ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2zm GIF version

Theorem peano2zm 9099
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 zcn 9066 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 1cnd 7789 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
31, 2negsubdid 8095 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4 znegcl 9092 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2z 9097 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
73, 6eqeltrd 2216 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
81, 2subcld 8080 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9 znegclb 9094 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
108, 9syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
117, 10mpbird 166 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7625  1c1 7628   + caddc 7630  cmin 7940  -cneg 7941  cz 9061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062
This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9100  zlem1lt  9117  zltlem1  9118  zextlt  9150  zeo  9163  eluzp1m1  9356  fz01en  9840  fzsuc2  9866  elfzm11  9878  uzdisj  9880  fzof  9928  fzoval  9932  elfzo  9933  fzodcel  9936  fzon  9950  fzoss2  9956  fzossrbm1  9957  fzosplitsnm1  9993  ubmelm1fzo  10010  elfzom1b  10013  fzosplitprm1  10018  fzoshftral  10022  fzofig  10212  uzsinds  10222  ser3mono  10258  iseqf1olemqcl  10266  iseqf1olemnab  10268  iseqf1olemab  10269  seq3f1olemqsumkj  10278  seq3f1olemqsum  10280  bcm1k  10513  bcn2  10517  bcp1m1  10518  bcpasc  10519  bccl  10520  zfz1isolemiso  10589  seq3coll  10592  resqrexlemcalc3  10795  resqrexlemnm  10797  fsumm1  11192  binomlem  11259  binom1dif  11263  isumsplit  11267  arisum2  11275  pwm1geoserap1  11284  mertenslemi1  11311  zeo3  11572  oddm1even  11579  oddp1even  11580  zob  11595  nno  11610  isprm3  11806  phibnd  11900  hashdvds  11904  oddennn  11912
  Copyright terms: Public domain W3C validator