Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 34666
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt 𝑥)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
logdivsqrle.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13466 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2745 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
65relogcld 26666 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15451 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
87rpred 13078 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15304 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10 rpne0 13052 . . . . . . 7 ((√‘𝑥) ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
136, 8, 12redivcld 12096 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))):ℝ+⟶ℝ)
15 rpcn 13046 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 rpne0 13052 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1916, 18logcld 26613 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2016sqrtcld 15477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
2119, 20, 12divrecd 12047 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
22 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
24 2ne0 12371 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
2623, 25reccld 12037 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2716, 18, 26cxpnegd 26758 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3029oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
3127, 30eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (√‘𝑥)))
3231oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
3321, 32eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11248 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
385rpreccld 13088 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
39 logf1o 26607 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
40 f1of 6847 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4315ssriv 3986 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
44 0nrp 13071 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4787 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ (ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
4842, 47feqresmpt 6977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
4948oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
50 dvrelog 26680 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
5149, 50eqtr3di 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
52 1cnd 11257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5352halfcld 12513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
5453negcld 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5616, 55cxpcld 26751 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℂ)
5752adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
5855, 57subcld 11621 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
5916, 58cxpcld 26751 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 11282 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℂ)
61 dvcxp1 26783 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 26000 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
6435, 63eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
65 ax-resscn 11213 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
67 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867addcn 24888 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
71 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
73 cncfmptc 24939 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
75 difss 4135 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76 cncfmptid 24940 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7747, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7874, 77divcncf 25483 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
8015, 79jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8281ellogdm 26682 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8483ssriv 3986 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 34611 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8778, 86mulcncf 25481 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
88 cncfmptc 24939 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9054, 52subcld 11621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
9190, 85cxpcncf1 34611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9289, 91mulcncf 25481 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
93 cncfss 24926 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
9465, 71, 93mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
95 relogcn 26681 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
9794, 96sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9892, 97mulcncf 25481 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24942 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
100 rpre 13044 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 12095 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
102 rpge0 13049 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
103 halfre 12481 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11571 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26766 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11292 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11262 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11572 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26766 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11292 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 26618 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11292 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11291 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
116115adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ)
118 cncfcdm 24925 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ))
119118biimpar 477 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12364fveq1d 6907 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
124123adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
12557negcld 11608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -1 ∈ ℂ)
126 cxpadd 26722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ -(1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1377 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12859mullidd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
12955, 57negsubd 11627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) − 1))
130129oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
131128, 130eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
133132, 56mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)))
134 cxpneg 26724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13616cxp1d 26749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
137136oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐1)) = (1 / 𝑥))
138135, 137eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) = (𝑥𝑐-1))
139138oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
14255, 59, 19mul32d 11472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) = ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
143141, 142oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
14455, 19mulcld 11282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14557, 144, 59adddird 11287 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
146143, 145eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
147146mpteq2dva 5241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
148147fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
149148adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
150 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
152151fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
153152oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) = (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))
154153oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) = (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
155151oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) = (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
156154, 155oveq12d 7450 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
157 ioossicc 13474 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1592, 3, 4fct2relem 34613 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
160158, 159sstrd 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
161160sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 7022 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 26666 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 0red 11265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26719 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 13078 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 13082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
174 2cn 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
175174mullidi 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
176 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 16125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ∈ ℝ)
1793rpred 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 13078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝐴)
184 eliooord 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
185184simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝑦)
189 reeflog 26623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦)))
192 efle 16155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑦) ∈ ℝ) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
193176, 166, 192sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≤ (log‘𝑦))
195175, 194eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · 2) ≤ (log‘𝑦))
196 2rp 13040 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · 2) ≤ (log‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2)))
199195, 198mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2))
20065, 166sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
20122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
203200, 201, 202divrec2d 12048 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑦) / 2) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
204199, 203breqtrd 5168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
20553adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
206205, 200mulneg1d 11717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) = -((1 / 2) · (log‘𝑦)))
207206oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))))
20865, 169sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
209205, 200mulcld 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
210208, 209subnegd 11628 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))))
211209addlidd 11463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
213204, 212breqtrrd 5170 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
214 leaddsub 11740 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
216213, 215mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
21843, 171sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
219218mul02d 11460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5168 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ 0)
221163, 220eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) ≤ 0)
222149, 221eqbrtrd 5164 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
223124, 222eqbrtrd 5164 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 34618 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴))
225 eqidd 2737 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))
226 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
227226fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
228226fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (√‘𝑥) = (√‘𝐵))
229227, 228oveq12d 7450 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
230 ovex 7465 . . . 4 ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 7022 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
233 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
234233fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
235233fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
236234, 235oveq12d 7450 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
237 ovex 7465 . . . 4 ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 7022 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
240224, 232, 2393brtr3d 5173 1 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  +crp 13035  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,]cicc 13391  csqrt 15273  expce 16098  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365   Cn ccn 23233   ×t ctx 23569  cnccncf 24903   D cdv 25899  logclog 26597  𝑐ccxp 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-symdif 4252  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34667
  Copyright terms: Public domain W3C validator