Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 33263
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt 𝑥)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
logdivsqrle.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13342 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2745 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
65relogcld 25978 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15296 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
87rpred 12957 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10 rpne0 12931 . . . . . . 7 ((√‘𝑥) ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
136, 8, 12redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7063 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))):ℝ+⟶ℝ)
15 rpcn 12925 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 rpne0 12931 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1916, 18logcld 25926 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2016sqrtcld 15322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
2119, 20, 12divrecd 11934 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
22 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
24 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
2623, 25reccld 11924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2716, 18, 26cxpnegd 26070 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3029oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
3127, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (√‘𝑥)))
3231oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
3321, 32eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11143 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
385rpreccld 12967 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
39 logf1o 25920 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
40 f1of 6784 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4315ssriv 3948 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
44 0nrp 12950 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4748 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ (ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
4842, 47feqresmpt 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
4948oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
50 dvrelog 25992 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
5149, 50eqtr3di 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
52 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5352halfcld 12398 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
5453negcld 11499 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5554adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5616, 55cxpcld 26063 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℂ)
5752adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
5855, 57subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
5916, 58cxpcld 26063 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℂ)
61 dvcxp1 26093 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 25325 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
6435, 63eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
65 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
67 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867addcn 24228 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
71 ssid 3966 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
73 cncfmptc 24275 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
75 difss 4091 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76 cncfmptid 24276 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7747, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7874, 77divcncf 24811 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
8015, 79jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8281ellogdm 25994 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8483ssriv 3948 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 33208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8778, 86mulcncf 24810 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
88 cncfmptc 24275 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9054, 52subcld 11512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
9190, 85cxpcncf1 33208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9289, 91mulcncf 24810 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
93 cncfss 24262 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
9465, 71, 93mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
95 relogcn 25993 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2847 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
9794, 96sselid 3942 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9892, 97mulcncf 24810 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24278 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
100 rpre 12923 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 11982 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
102 rpge0 12928 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
103 halfre 12367 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11462 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26078 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11155 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11463 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26078 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 25931 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
116115adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7063 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ)
118 cncfcdm 24261 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ))
119118biimpar 478 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 836 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12364fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
124123adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
12557negcld 11499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -1 ∈ ℂ)
126 cxpadd 26034 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ -(1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1376 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12859mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
12955, 57negsubd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) − 1))
130129oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
131128, 130eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
133132, 56mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)))
134 cxpneg 26036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13616cxp1d 26061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
137136oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐1)) = (1 / 𝑥))
138135, 137eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) = (𝑥𝑐-1))
139138oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
14255, 59, 19mul32d 11365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) = ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
143141, 142oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
14455, 19mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14557, 144, 59adddird 11180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
146143, 145eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
147146mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
148147fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
149148adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
150 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
151 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
152151fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
153152oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) = (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))
154153oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) = (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
155151oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) = (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
156154, 155oveq12d 7375 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
157 ioossicc 13350 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1592, 3, 4fct2relem 33210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
160158, 159sstrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
161160sselda 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 25978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26031 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 12957 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 12961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
174 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
175174mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
176 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 15970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ∈ ℝ)
1793rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
183182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝐴)
184 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
185184simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝑦)
189 reeflog 25936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦)))
192 efle 16000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑦) ∈ ℝ) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
193176, 166, 192sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
194191, 193mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≤ (log‘𝑦))
195175, 194eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · 2) ≤ (log‘𝑦))
196 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · 2) ≤ (log‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2)))
199195, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2))
20065, 166sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
20122adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
203200, 201, 202divrec2d 11935 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑦) / 2) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
204199, 203breqtrd 5131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
20553adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
206205, 200mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) = -((1 / 2) · (log‘𝑦)))
207206oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))))
20865, 169sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
209205, 200mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
210208, 209subnegd 11519 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))))
211209addid2d 11356 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
213204, 212breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
214 leaddsub 11631 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
216213, 215mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
21843, 171sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
219218mul02d 11353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5131 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ 0)
221163, 220eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) ≤ 0)
222149, 221eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
223124, 222eqbrtrd 5127 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 33215 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴))
225 eqidd 2737 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))
226 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
227226fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
228226fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (√‘𝑥) = (√‘𝐵))
229227, 228oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
230 ovex 7390 . . . 4 ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 6955 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
233 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
234233fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
235233fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
236234, 235oveq12d 7375 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
237 ovex 7390 . . . 4 ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 6955 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
240224, 232, 2393brtr3d 5136 1 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,]cicc 13267  csqrt 15118  expce 15944  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  cnccncf 24239   D cdv 25227  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  hgt750lem  33264
  Copyright terms: Public domain W3C validator