Theorem peano2zm 9445

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8123	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8433	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9438	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9443	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2284	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9440	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  1c1 7961   + caddc 7963   − cmin 8278  -cneg 8279  ℤcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9446  zlem1lt  9464  zltlem1  9465  zextlt  9500  zeo  9513  eluzp1m1  9707  fz01en  10210  fzsuc2  10236  elfzm11  10248  uzdisj  10250  fzof  10301  fzoval  10305  elfzo  10306  fzodcel  10310  fzon  10324  fzoss2  10331  fzossrbm1  10332  fzosplitsnm1  10375  ubmelm1fzo  10392  elfzom1b  10395  fzosplitprm1  10400  fzoshftral  10404  fzofig  10614  uzsinds  10626  ser3mono  10669  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemab  10684  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsum  10695  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  bcm1k  10942  bcn2  10946  bcp1m1  10947  bcpasc  10948  bccl  10949  zfz1isolemiso  11021  seq3coll  11024  wrdred1  11073  wrdred1hash  11074  lswwrd  11077  lsw0  11078  resqrexlemcalc3  11442  resqrexlemnm  11444  fsumm1  11842  binomlem  11909  binom1dif  11913  isumsplit  11917  arisum2  11925  pwm1geoserap1  11934  mertenslemi1  11961  fprodm1  12024  fprodeq0  12043  3dvds  12290  zeo3  12294  oddm1even  12301  oddp1even  12302  zob  12317  nno  12332  bitsfzolem  12380  isprm3  12555  prmdc  12567  isprm5  12579  phibnd  12654  hashdvds  12658  odzcllem  12680  odzdvds  12683  fldivp1  12786  pockthlem  12794  4sqlemffi  12834  4sqleminfi  12835  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  oddennn  12878  znunit  14536  wilthlem1  15567  mersenne  15584  perfectlem1  15586  lgslem1  15592  lgsval2lem  15602  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem3  15671  lgsquad2lem1  15673  lgsquad3  15676  2sqlem8  15715