9240 . . . . 5 (((𝑗 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑗 gcd 𝑁) = 1)
1815, 16, 17syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → DECID (𝑗 gcd 𝑁) = 1)
19 oveq1 5832 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑗 → (𝑦 gcd 𝑁) = (𝑗 gcd 𝑁))
2019eqeq1d 2166 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑗 → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑗 gcd 𝑁) = 1))
2120, 7elrab2 2871 . . . . . . 7 (𝑗𝑆 ↔ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑗 gcd 𝑁) = 1))
2221baibr 906 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑗 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑗𝑆))
2322dcbid 824 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → (DECID (𝑗 gcd 𝑁) = 1 ↔ DECID 𝑗𝑆))
2423adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (DECID (𝑗 gcd 𝑁) = 1 ↔ DECID 𝑗𝑆))
2518, 24mpbid 146 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → DECID 𝑗𝑆)
2625ralrimiva 2530 . 2 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)DECID 𝑗𝑆)
27 ssfidc 6880 . 2 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)DECID 𝑗𝑆) → 𝑆 ∈ Fin)
286, 10, 26, 27syl3anc 1220 1 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 820  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  {crab 2439  wss 3102  (class class class)co 5825  Fincfn 6686  0cc0 7733  1c1 7734  cn 8834  cz 9168  ..^cfzo 10045   gcd cgcd 11833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-1o 6364  df-er 6481  df-en 6687  df-fin 6689  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-dvds 11688  df-gcd 11834
This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12110  eulerth  12112
  Copyright terms: Public domain W3C validator