Theorem eluzfz2 10452

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9946	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9951	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10439	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  eluzfz2b  10453  elfzubelfz  10456  fzopth  10483  fzsuc  10491  fseq1p1m1  10517  fzm1  10523  fzneuz  10524  fzoend  10656  exfzdc  10675  uzsinds  10901  seq3clss  10928  seq3fveq2  10932  seqfveq2g  10934  seq3shft2  10938  seqshft2g  10939  monoord  10942  monoord2  10943  seq3split  10945  seqsplitg  10946  seq3caopr3  10948  seqcaopr3g  10949  seq3f1olemp  10972  seqf1oglem2a  10975  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  seq3id3  10981  seq3id2  10983  seqhomog  10987  seqfeq4g  10988  ser3ge0  10993  seq3coll  11315  wrdeqs1cat  11513  pfxccatin12lem2  11524  pfxccatin12lem3  11525  summodclem2a  12172  fsumm1  12207  telfsumo  12257  telfsumo2  12258  fsumparts  12261  prodfap0  12336  prodfrecap  12337  prodmodclem2a  12367  fprodm1  12389  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemfrci  13328  nninfdclemlt  13399  gzsumval2  13772  gzsumconst  14232  gzsumsplit0  14237  gsump1  14246  chtqub  16313  supfz  17345