Theorem peano2zm 9507

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9474	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		1cnd 8185	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	negsubdid 8495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) = (-𝑁 + 1))
4		znegcl 9500	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2z 9505	. . . 4 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -(𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8	1, 2	subcld 8480	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		znegclb 9502	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ↔ -(𝑁 − 1) ∈ ℤ))
11	7, 10	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  1c1 8023   + caddc 8025   − cmin 8340  -cneg 8341  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9508  zlem1lt  9526  zltlem1  9527  zextlt  9562  zeo  9575  eluzp1m1  9770  fz01en  10278  fzsuc2  10304  elfzm11  10316  uzdisj  10318  fzof  10369  fzoval  10373  elfzo  10374  fzodcel  10378  fzon  10392  fzoss2  10399  fzossrbm1  10400  fzosplitsnm1  10444  ubmelm1fzo  10461  elfzom1b  10464  fzosplitprm1  10470  fzoshftral  10474  fzofig  10684  uzsinds  10696  ser3mono  10739  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemab  10754  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsum  10765  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  bcm1k  11012  bcn2  11016  bcp1m1  11017  bcpasc  11018  bccl  11019  zfz1isolemiso  11093  seq3coll  11096  wrdred1  11146  wrdred1hash  11147  lswwrd  11150  lsw0  11151  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemnm  11569  fsumm1  11967  binomlem  12034  binom1dif  12038  isumsplit  12042  arisum2  12050  pwm1geoserap1  12059  mertenslemi1  12086  fprodm1  12149  fprodeq0  12168  3dvds  12415  zeo3  12419  oddm1even  12426  oddp1even  12427  zob  12442  nno  12457  bitsfzolem  12505  isprm3  12680  prmdc  12692  isprm5  12704  phibnd  12779  hashdvds  12783  odzcllem  12805  odzdvds  12808  fldivp1  12911  pockthlem  12919  4sqlemffi  12959  4sqleminfi  12960  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  oddennn  13003  znunit  14663  wilthlem1  15694  mersenne  15711  perfectlem1  15713  lgslem1  15719  lgsval2lem  15729  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem3  15798  lgsquad2lem1  15800  lgsquad3  15803  2sqlem8  15842  wlk1walkdom  16156  clwwlkccatlem  16195