Theorem eluzfz2 10453

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9947	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9952	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10440	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  eluzfz2b  10454  elfzubelfz  10457  fzopth  10484  fzsuc  10492  fseq1p1m1  10518  fzm1  10524  fzneuz  10525  fzoend  10657  exfzdc  10676  uzsinds  10902  seq3clss  10929  seq3fveq2  10933  seqfveq2g  10935  seq3shft2  10939  seqshft2g  10940  monoord  10943  monoord2  10944  seq3split  10946  seqsplitg  10947  seq3caopr3  10949  seqcaopr3g  10950  seq3f1olemp  10973  seqf1oglem2a  10976  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  seq3id3  10982  seq3id2  10984  seqhomog  10988  seqfeq4g  10989  ser3ge0  10994  seq3coll  11316  wrdeqs1cat  11514  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12lem3  11526  summodclem2a  12173  fsumm1  12208  telfsumo  12258  telfsumo2  12259  fsumparts  12262  prodfap0  12337  prodfrecap  12338  prodmodclem2a  12368  fprodm1  12390  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemfrci  13329  nninfdclemlt  13400  gzsumval2  13773  gzsumconst  14233  gzsumsplit0  14238  gsump1  14247  chtqub  16296  supfz  17328