Theorem peano2zm 9517

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9484	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8505	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9510	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9515	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8490	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9512	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  1c1 8033   + caddc 8035   − cmin 8350  -cneg 8351  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9518  zlem1lt  9536  zltlem1  9537  zextlt  9572  zeo  9585  eluzp1m1  9780  fz01en  10288  fzsuc2  10314  elfzm11  10326  uzdisj  10328  fzof  10379  fzoval  10383  elfzo  10384  fzodcel  10388  fzon  10402  fzoss2  10409  fzossrbm1  10410  fzosplitsnm1  10455  ubmelm1fzo  10472  elfzom1b  10475  fzosplitprm1  10481  fzoshftral  10485  fzofig  10695  uzsinds  10707  ser3mono  10750  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsum  10776  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  bcm1k  11023  bcn2  11027  bcp1m1  11028  bcpasc  11029  bccl  11030  zfz1isolemiso  11104  seq3coll  11107  wrdred1  11157  wrdred1hash  11158  lswwrd  11161  lsw0  11162  resqrexlemcalc3  11578  resqrexlemnm  11580  fsumm1  11979  binomlem  12046  binom1dif  12050  isumsplit  12054  arisum2  12062  pwm1geoserap1  12071  mertenslemi1  12098  fprodm1  12161  fprodeq0  12180  3dvds  12427  zeo3  12431  oddm1even  12438  oddp1even  12439  zob  12454  nno  12469  bitsfzolem  12517  isprm3  12692  prmdc  12704  isprm5  12716  phibnd  12791  hashdvds  12795  odzcllem  12817  odzdvds  12820  fldivp1  12923  pockthlem  12931  4sqlemffi  12971  4sqleminfi  12972  4sqlem11  12976  4sqlem12  12977  oddennn  13015  gsumsplit0  13935  znunit  14676  wilthlem1  15707  mersenne  15724  perfectlem1  15726  lgslem1  15732  lgsval2lem  15742  lgseisenlem1  15802  lgseisenlem2  15803  lgseisenlem3  15804  lgsquadlem1  15809  lgsquadlem3  15811  lgsquad2lem1  15813  lgsquad3  15816  2sqlem8  15855  wlk1walkdom  16213  clwwlkccatlem  16254