Theorem eluzfz2 10189

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9697	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10177	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10190  elfzubelfz  10193  fzopth  10218  fzsuc  10226  fseq1p1m1  10251  fzm1  10257  fzneuz  10258  fzoend  10388  exfzdc  10406  uzsinds  10626  seq3clss  10653  seq3fveq2  10657  seqfveq2g  10659  seq3shft2  10663  seqshft2g  10664  monoord  10667  monoord2  10668  seq3split  10670  seqsplitg  10671  seq3caopr3  10673  seqcaopr3g  10674  seq3f1olemp  10697  seqf1oglem2a  10700  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  seq3id3  10706  seq3id2  10708  seqhomog  10712  seqfeq4g  10713  ser3ge0  10718  seq3coll  11024  wrdeqs1cat  11211  pfxccatin12lem2  11222  pfxccatin12lem3  11223  summodclem2a  11807  fsumm1  11842  telfsumo  11892  telfsumo2  11893  fsumparts  11896  prodfap0  11971  prodfrecap  11972  prodmodclem2a  12002  fprodm1  12024  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  nninfdclemlt  12937  gsumval2  13344  gsumfzz  13442  gsumfzconst  13792  gsumfzfsumlemm  14464  supfz  16212