Theorem peano2zm 9381

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9348	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8059	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8369	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9374	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9379	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8354	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9376	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  1c1 7897   + caddc 7899   − cmin 8214  -cneg 8215  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9382  zlem1lt  9399  zltlem1  9400  zextlt  9435  zeo  9448  eluzp1m1  9642  fz01en  10145  fzsuc2  10171  elfzm11  10183  uzdisj  10185  fzof  10236  fzoval  10240  elfzo  10241  fzodcel  10245  fzon  10259  fzoss2  10265  fzossrbm1  10266  fzosplitsnm1  10302  ubmelm1fzo  10319  elfzom1b  10322  fzosplitprm1  10327  fzoshftral  10331  fzofig  10541  uzsinds  10553  ser3mono  10596  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsum  10622  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  bcm1k  10869  bcn2  10873  bcp1m1  10874  bcpasc  10875  bccl  10876  zfz1isolemiso  10948  seq3coll  10951  wrdred1  10994  wrdred1hash  10995  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnm  11200  fsumm1  11598  binomlem  11665  binom1dif  11669  isumsplit  11673  arisum2  11681  pwm1geoserap1  11690  mertenslemi1  11717  fprodm1  11780  fprodeq0  11799  3dvds  12046  zeo3  12050  oddm1even  12057  oddp1even  12058  zob  12073  nno  12088  bitsfzolem  12136  isprm3  12311  prmdc  12323  isprm5  12335  phibnd  12410  hashdvds  12414  odzcllem  12436  odzdvds  12439  fldivp1  12542  pockthlem  12550  4sqlemffi  12590  4sqleminfi  12591  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  oddennn  12634  znunit  14291  wilthlem1  15300  mersenne  15317  perfectlem1  15319  lgslem1  15325  lgsval2lem  15335  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem3  15404  lgsquad2lem1  15406  lgsquad3  15409  2sqlem8  15448