Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 34191
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt π‘₯)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
logdivsqrle.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13408 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2735 . . 3 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
65relogcld 26512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15364 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
87rpred 13022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15217 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
10 rpne0 12996 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
1211adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
136, 8, 12redivcld 12046 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))):ℝ+βŸΆβ„)
15 rpcn 12990 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
17 rpne0 12996 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
1916, 18logcld 26459 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2016sqrtcld 15390 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2119, 20, 12divrecd 11997 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
22 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
24 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
2623, 25reccld 11987 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
2716, 18, 26cxpnegd 26604 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26592 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜π‘₯))
3029oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3127, 30eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3231oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
3321, 32eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11204 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3736a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
385rpreccld 13032 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
39 logf1o 26453 . . . . . . . . . . 11 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
40 f1of 6827 . . . . . . . . . . 11 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
4315ssriv 3981 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† β„‚
44 0nrp 13015 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 708 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
4842, 47feqresmpt 6955 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
4948oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
50 dvrelog 26526 . . . . . . 7 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5149, 50eqtr3di 2781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
52 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5352halfcld 12461 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
5453negcld 11562 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / 2) ∈ β„‚)
5616, 55cxpcld 26597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ β„‚)
5752adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
5855, 57subcld 11575 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5916, 58cxpcld 26597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11238 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
61 dvcxp1 26629 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 25848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6435, 63eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))))
65 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
6665a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
67 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6867addcn 24736 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† β„‚)
71 ssid 3999 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
73 cncfmptc 24787 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
75 difss 4126 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
76 cncfmptid 24788 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}) ∧ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7747, 75, 76sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘₯) ∈ (ℝ+–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
7874, 77divcncf 25331 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
8015, 79jca 511 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
81 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8281ellogdm 26528 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8483ssriv 3981 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 34136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8778, 86mulcncf 25329 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
88 cncfmptc 24787 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9054, 52subcld 11575 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
9190, 85cxpcncf1 34136 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9289, 91mulcncf 25329 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
93 cncfss 24774 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9465, 71, 93mp2an 689 . . . . . . . 8 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
95 relogcn 26527 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
9794, 96sselid 3975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9892, 97mulcncf 25329 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24790 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
100 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 12045 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
102 rpge0 12993 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ π‘₯)
103 halfre 12430 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11525 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26612 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11248 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11218 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11526 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26612 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11248 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 26464 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11248 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11247 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
116115adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„)
118 cncfcdm 24773 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„))
119118biimpar 477 . . . . 5 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))):ℝ+βŸΆβ„) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))) ∈ (ℝ+–cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
12364fveq1d 6887 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
124123adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦))
12557negcld 11562 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -1 ∈ β„‚)
126 cxpadd 26568 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ -(1 / 2) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
12859mullidd 11236 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
12955, 57negsubd 11581 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) βˆ’ 1))
130129oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
131128, 130eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
133132, 56mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)))
134 cxpneg 26570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0 ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐-1) = (1 / (π‘₯↑𝑐1)))
13616cxp1d 26595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
137136oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯↑𝑐1)) = (1 / π‘₯))
138135, 137eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) = (π‘₯↑𝑐-1))
139138oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = ((π‘₯↑𝑐-(1 / 2)) Β· (π‘₯↑𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) = (1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
14255, 59, 19mul32d 11428 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)) = ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
143141, 142oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
14455, 19mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
14557, 144, 59adddird 11243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) + ((-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
146143, 145eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
147146mpteq2dva 5241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
148147fveq1d 6887 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
149148adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦))
150 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
152151fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘¦))
153152oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯)) = (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
154153oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) = (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
155151oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) = (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
156154, 155oveq12d 7423 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
157 ioossicc 13416 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
1592, 3, 4fct2relem 34138 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
160158, 159sstrd 3987 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
161160sselda 3977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 6999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) = ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 26512 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
169 0red 11221 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26565 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) βˆ’ 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 13022 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 13026 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)))
174 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
175174mullidi 11223 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 2) = 2
176 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 16038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ∈ ℝ)
1793rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝐴)
184 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
185184simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ 𝑦)
189 reeflog 26469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦)))
192 efle 16068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
193176, 166, 192sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ (expβ€˜2) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘¦))))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ≀ (logβ€˜π‘¦))
195175, 194eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦))
196 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13071 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 Β· 2) ≀ (logβ€˜π‘¦) ↔ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2)))
199195, 198mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 2))
20065, 166sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
20122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
203200, 201, 202divrec2d 11998 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 2) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
204199, 203breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
20553adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
206205, 200mulneg1d 11671 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) = -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
207206oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
20865, 169sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ β„‚)
209205, 200mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
210208, 209subnegd 11582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ -((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
211209addlidd 11419 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 + ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) = ((1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))
213204, 212breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))))
214 leaddsub 11694 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0 ↔ 1 ≀ (0 βˆ’ (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦)))))
216213, 215mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) ≀ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12157 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))
21843, 171sselid 3975 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
219218mul02d 11416 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘¦))) Β· (𝑦↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) ≀ 0)
221163, 220eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
222149, 221eqbrtrd 5163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((1 / π‘₯) Β· (π‘₯↑𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) Β· (π‘₯↑𝑐(-(1 / 2) βˆ’ 1))) Β· (logβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
223124, 222eqbrtrd 5163 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))β€˜π‘¦) ≀ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 34143 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) ≀ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄))
225 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯))))
226 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ = 𝐡)
227226fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
228226fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΅))
229227, 228oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
230 ovex 7438 . . . 4 ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 6999 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) = ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)))
233 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
234233fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
235233fveq2d 6889 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
236234, 235oveq12d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
237 ovex 7438 . . . 4 ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 6999 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘₯)))β€˜π΄) = ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
240224, 232, 2393brtr3d 5172 1 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π΅) / (βˆšβ€˜π΅)) ≀ ((logβ€˜π΄) / (βˆšβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  [,]cicc 13333  βˆšcsqrt 15186  expce 16011  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747  logclog 26443  β†‘𝑐ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34192
  Copyright terms: Public domain W3C validator