Theorem eluzfz2 10447

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9941	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9946	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10434	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-neg 8502  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  eluzfz2b  10448  elfzubelfz  10451  fzopth  10478  fzsuc  10486  fseq1p1m1  10512  fzm1  10518  fzneuz  10519  fzoend  10651  exfzdc  10670  uzsinds  10896  seq3clss  10923  seq3fveq2  10927  seqfveq2g  10929  seq3shft2  10933  seqshft2g  10934  monoord  10937  monoord2  10938  seq3split  10940  seqsplitg  10941  seq3caopr3  10943  seqcaopr3g  10944  seq3f1olemp  10967  seqf1oglem2a  10970  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  seq3id3  10976  seq3id2  10978  seqhomog  10982  seqfeq4g  10983  ser3ge0  10988  seq3coll  11310  wrdeqs1cat  11508  pfxccatin12lem2  11519  pfxccatin12lem3  11520  summodclem2a  12167  fsumm1  12202  telfsumo  12252  telfsumo2  12253  fsumparts  12256  prodfap0  12331  prodfrecap  12332  prodmodclem2a  12362  fprodm1  12384  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemfrci  13323  nninfdclemlt  13394  gzsumval2  13767  gzsumconst  14227  gzsumsplit0  14232  gsump1  14241  chtqub  16257  supfz  17288