Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 33327
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt π‘₯)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
logdivsqrle.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13351 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2742 . . 3 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
5 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
65relogcld 26001 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15305 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
87rpred 12965 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15158 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
10 rpne0 12939 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
1211adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
136, 8, 12redivcld 11991 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))):ℝ+βŸΆβ„)
15 rpcn 12933 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1615adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
17 rpne0 12939 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
1817adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
1916, 18logcld 25949 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2016sqrtcld 15331 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2119, 20, 12divrecd 11942 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
22 2cnd 12239 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
24 2ne0 12265 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
2623, 25reccld 11932 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
2716, 18, 26cxpnegd 26093 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26081 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3029oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3127, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3231oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
3321, 32eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5209 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11151 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3736a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
385rpreccld 12975 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
39 logf1o 25943 . . . . . . . . . . 11 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
40 f1of 6788 . . . . . . . . . . 11 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4315ssriv 3952 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† β„‚
44 0nrp 12958 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 710 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
4842, 47feqresmpt 6915 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
4948oveq2d 7377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
50 dvrelog 26015 . . . . . . 7 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5149, 50eqtr3di 2788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
52 1cnd 11158 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5352halfcld 12406 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
5453negcld 11507 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5554adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5616, 55cxpcld 26086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ β„‚)
5752adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
5855, 57subcld 11520 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5916, 58cxpcld 26086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
61 dvcxp1 26116 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 25348 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6435, 63eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
65 ax-resscn 11116 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
6665a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
67 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6867addcn 24251 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† β„‚)
71 ssid 3970 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
73 cncfmptc 24298 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
75 difss 4095 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
76 cncfmptid 24299 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7747, 75, 76sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7874, 77divcncf 24834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
8015, 79jca 513 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
81 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8281ellogdm 26017 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8483ssriv 3952 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 33272 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8778, 86mulcncf 24833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
88 cncfmptc 24298 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9054, 52subcld 11520 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
9190, 85cxpcncf1 33272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9289, 91mulcncf 24833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
93 cncfss 24285 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9465, 71, 93mp2an 691 . . . . . . . 8 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
95 relogcn 26016 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2843 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
9794, 96sselid 3946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9892, 97mulcncf 24833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24301 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
100 rpre 12931 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 11990 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
102 rpge0 12936 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ π‘₯)
103 halfre 12375 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11470 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26101 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11193 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11163 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11471 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26101 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11193 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 25954 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11193 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11192 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
116115adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„)
118 cncfcdm 24284 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„))
119118biimpar 479 . . . . 5 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
12364fveq1d 6848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
124123adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
12557negcld 11507 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -1 ∈ β„‚)
126 cxpadd 26057 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ -(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1377 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12859mulid2d 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
12955, 57negsubd 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) βˆ’ 1))
130129oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
131128, 130eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3946 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
133132, 56mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)))
134 cxpneg 26059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0 ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13616cxp1d 26084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
137136oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐1)) = (1 / π‘₯))
138135, 137eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) = (π‘₯↑𝑐-1))
139138oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
14255, 59, 19mul32d 11373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) = ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
143141, 142oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
14455, 19mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
14557, 144, 59adddird 11188 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
146143, 145eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
147146mpteq2dva 5209 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
148147fveq1d 6848 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
149148adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
150 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
151 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
152151fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘¦))
153152oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) = (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
154153oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) = (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
155151oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) = (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
156154, 155oveq12d 7379 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
157 ioossicc 13359 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
1592, 3, 4fct2relem 33274 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
160158, 159sstrd 3958 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
161160sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7396 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 6959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 26001 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11193 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
169 0red 11166 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26054 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 12965 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 12969 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
174 2cn 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
175174mulid2i 11168 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 2) = 2
176 2re 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 15978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ∈ ℝ)
1793rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
183182adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
184 eliooord 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
185184simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝑦)
189 reeflog 25959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)))
192 efle 16008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
193176, 166, 192sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ≀ (logβ€˜π‘¦))
195175, 194eqbrtrid 5144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦))
196 2rp 12928 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13014 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2)))
199195, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2))
20065, 166sselid 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
20122adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
203200, 201, 202divrec2d 11943 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 2) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
204199, 203breqtrd 5135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
20553adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
206205, 200mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) = -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
207206oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
20865, 169sselid 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
209205, 200mulcld 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
210208, 209subnegd 11527 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
211209addid2d 11364 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
213204, 212breqtrrd 5137 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
214 leaddsub 11639 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
216213, 215mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12102 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
21843, 171sselid 3946 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
219218mul02d 11361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ 0)
221163, 220eqbrtrd 5131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
222149, 221eqbrtrd 5131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
223124, 222eqbrtrd 5131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 33279 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄))
225 eqidd 2734 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
226 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
227226fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
228226fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΅))
229227, 228oveq12d 7379 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
230 ovex 7394 . . . 4 ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 6959 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
233 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
234233fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
235233fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
236234, 235oveq12d 7379 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
237 ovex 7394 . . . 4 ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 6959 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
240224, 232, 2393brtr3d 5140 1 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  (,]cioc 13274  [,]cicc 13276  βˆšcsqrt 15127  expce 15952  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  β€“cnβ†’ccncf 24262   D cdv 25250  logclog 25933  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-tan 15962  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  hgt750lem  33328
  Copyright terms: Public domain W3C validator