Theorem eluzfz2 10191

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9694	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9699	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10179	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 421	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  ℤcz 9409  ℤ_≥cuz 9685  ...cfz 10167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-pre-ltirr 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-neg 8283  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10192  elfzubelfz  10195  fzopth  10220  fzsuc  10228  fseq1p1m1  10253  fzm1  10259  fzneuz  10260  fzoend  10390  exfzdc  10408  uzsinds  10628  seq3clss  10655  seq3fveq2  10659  seqfveq2g  10661  seq3shft2  10665  seqshft2g  10666  monoord  10669  monoord2  10670  seq3split  10672  seqsplitg  10673  seq3caopr3  10675  seqcaopr3g  10676  seq3f1olemp  10699  seqf1oglem2a  10702  seqf1oglem1  10703  seqf1oglem2  10704  seq3id3  10708  seq3id2  10710  seqhomog  10714  seqfeq4g  10715  ser3ge0  10720  seq3coll  11026  wrdeqs1cat  11213  pfxccatin12lem2  11224  pfxccatin12lem3  11225  summodclem2a  11853  fsumm1  11888  telfsumo  11938  telfsumo2  11939  fsumparts  11942  prodfap0  12017  prodfrecap  12018  prodmodclem2a  12048  fprodm1  12070  eulerthlemrprm  12712  eulerthlema  12713  nninfdclemlt  12983  gsumval2  13390  gsumfzz  13488  gsumfzconst  13838  gsumfzfsumlemm  14510  supfz  16320