Theorem peano2zm 9661

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8332	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8642	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9654	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9659	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8627	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9656	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  -cneg 8488  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9662  zlem1lt  9680  zltlem1  9681  zextlt  9717  zeo  9730  eluzp1m1  9925  fzsplit3  10436  fz01en  10437  fzsuc2  10464  elfzm11  10476  uzdisj  10478  fzof  10529  fzoval  10533  elfzo  10534  fzodcel  10538  fzon  10552  fzoss2  10559  fzossrbm1  10560  fzosplitsnm1  10605  ubmelm1fzo  10622  elfzom1b  10625  fzosplitprm1  10631  fzoshftral  10635  fzofig  10847  uzsinds  10859  ser3mono  10902  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemab  10917  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsum  10928  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  bcm1k  11176  bcn2  11180  bcp1m1  11181  bcpasc  11182  bccl  11183  hashfibclem  11260  zfz1isolemiso  11269  seq3coll  11272  wrdred1  11325  wrdred1hash  11326  lswwrd  11329  lsw0  11330  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemnm  11762  fsumm1  12161  binomlem  12228  binom1dif  12232  isumsplit  12236  arisum2  12244  pwm1geoserap1  12253  mertenslemi1  12280  fprodm1  12343  fprodeq0  12362  3dvds  12609  zeo3  12613  oddm1even  12620  oddp1even  12621  zob  12636  nno  12651  bitsfzolem  12699  isprm3  12874  prmdc  12886  isprm5  12898  phibnd  12973  hashdvds  12977  odzcllem  12999  odzdvds  13002  fldivp1  13105  pockthlem  13113  4sqlemffi  13153  4sqleminfi  13154  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemgun  13246  oddennn  13261  gzsumsplit0  14125  znunit  14966  wilthlem1  16008  mersenne  16025  perfectlem1  16027  lgslem1  16033  lgsval2lem  16043  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem3  16112  lgsquad2lem1  16114  lgsquad3  16117  2sqlem8  16156  wlk1walkdom  16514  clwwlkccatlem  16555