Theorem peano2zm 9484

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9451	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8162	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8472	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9477	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9482	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8457	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9479	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6001  ℂcc 7997  1c1 8000   + caddc 8002   − cmin 8317  -cneg 8318  ℤcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9485  zlem1lt  9503  zltlem1  9504  zextlt  9539  zeo  9552  eluzp1m1  9746  fz01en  10249  fzsuc2  10275  elfzm11  10287  uzdisj  10289  fzof  10340  fzoval  10344  elfzo  10345  fzodcel  10349  fzon  10363  fzoss2  10370  fzossrbm1  10371  fzosplitsnm1  10415  ubmelm1fzo  10432  elfzom1b  10435  fzosplitprm1  10440  fzoshftral  10444  fzofig  10654  uzsinds  10666  ser3mono  10709  iseqf1olemqcl  10721  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemab  10724  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsum  10735  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  bcm1k  10982  bcn2  10986  bcp1m1  10987  bcpasc  10988  bccl  10989  zfz1isolemiso  11061  seq3coll  11064  wrdred1  11114  wrdred1hash  11115  lswwrd  11118  lsw0  11119  resqrexlemcalc3  11527  resqrexlemnm  11529  fsumm1  11927  binomlem  11994  binom1dif  11998  isumsplit  12002  arisum2  12010  pwm1geoserap1  12019  mertenslemi1  12046  fprodm1  12109  fprodeq0  12128  3dvds  12375  zeo3  12379  oddm1even  12386  oddp1even  12387  zob  12402  nno  12417  bitsfzolem  12465  isprm3  12640  prmdc  12652  isprm5  12664  phibnd  12739  hashdvds  12743  odzcllem  12765  odzdvds  12768  fldivp1  12871  pockthlem  12879  4sqlemffi  12919  4sqleminfi  12920  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  oddennn  12963  znunit  14623  wilthlem1  15654  mersenne  15671  perfectlem1  15673  lgslem1  15679  lgsval2lem  15689  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem3  15758  lgsquad2lem1  15760  lgsquad3  15763  2sqlem8  15802  wlk1walkdom  16070