Theorem eluzfz2 10446

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9940	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 9945	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 10433	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  eluzfz2b  10447  elfzubelfz  10450  fzopth  10477  fzsuc  10485  fseq1p1m1  10511  fzm1  10517  fzneuz  10518  fzoend  10650  exfzdc  10669  uzsinds  10894  seq3clss  10921  seq3fveq2  10925  seqfveq2g  10927  seq3shft2  10931  seqshft2g  10932  monoord  10935  monoord2  10936  seq3split  10938  seqsplitg  10939  seq3caopr3  10941  seqcaopr3g  10942  seq3f1olemp  10965  seqf1oglem2a  10968  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  seq3id3  10974  seq3id2  10976  seqhomog  10980  seqfeq4g  10981  ser3ge0  10986  seq3coll  11308  wrdeqs1cat  11506  pfxccatin12lem2  11517  pfxccatin12lem3  11518  summodclem2a  12164  fsumm1  12199  telfsumo  12249  telfsumo2  12250  fsumparts  12253  prodfap0  12328  prodfrecap  12329  prodmodclem2a  12359  fprodm1  12381  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemfrci  13320  nninfdclemlt  13391  gzsumval2  13763  gzsumconst  14192  gzsumsplit0  14197  gsump1  14206  supfz  17219