Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 34338
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt π‘₯)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
logdivsqrle.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13432 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2734 . . 3 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
5 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
65relogcld 26573 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15388 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
87rpred 13046 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15241 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
10 rpne0 13020 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
1211adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
136, 8, 12redivcld 12070 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7119 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))):ℝ+βŸΆβ„)
15 rpcn 13014 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1615adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
17 rpne0 13020 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
1817adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
1916, 18logcld 26520 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2016sqrtcld 15414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2119, 20, 12divrecd 12021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
22 2cnd 12318 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
24 2ne0 12344 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
2623, 25reccld 12011 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
2716, 18, 26cxpnegd 26665 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26653 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3029oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3127, 30eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3231oveq2d 7431 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
3321, 32eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11228 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3736a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
385rpreccld 13056 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
39 logf1o 26514 . . . . . . . . . . 11 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
40 f1of 6833 . . . . . . . . . . 11 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4315ssriv 3976 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† β„‚
44 0nrp 13039 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4787 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
4842, 47feqresmpt 6962 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
4948oveq2d 7431 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
50 dvrelog 26587 . . . . . . 7 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5149, 50eqtr3di 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
52 1cnd 11237 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5352halfcld 12485 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
5453negcld 11586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5554adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5616, 55cxpcld 26658 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ β„‚)
5752adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
5855, 57subcld 11599 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5916, 58cxpcld 26658 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
61 dvcxp1 26690 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 25909 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6435, 63eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
65 ax-resscn 11193 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
6665a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
67 eqid 2725 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6867addcn 24797 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† β„‚)
71 ssid 3995 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
73 cncfmptc 24848 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
75 difss 4124 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
76 cncfmptid 24849 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7747, 75, 76sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7874, 77divcncf 25392 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
8015, 79jca 510 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
81 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8281ellogdm 26589 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8483ssriv 3976 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 34283 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8778, 86mulcncf 25390 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
88 cncfmptc 24848 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9054, 52subcld 11599 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
9190, 85cxpcncf1 34283 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9289, 91mulcncf 25390 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
93 cncfss 24835 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9465, 71, 93mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
95 relogcn 26588 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
9794, 96sselid 3970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9892, 97mulcncf 25390 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
100 rpre 13012 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 12069 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
102 rpge0 13017 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ π‘₯)
103 halfre 12454 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11549 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26673 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11272 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11242 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11550 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26673 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11272 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 26525 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11272 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11271 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
116115adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7119 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„)
118 cncfcdm 24834 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„))
119118biimpar 476 . . . . 5 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
12364fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
124123adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
12557negcld 11586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -1 ∈ β„‚)
126 cxpadd 26629 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ -(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12859mullidd 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
12955, 57negsubd 11605 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) βˆ’ 1))
130129oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
131128, 130eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3970 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
133132, 56mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)))
134 cxpneg 26631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0 ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13616cxp1d 26656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
137136oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐1)) = (1 / π‘₯))
138135, 137eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) = (π‘₯↑𝑐-1))
139138oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
14255, 59, 19mul32d 11452 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) = ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
143141, 142oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
14455, 19mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
14557, 144, 59adddird 11267 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
146143, 145eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
147146mpteq2dva 5243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
148147fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
149148adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
150 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
151 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
152151fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘¦))
153152oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) = (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
154153oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) = (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
155151oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) = (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
156154, 155oveq12d 7433 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
157 ioossicc 13440 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
1592, 3, 4fct2relem 34285 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
160158, 159sstrd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
161160sselda 3972 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7450 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 26573 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11272 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11271 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
169 0red 11245 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26626 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 13046 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 13050 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
174 2cn 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
175174mullidi 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 2) = 2
176 2re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 16062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ∈ ℝ)
1793rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 13046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
183182adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
184 eliooord 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
185184simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝑦)
189 reeflog 26530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)))
192 efle 16092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
193176, 166, 192sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
194191, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ≀ (logβ€˜π‘¦))
195175, 194eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦))
196 2rp 13009 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13095 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2)))
199195, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2))
20065, 166sselid 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
20122adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
203200, 201, 202divrec2d 12022 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 2) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
204199, 203breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
20553adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
206205, 200mulneg1d 11695 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) = -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
207206oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
20865, 169sselid 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
209205, 200mulcld 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
210208, 209subnegd 11606 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
211209addlidd 11443 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
213204, 212breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
214 leaddsub 11718 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
216213, 215mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12181 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
21843, 171sselid 3970 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
219218mul02d 11440 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ 0)
221163, 220eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
222149, 221eqbrtrd 5165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
223124, 222eqbrtrd 5165 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 34290 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄))
225 eqidd 2726 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
226 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
227226fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
228226fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΅))
229227, 228oveq12d 7433 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
230 ovex 7448 . . . 4 ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
233 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
234233fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
235233fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
236234, 235oveq12d 7433 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
237 ovex 7448 . . . 4 ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
240224, 232, 2393brtr3d 5174 1 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  2c2 12295  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  (,]cioc 13355  [,]cicc 13357  βˆšcsqrt 15210  expce 16035  TopOpenctopn 17400  β„‚fldccnfld 21281   Cn ccn 23144   Γ—t ctx 23480  β€“cnβ†’ccncf 24812   D cdv 25808  logclog 26504  β†‘𝑐ccxp 26505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-tan 16045  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-ibl 25567  df-itg 25568  df-0p 25615  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34339
  Copyright terms: Public domain W3C validator