Theorem peano2zm 9410

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9377	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8088	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8398	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9403	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9408	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2282	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8383	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9405	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  1c1 7926   + caddc 7928   − cmin 8243  -cneg 8244  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9411  zlem1lt  9429  zltlem1  9430  zextlt  9465  zeo  9478  eluzp1m1  9672  fz01en  10175  fzsuc2  10201  elfzm11  10213  uzdisj  10215  fzof  10266  fzoval  10270  elfzo  10271  fzodcel  10275  fzon  10289  fzoss2  10296  fzossrbm1  10297  fzosplitsnm1  10338  ubmelm1fzo  10355  elfzom1b  10358  fzosplitprm1  10363  fzoshftral  10367  fzofig  10577  uzsinds  10589  ser3mono  10632  iseqf1olemqcl  10644  iseqf1olemnab  10646  iseqf1olemab  10647  seq3f1olemqsumkj  10656  seq3f1olemqsum  10658  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  bcm1k  10905  bcn2  10909  bcp1m1  10910  bcpasc  10911  bccl  10912  zfz1isolemiso  10984  seq3coll  10987  wrdred1  11036  wrdred1hash  11037  lswwrd  11040  lsw0  11041  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemnm  11329  fsumm1  11727  binomlem  11794  binom1dif  11798  isumsplit  11802  arisum2  11810  pwm1geoserap1  11819  mertenslemi1  11846  fprodm1  11909  fprodeq0  11928  3dvds  12175  zeo3  12179  oddm1even  12186  oddp1even  12187  zob  12202  nno  12217  bitsfzolem  12265  isprm3  12440  prmdc  12452  isprm5  12464  phibnd  12539  hashdvds  12543  odzcllem  12565  odzdvds  12568  fldivp1  12671  pockthlem  12679  4sqlemffi  12719  4sqleminfi  12720  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  oddennn  12763  znunit  14421  wilthlem1  15452  mersenne  15469  perfectlem1  15471  lgslem1  15477  lgsval2lem  15487  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem3  15556  lgsquad2lem1  15558  lgsquad3  15561  2sqlem8  15600