Theorem peano2zm 9383

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9350	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8061	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8371	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9381	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8356	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9378	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  1c1 7899   + caddc 7901   − cmin 8216  -cneg 8217  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9384  zlem1lt  9401  zltlem1  9402  zextlt  9437  zeo  9450  eluzp1m1  9644  fz01en  10147  fzsuc2  10173  elfzm11  10185  uzdisj  10187  fzof  10238  fzoval  10242  elfzo  10243  fzodcel  10247  fzon  10261  fzoss2  10267  fzossrbm1  10268  fzosplitsnm1  10304  ubmelm1fzo  10321  elfzom1b  10324  fzosplitprm1  10329  fzoshftral  10333  fzofig  10543  uzsinds  10555  ser3mono  10598  iseqf1olemqcl  10610  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemab  10613  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsum  10624  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  bcm1k  10871  bcn2  10875  bcp1m1  10876  bcpasc  10877  bccl  10878  zfz1isolemiso  10950  seq3coll  10953  wrdred1  10996  wrdred1hash  10997  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnm  11202  fsumm1  11600  binomlem  11667  binom1dif  11671  isumsplit  11675  arisum2  11683  pwm1geoserap1  11692  mertenslemi1  11719  fprodm1  11782  fprodeq0  11801  3dvds  12048  zeo3  12052  oddm1even  12059  oddp1even  12060  zob  12075  nno  12090  bitsfzolem  12138  isprm3  12313  prmdc  12325  isprm5  12337  phibnd  12412  hashdvds  12416  odzcllem  12438  odzdvds  12441  fldivp1  12544  pockthlem  12552  4sqlemffi  12592  4sqleminfi  12593  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  oddennn  12636  znunit  14293  wilthlem1  15324  mersenne  15341  perfectlem1  15343  lgslem1  15349  lgsval2lem  15359  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem3  15428  lgsquad2lem1  15430  lgsquad3  15433  2sqlem8  15472