Theorem peano2zm 9632

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8306	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9630	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8600	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9627	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   + caddc 8146   − cmin 8460  -cneg 8461  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9633  zlem1lt  9651  zltlem1  9652  zextlt  9688  zeo  9701  eluzp1m1  9896  fzsplit3  10407  fz01en  10408  fzsuc2  10435  elfzm11  10447  uzdisj  10449  fzof  10500  fzoval  10504  elfzo  10505  fzodcel  10509  fzon  10523  fzoss2  10530  fzossrbm1  10531  fzosplitsnm1  10576  ubmelm1fzo  10593  elfzom1b  10596  fzosplitprm1  10602  fzoshftral  10606  fzofig  10818  uzsinds  10830  ser3mono  10873  iseqf1olemqcl  10885  iseqf1olemnab  10887  iseqf1olemab  10888  seq3f1olemqsumkj  10897  seq3f1olemqsum  10899  seqf1oglem1  10905  seqf1oglem2  10906  bcm1k  11147  bcn2  11151  bcp1m1  11152  bcpasc  11153  bccl  11154  hashfibclem  11231  zfz1isolemiso  11236  seq3coll  11239  wrdred1  11292  wrdred1hash  11293  lswwrd  11296  lsw0  11297  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemnm  11728  fsumm1  12127  binomlem  12194  binom1dif  12198  isumsplit  12202  arisum2  12210  pwm1geoserap1  12219  mertenslemi1  12246  fprodm1  12309  fprodeq0  12328  3dvds  12575  zeo3  12579  oddm1even  12586  oddp1even  12587  zob  12602  nno  12617  bitsfzolem  12665  isprm3  12840  prmdc  12852  isprm5  12864  phibnd  12939  hashdvds  12943  odzcllem  12965  odzdvds  12968  fldivp1  13071  pockthlem  13079  4sqlemffi  13119  4sqleminfi  13120  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  ballotfilemfp1  13175  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemgun  13212  oddennn  13227  gsumsplit0  14099  znunit  14933  wilthlem1  15974  mersenne  15991  perfectlem1  15993  lgslem1  15999  lgsval2lem  16009  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem3  16078  lgsquad2lem1  16080  lgsquad3  16083  2sqlem8  16122  wlk1walkdom  16480  clwwlkccatlem  16521