Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 31334
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt 𝑥)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
logdivsqrle.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 12567 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2787 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
65relogcld 24810 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 14562 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
87rpred 12185 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 14416 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10 rpne0 12159 . . . . . . 7 ((√‘𝑥) ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
1211adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
136, 8, 12redivcld 11205 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 6651 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))):ℝ+⟶ℝ)
15 rpcn 12153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 rpne0 12159 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1817adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1916, 18logcld 24758 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2016sqrtcld 14588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
2119, 20, 12divrecd 11156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
22 2cnd 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2322adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
24 2ne0 11490 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
2623, 25reccld 11146 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2716, 18, 26cxpnegd 24902 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 24890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3029oveq2d 6940 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
3127, 30eqtrd 2814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (√‘𝑥)))
3231oveq2d 6940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
3321, 32eqtr4d 2817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 4981 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 6940 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 10366 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
385rpreccld 12195 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
39 dvrelog 24824 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
40 logf1o 24752 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
41 f1of 6393 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4342a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4415ssriv 3825 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
45 0nrp 12178 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℝ+
46 ssdifsn 4551 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ (ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ¬ 0 ∈ ℝ+))
4744, 45, 46mpbir2an 701 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
4943, 48feqresmpt 6512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
5049oveq2d 6940 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
5139, 50syl5reqr 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
52 1cnd 10373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5352halfcld 11631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
5453negcld 10723 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5554adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5616, 55cxpcld 24895 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℂ)
5752adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
5855, 57subcld 10736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
5916, 58cxpcld 24895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℂ)
61 dvcxp1 24925 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 24165 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
6435, 63eqtrd 2814 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
65 ax-resscn 10331 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
67 eqid 2778 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867addcn 23080 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7044a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
71 ssid 3842 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
73 cncfmptc 23126 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
75 difss 3960 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76 cncfmptid 23127 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7748, 75, 76sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7874, 77divcncf 23655 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
8015, 79jca 507 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
81 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8281ellogdm 24826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8483ssriv 3825 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 31279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8778, 86mulcncf 23654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
88 cncfmptc 23126 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9054, 52subcld 10736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
9190, 85cxpcncf1 31279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9289, 91mulcncf 23654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
93 cncfss 23114 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
9465, 71, 93mp2an 682 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
95 relogcn 24825 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
9649, 95syl6eqelr 2868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
9794, 96sseldi 3819 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9892, 97mulcncf 23654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 23129 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
100 rpre 12149 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 11204 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
102 rpge0 12156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
103 halfre 11600 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 10686 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 24910 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 10409 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 10378 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 10687 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 24910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 10409 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 24763 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10409 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 10408 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
116115adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 6651 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ)
118 cncffvrn 23113 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ))
119118biimpar 471 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 828 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2859 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12364fveq1d 6450 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
124123adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
12557negcld 10723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -1 ∈ ℂ)
126 cxpadd 24866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ -(1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12859mulid2d 10397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
12955, 57negsubd 10742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) − 1))
130129oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
131128, 130eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13244, 38sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
133132, 56mulcomd 10400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)))
134 cxpneg 24868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13616cxp1d 24893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
137136oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐1)) = (1 / 𝑥))
138135, 137eqtr2d 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) = (𝑥𝑐-1))
139138oveq2d 6940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
14255, 59, 19mul32d 10588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) = ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
143141, 142oveq12d 6942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
14455, 19mulcld 10399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14557, 144, 59adddird 10404 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
146143, 145eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
147146mpteq2dva 4981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
148147fveq1d 6450 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
149148adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
150 eqidd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
151 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
152151fveq2d 6452 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
153152oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) = (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))
154153oveq2d 6940 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) = (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
155151oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) = (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
156154, 155oveq12d 6942 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
157 ioossicc 12575 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1592, 3, 4fct2relem 31281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
160158, 159sstrd 3831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
161160sselda 3821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 6958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 6550 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 24810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 10409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 10408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 0red 10382 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 24863 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 12185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 12189 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
174 2cn 11454 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
175174mulid2i 10384 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
176 2re 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 15224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ∈ ℝ)
1793rpred 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 12185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
183182adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝐴)
184 eliooord 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
185184simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 10526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝑦)
189 reeflog 24768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 4916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦)))
192 efle 15254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑦) ∈ ℝ) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
193176, 166, 192sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
194191, 193mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≤ (log‘𝑦))
195175, 194syl5eqbr 4923 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · 2) ≤ (log‘𝑦))
196 2rp 12146 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 12234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · 2) ≤ (log‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2)))
199195, 198mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2))
20065, 166sseldi 3819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
20122adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
203200, 201, 202divrec2d 11157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑦) / 2) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
204199, 203breqtrd 4914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
20553adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
206205, 200mulneg1d 10830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) = -((1 / 2) · (log‘𝑦)))
207206oveq2d 6940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))))
20865, 169sseldi 3819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
209205, 200mulcld 10399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
210208, 209subnegd 10743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))))
211209addid2d 10579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
213204, 212breqtrrd 4916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
214 leaddsub 10853 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
216213, 215mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 11319 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
21844, 171sseldi 3819 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
219218mul02d 10576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 4914 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ 0)
221163, 220eqbrtrd 4910 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) ≤ 0)
222149, 221eqbrtrd 4910 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
223124, 222eqbrtrd 4910 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 31286 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴))
225 eqidd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))
226 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
227226fveq2d 6452 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
228226fveq2d 6452 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (√‘𝑥) = (√‘𝐵))
229227, 228oveq12d 6942 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
230 ovex 6956 . . . 4 ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 6550 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
233 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
234233fveq2d 6452 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
235233fveq2d 6452 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
236234, 235oveq12d 6942 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
237 ovex 6956 . . . 4 ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 6550 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
240224, 232, 2393brtr3d 4919 1 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  cdif 3789  wss 3792  {csn 4398  {cpr 4400   class class class wbr 4888  cmpt 4967  ran crn 5358  cres 5359  wf 6133  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  -∞cmnf 10411   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11034  2c2 11434  +crp 12141  (,)cioo 12491  (,]cioc 12492  [,]cicc 12494  csqrt 14384  expce 15198  TopOpenctopn 16472  fldccnfld 20146   Cn ccn 21440   ×t ctx 21776  cnccncf 23091   D cdv 24068  logclog 24742  𝑐ccxp 24743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-tan 15208  df-pi 15209  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-ovol 23672  df-vol 23673  df-mbf 23827  df-itg1 23828  df-itg2 23829  df-ibl 23830  df-itg 23831  df-0p 23878  df-limc 24071  df-dv 24072  df-log 24744  df-cxp 24745
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31335
  Copyright terms: Public domain W3C validator