Theorem 0nrp 12942

Description: Zero is not a positive real. Axiom 9 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nrp	⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+

Proof of Theorem 0nrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11134	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 11242	. 2 ⊢ ¬ 0 < 0
3		rpgt0 12918	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ+ → 0 < 0)
4	2, 3	mto 197	1 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  0cc0 11026   < clt 11166  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  itg2gt0  25717  dvrelog  26602  logdmn0  26605  logdivsqrle  34807  dvrelog2  42318  dvrelog3  42319  elbigolo1  48803