Theorem peano2zm 9516

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9483	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8194	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8504	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9509	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9514	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9511	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  -cneg 8350  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9517  zlem1lt  9535  zltlem1  9536  zextlt  9571  zeo  9584  eluzp1m1  9779  fz01en  10287  fzsuc2  10313  elfzm11  10325  uzdisj  10327  fzof  10378  fzoval  10382  elfzo  10383  fzodcel  10387  fzon  10401  fzoss2  10408  fzossrbm1  10409  fzosplitsnm1  10453  ubmelm1fzo  10470  elfzom1b  10473  fzosplitprm1  10479  fzoshftral  10483  fzofig  10693  uzsinds  10705  ser3mono  10748  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemab  10763  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsum  10774  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  bcm1k  11021  bcn2  11025  bcp1m1  11026  bcpasc  11027  bccl  11028  zfz1isolemiso  11102  seq3coll  11105  wrdred1  11155  wrdred1hash  11156  lswwrd  11159  lsw0  11160  resqrexlemcalc3  11576  resqrexlemnm  11578  fsumm1  11976  binomlem  12043  binom1dif  12047  isumsplit  12051  arisum2  12059  pwm1geoserap1  12068  mertenslemi1  12095  fprodm1  12158  fprodeq0  12177  3dvds  12424  zeo3  12428  oddm1even  12435  oddp1even  12436  zob  12451  nno  12466  bitsfzolem  12514  isprm3  12689  prmdc  12701  isprm5  12713  phibnd  12788  hashdvds  12792  odzcllem  12814  odzdvds  12817  fldivp1  12920  pockthlem  12928  4sqlemffi  12968  4sqleminfi  12969  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  oddennn  13012  znunit  14672  wilthlem1  15703  mersenne  15720  perfectlem1  15722  lgslem1  15728  lgsval2lem  15738  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem3  15807  lgsquad2lem1  15809  lgsquad3  15812  2sqlem8  15851  wlk1walkdom  16209  clwwlkccatlem  16250