Theorem 0nrp 12933

Description: Zero is not a positive real. Axiom 9 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nrp	⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+

Proof of Theorem 0nrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11125	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 11233	. 2 ⊢ ¬ 0 < 0
3		rpgt0 12909	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ+ → 0 < 0)
4	2, 3	mto 197	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  0cc0 11017   < clt 11157  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  itg2gt0  25708  dvrelog  26593  logdmn0  26596  logdivsqrle  34735  dvrelog2  42230  dvrelog3  42231  elbigolo1  48719