Theorem eluzfz2 10267

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10255	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10268  elfzubelfz  10271  fzopth  10296  fzsuc  10304  fseq1p1m1  10329  fzm1  10335  fzneuz  10336  fzoend  10468  exfzdc  10487  uzsinds  10707  seq3clss  10734  seq3fveq2  10738  seqfveq2g  10740  seq3shft2  10744  seqshft2g  10745  monoord  10748  monoord2  10749  seq3split  10751  seqsplitg  10752  seq3caopr3  10754  seqcaopr3g  10755  seq3f1olemp  10778  seqf1oglem2a  10781  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seq3id3  10787  seq3id2  10789  seqhomog  10793  seqfeq4g  10794  ser3ge0  10799  seq3coll  11107  wrdeqs1cat  11305  pfxccatin12lem2  11316  pfxccatin12lem3  11317  summodclem2a  11960  fsumm1  11995  telfsumo  12045  telfsumo2  12046  fsumparts  12049  prodfap0  12124  prodfrecap  12125  prodmodclem2a  12155  fprodm1  12177  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  nninfdclemlt  13090  gsumval2  13498  gsumfzz  13596  gsumfzconst  13946  gsumsplit0  13951  gsumfzfsumlemm  14620  supfz  16727  gfsump1  16738