Theorem peano2zm 9364

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9331	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8042	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8352	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9357	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9362	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8337	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9359	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  1c1 7880   + caddc 7882   − cmin 8197  -cneg 8198  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9365  zlem1lt  9382  zltlem1  9383  zextlt  9418  zeo  9431  eluzp1m1  9625  fz01en  10128  fzsuc2  10154  elfzm11  10166  uzdisj  10168  fzof  10219  fzoval  10223  elfzo  10224  fzodcel  10228  fzon  10242  fzoss2  10248  fzossrbm1  10249  fzosplitsnm1  10285  ubmelm1fzo  10302  elfzom1b  10305  fzosplitprm1  10310  fzoshftral  10314  fzofig  10524  uzsinds  10536  ser3mono  10579  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemab  10594  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsum  10605  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  bcm1k  10852  bcn2  10856  bcp1m1  10857  bcpasc  10858  bccl  10859  zfz1isolemiso  10931  seq3coll  10934  wrdred1  10977  wrdred1hash  10978  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemnm  11183  fsumm1  11581  binomlem  11648  binom1dif  11652  isumsplit  11656  arisum2  11664  pwm1geoserap1  11673  mertenslemi1  11700  fprodm1  11763  fprodeq0  11782  3dvds  12029  zeo3  12033  oddm1even  12040  oddp1even  12041  zob  12056  nno  12071  bitsfzolem  12118  isprm3  12286  prmdc  12298  isprm5  12310  phibnd  12385  hashdvds  12389  odzcllem  12411  odzdvds  12414  fldivp1  12517  pockthlem  12525  4sqlemffi  12565  4sqleminfi  12566  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  oddennn  12609  znunit  14215  wilthlem1  15216  mersenne  15233  perfectlem1  15235  lgslem1  15241  lgsval2lem  15251  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem3  15320  lgsquad2lem1  15322  lgsquad3  15325  2sqlem8  15364