Theorem peano2zm 9693

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8659	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = ( -𝑁 + 1))
4		znegcl 9686	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9691	. . . 4 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℤ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9688	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  1c1 8186   + caddc 8188   − cmin 8504   -cneg 8505  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  zaddcllemneg  9694  zlem1lt  9712  zltlem1  9713  zextlt  9749  zeo  9762  eluzp1m1  9962  fzsplit3  10475  fz01en  10476  fzsuc2  10503  elfzm11  10515  uzdisj  10517  fzof  10568  fzoval  10572  elfzo  10573  fzodcel  10577  fzon  10591  fzoss2  10598  fzossrbm1  10599  fzosplitsnm1  10644  ubmelm1fzo  10661  elfzom1b  10664  fzosplitprm1  10670  fzoshftral  10674  fzofig  10890  uzsinds  10902  ser3mono  10945  iseqf1olemqcl  10957  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemab  10960  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsum  10971  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  bcm1k  11220  bcn2  11224  bcp1m1  11225  bcpasc  11226  bccl  11227  hashfibclem  11304  zfz1isolemiso  11313  seq3coll  11316  wrdred1  11369  wrdred1hash  11370  lswwrd  11373  lsw0  11374  resqrexlemcalc3  11804  resqrexlemnm  11806  fsumm1  12208  binomlem  12275  binom1dif  12279  isumsplit  12283  arisum2  12291  pwm1geoserap1  12300  mertenslemi1  12327  fprodm1  12390  fprodeq0  12409  3dvds  12656  zeo3  12660  oddm1even  12667  oddp1even  12668  zob  12683  nno  12698  bitsfzolem  12746  isprm3  12921  prmdc  12933  isprm5  12946  phibnd  13024  hashdvds  13028  odzcllem  13050  odzdvds  13053  fldivp1  13156  pockthlem  13164  4sqlemffi  13204  4sqleminfi  13205  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemgun  13326  oddennn  13341  gzsumsplit0  14238  znunit  15103  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  birthdaylem3  16227  wilthlem1  16232  ppiqub  16293  mersenne  16297  perfectlem1  16299  lgslem1  16324  lgsval2lem  16334  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem3  16403  lgsquad2lem1  16405  lgsquad3  16408  2sqlem8  16447  wlk1walkdom  16805  clwwlkccatlem  16846