Theorem peano2zm 9686

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9653	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8653	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9684	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8638	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9681	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8498  -cneg 8499  ℤcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  zaddcllemneg  9687  zlem1lt  9705  zltlem1  9706  zextlt  9742  zeo  9755  eluzp1m1  9955  fzsplit3  10468  fz01en  10469  fzsuc2  10496  elfzm11  10508  uzdisj  10510  fzof  10561  fzoval  10565  elfzo  10566  fzodcel  10570  fzon  10584  fzoss2  10591  fzossrbm1  10592  fzosplitsnm1  10637  ubmelm1fzo  10654  elfzom1b  10657  fzosplitprm1  10663  fzoshftral  10667  fzofig  10882  uzsinds  10894  ser3mono  10937  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  bcm1k  11212  bcn2  11216  bcp1m1  11217  bcpasc  11218  bccl  11219  hashfibclem  11296  zfz1isolemiso  11305  seq3coll  11308  wrdred1  11361  wrdred1hash  11362  lswwrd  11365  lsw0  11366  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemnm  11798  fsumm1  12199  binomlem  12266  binom1dif  12270  isumsplit  12274  arisum2  12282  pwm1geoserap1  12291  mertenslemi1  12318  fprodm1  12381  fprodeq0  12400  3dvds  12647  zeo3  12651  oddm1even  12658  oddp1even  12659  zob  12674  nno  12689  bitsfzolem  12737  isprm3  12912  prmdc  12924  isprm5  12937  phibnd  13015  hashdvds  13019  odzcllem  13041  odzdvds  13044  fldivp1  13147  pockthlem  13155  4sqlemffi  13195  4sqleminfi  13196  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  ballotfilemfp1  13280  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemgun  13317  oddennn  13332  gzsumsplit0  14197  znunit  15043  log2tlbndlog2  16139  log2ublem2  16141  birthdaylem3  16146  wilthlem1  16151  ppiqub  16194  mersenne  16195  perfectlem1  16197  lgslem1  16217  lgsval2lem  16227  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem3  16296  lgsquad2lem1  16298  lgsquad3  16301  2sqlem8  16340  wlk1walkdom  16698  clwwlkccatlem  16739