Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 31981
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt 𝑥)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
logdivsqrle.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 12815 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2833 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
65relogcld 25220 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 14774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
87rpred 12431 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 14627 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10 rpne0 12405 . . . . . . 7 ((√‘𝑥) ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
1211adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
136, 8, 12redivcld 11467 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))):ℝ+⟶ℝ)
15 rpcn 12399 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 rpne0 12405 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1817adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1916, 18logcld 25168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2016sqrtcld 14800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
2119, 20, 12divrecd 11418 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
22 2cnd 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
24 2ne0 11741 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
2623, 25reccld 11408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2716, 18, 26cxpnegd 25312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 25300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3029oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
3127, 30eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (√‘𝑥)))
3231oveq2d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
3321, 32eqtr4d 2862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5148 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 10628 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
385rpreccld 12441 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
39 dvrelog 25234 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
40 logf1o 25162 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
41 f1of 6607 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4342a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4415ssriv 3958 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
45 0nrp 12424 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℝ+
46 ssdifsn 4706 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ (ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ¬ 0 ∈ ℝ+))
4744, 45, 46mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
4943, 48feqresmpt 6726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
5049oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
5139, 50syl5reqr 2874 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
52 1cnd 10635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5352halfcld 11882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
5453negcld 10983 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5554adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5616, 55cxpcld 25305 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℂ)
5752adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
5916, 58cxpcld 25305 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 10660 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℂ)
61 dvcxp1 25335 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 24570 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
6435, 63eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
65 ax-resscn 10593 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
67 eqid 2824 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867addcn 23476 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7044a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
71 ssid 3976 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
73 cncfmptc 23523 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
75 difss 4095 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76 cncfmptid 23524 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7748, 75, 76sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7874, 77divcncf 24057 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
8015, 79jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
81 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8281ellogdm 25236 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8483ssriv 3958 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 31926 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8778, 86mulcncf 24056 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
88 cncfmptc 23523 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9054, 52subcld 10996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
9190, 85cxpcncf1 31926 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9289, 91mulcncf 24056 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
93 cncfss 23510 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
9465, 71, 93mp2an 691 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
95 relogcn 25235 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
9649, 95eqeltrrdi 2925 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
9794, 96sseldi 3952 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9892, 97mulcncf 24056 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 23526 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
100 rpre 12397 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 11466 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
102 rpge0 12402 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
103 halfre 11851 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 10946 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 25320 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 10670 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 10640 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 10947 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 25320 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 10670 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 25173 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10670 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 10669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
116115adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 6871 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ)
118 cncffvrn 23509 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ))
119118biimpar 481 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 836 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2916 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12364fveq1d 6664 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
124123adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
12557negcld 10983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -1 ∈ ℂ)
126 cxpadd 25276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ -(1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12859mulid2d 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
12955, 57negsubd 11002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) − 1))
130129oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
131128, 130eqtr4d 2862 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13244, 38sseldi 3952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
133132, 56mulcomd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)))
134 cxpneg 25278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13616cxp1d 25303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
137136oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐1)) = (1 / 𝑥))
138135, 137eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) = (𝑥𝑐-1))
139138oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2870 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
14255, 59, 19mul32d 10849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) = ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
143141, 142oveq12d 7168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
14455, 19mulcld 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14557, 144, 59adddird 10665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
146143, 145eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
147146mpteq2dva 5148 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
148147fveq1d 6664 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
149148adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
150 eqidd 2825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
151 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
152151fveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
153152oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) = (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))
154153oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) = (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
155151oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) = (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
156154, 155oveq12d 7168 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
157 ioossicc 12823 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1592, 3, 4fct2relem 31928 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
160158, 159sstrd 3964 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
161160sselda 3954 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 6767 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 25220 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 10670 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 10669 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 0red 10643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 25273 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 12431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 12435 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
174 2cn 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
175174mulid2i 10645 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
176 2re 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 15444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ∈ ℝ)
1793rpred 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
183182adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝐴)
184 eliooord 12796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
185184simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 10787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝑦)
189 reeflog 25178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦)))
192 efle 15474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑦) ∈ ℝ) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
193176, 166, 192sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
194191, 193mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≤ (log‘𝑦))
195175, 194eqbrtrid 5088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · 2) ≤ (log‘𝑦))
196 2rp 12394 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 12480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · 2) ≤ (log‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2)))
199195, 198mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2))
20065, 166sseldi 3952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
20122adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
203200, 201, 202divrec2d 11419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑦) / 2) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
204199, 203breqtrd 5079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
20553adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
206205, 200mulneg1d 11092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) = -((1 / 2) · (log‘𝑦)))
207206oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))))
20865, 169sseldi 3952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
209205, 200mulcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
210208, 209subnegd 11003 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))))
211209addid2d 10840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
213204, 212breqtrrd 5081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
214 leaddsub 11115 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
216213, 215mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 11578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
21844, 171sseldi 3952 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
219218mul02d 10837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5079 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ 0)
221163, 220eqbrtrd 5075 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) ≤ 0)
222149, 221eqbrtrd 5075 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
223124, 222eqbrtrd 5075 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 31933 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴))
225 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))
226 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
227226fveq2d 6666 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
228226fveq2d 6666 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (√‘𝑥) = (√‘𝐵))
229227, 228oveq12d 7168 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
230 ovex 7183 . . . 4 ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 6767 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
233 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
234233fveq2d 6666 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
235233fveq2d 6666 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
236234, 235oveq12d 7168 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
237 ovex 7183 . . . 4 ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 6767 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
240224, 232, 2393brtr3d 5084 1 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3481  cdif 3917  wss 3920  {csn 4551  {cpr 4553   class class class wbr 5053  cmpt 5133  ran crn 5544  cres 5545  wf 6340  1-1-ontowf1o 6343  cfv 6344  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11692  +crp 12389  (,)cioo 12738  (,]cioc 12739  [,]cicc 12741  csqrt 14595  expce 15418  TopOpenctopn 16698  fldccnfld 20548   Cn ccn 21835   ×t ctx 22171  cnccncf 23487   D cdv 24472  logclog 25152  𝑐ccxp 25153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-symdif 4205  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-tan 15428  df-pi 15429  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280  df-limc 24475  df-dv 24476  df-log 25154  df-cxp 25155
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31982
  Copyright terms: Public domain W3C validator