ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2zm GIF version

Theorem peano2zm 9060
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 zcn 9027 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 1cnd 7750 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
31, 2negsubdid 8056 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4 znegcl 9053 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2z 9058 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
73, 6eqeltrd 2194 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
81, 2subcld 8041 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9 znegclb 9055 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
108, 9syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
117, 10mpbird 166 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 1465  (class class class)co 5742  cc 7586  1c1 7589   + caddc 7591  cmin 7901  -cneg 7902  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9061  zlem1lt  9078  zltlem1  9079  zextlt  9111  zeo  9124  eluzp1m1  9317  fz01en  9801  fzsuc2  9827  elfzm11  9839  uzdisj  9841  fzof  9889  fzoval  9893  elfzo  9894  fzodcel  9897  fzon  9911  fzoss2  9917  fzossrbm1  9918  fzosplitsnm1  9954  ubmelm1fzo  9971  elfzom1b  9974  fzosplitprm1  9979  fzoshftral  9983  fzofig  10173  uzsinds  10183  ser3mono  10219  iseqf1olemqcl  10227  iseqf1olemnab  10229  iseqf1olemab  10230  seq3f1olemqsumkj  10239  seq3f1olemqsum  10241  bcm1k  10474  bcn2  10478  bcp1m1  10479  bcpasc  10480  bccl  10481  zfz1isolemiso  10550  seq3coll  10553  resqrexlemcalc3  10756  resqrexlemnm  10758  fsumm1  11153  binomlem  11220  binom1dif  11224  isumsplit  11228  arisum2  11236  pwm1geoserap1  11245  mertenslemi1  11272  zeo3  11492  oddm1even  11499  oddp1even  11500  zob  11515  nno  11530  isprm3  11726  phibnd  11820  hashdvds  11824  oddennn  11832
  Copyright terms: Public domain W3C validator