Theorem peano2zm 9687

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9654	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8343	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8654	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9685	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8639	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9682	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  1c1 8181   + caddc 8183   − cmin 8499  -cneg 8500  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  zaddcllemneg  9688  zlem1lt  9706  zltlem1  9707  zextlt  9743  zeo  9756  eluzp1m1  9956  fzsplit3  10469  fz01en  10470  fzsuc2  10497  elfzm11  10509  uzdisj  10511  fzof  10562  fzoval  10566  elfzo  10567  fzodcel  10571  fzon  10585  fzoss2  10592  fzossrbm1  10593  fzosplitsnm1  10638  ubmelm1fzo  10655  elfzom1b  10658  fzosplitprm1  10664  fzoshftral  10668  fzofig  10884  uzsinds  10896  ser3mono  10939  iseqf1olemqcl  10951  iseqf1olemnab  10953  iseqf1olemab  10954  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsum  10965  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  bcm1k  11214  bcn2  11218  bcp1m1  11219  bcpasc  11220  bccl  11221  hashfibclem  11298  zfz1isolemiso  11307  seq3coll  11310  wrdred1  11363  wrdred1hash  11364  lswwrd  11367  lsw0  11368  resqrexlemcalc3  11798  resqrexlemnm  11800  fsumm1  12202  binomlem  12269  binom1dif  12273  isumsplit  12277  arisum2  12285  pwm1geoserap1  12294  mertenslemi1  12321  fprodm1  12384  fprodeq0  12403  3dvds  12650  zeo3  12654  oddm1even  12661  oddp1even  12662  zob  12677  nno  12692  bitsfzolem  12740  isprm3  12915  prmdc  12927  isprm5  12940  phibnd  13018  hashdvds  13022  odzcllem  13044  odzdvds  13047  fldivp1  13150  pockthlem  13158  4sqlemffi  13198  4sqleminfi  13199  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  ballotfilemfp1  13283  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemgun  13320  oddennn  13335  gzsumsplit0  14232  znunit  15078  log2tlbndlog2  16181  log2ublem2  16183  birthdaylem3  16188  wilthlem1  16193  ppiqub  16254  mersenne  16258  perfectlem1  16260  lgslem1  16285  lgsval2lem  16295  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem3  16364  lgsquad2lem1  16366  lgsquad3  16369  2sqlem8  16408  wlk1walkdom  16766  clwwlkccatlem  16807