Theorem peano2zm 9578

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9545	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8255	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8564	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9576	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8549	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9573	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  1c1 8093   + caddc 8095   − cmin 8409  -cneg 8410  ℤcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9579  zlem1lt  9597  zltlem1  9598  zextlt  9633  zeo  9646  eluzp1m1  9841  fz01en  10350  fzsuc2  10376  elfzm11  10388  uzdisj  10390  fzof  10441  fzoval  10445  elfzo  10446  fzodcel  10450  fzon  10464  fzoss2  10471  fzossrbm1  10472  fzosplitsnm1  10517  ubmelm1fzo  10534  elfzom1b  10537  fzosplitprm1  10543  fzoshftral  10547  fzofig  10757  uzsinds  10769  ser3mono  10812  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemab  10827  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsum  10838  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  bcm1k  11085  bcn2  11089  bcp1m1  11090  bcpasc  11091  bccl  11092  zfz1isolemiso  11166  seq3coll  11169  wrdred1  11222  wrdred1hash  11223  lswwrd  11226  lsw0  11227  resqrexlemcalc3  11656  resqrexlemnm  11658  fsumm1  12057  binomlem  12124  binom1dif  12128  isumsplit  12132  arisum2  12140  pwm1geoserap1  12149  mertenslemi1  12176  fprodm1  12239  fprodeq0  12258  3dvds  12505  zeo3  12509  oddm1even  12516  oddp1even  12517  zob  12532  nno  12547  bitsfzolem  12595  isprm3  12770  prmdc  12782  isprm5  12794  phibnd  12869  hashdvds  12873  odzcllem  12895  odzdvds  12898  fldivp1  13001  pockthlem  13009  4sqlemffi  13049  4sqleminfi  13050  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  oddennn  13093  gsumsplit0  14013  znunit  14755  wilthlem1  15794  mersenne  15811  perfectlem1  15813  lgslem1  15819  lgsval2lem  15829  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem3  15898  lgsquad2lem1  15900  lgsquad3  15903  2sqlem8  15942  wlk1walkdom  16300  clwwlkccatlem  16341