Theorem peano2zm 9495

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9462	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8173	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9488	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9493	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8468	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9490	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  1c1 8011   + caddc 8013   − cmin 8328  -cneg 8329  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9496  zlem1lt  9514  zltlem1  9515  zextlt  9550  zeo  9563  eluzp1m1  9758  fz01en  10261  fzsuc2  10287  elfzm11  10299  uzdisj  10301  fzof  10352  fzoval  10356  elfzo  10357  fzodcel  10361  fzon  10375  fzoss2  10382  fzossrbm1  10383  fzosplitsnm1  10427  ubmelm1fzo  10444  elfzom1b  10447  fzosplitprm1  10452  fzoshftral  10456  fzofig  10666  uzsinds  10678  ser3mono  10721  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsum  10747  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  bcm1k  10994  bcn2  10998  bcp1m1  10999  bcpasc  11000  bccl  11001  zfz1isolemiso  11074  seq3coll  11077  wrdred1  11127  wrdred1hash  11128  lswwrd  11131  lsw0  11132  resqrexlemcalc3  11543  resqrexlemnm  11545  fsumm1  11943  binomlem  12010  binom1dif  12014  isumsplit  12018  arisum2  12026  pwm1geoserap1  12035  mertenslemi1  12062  fprodm1  12125  fprodeq0  12144  3dvds  12391  zeo3  12395  oddm1even  12402  oddp1even  12403  zob  12418  nno  12433  bitsfzolem  12481  isprm3  12656  prmdc  12668  isprm5  12680  phibnd  12755  hashdvds  12759  odzcllem  12781  odzdvds  12784  fldivp1  12887  pockthlem  12895  4sqlemffi  12935  4sqleminfi  12936  4sqlem11  12940  4sqlem12  12941  oddennn  12979  znunit  14639  wilthlem1  15670  mersenne  15687  perfectlem1  15689  lgslem1  15695  lgsval2lem  15705  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem3  15774  lgsquad2lem1  15776  lgsquad3  15779  2sqlem8  15818  wlk1walkdom  16105  clwwlkccatlem  16143