Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logdivsqrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsqrle 34644
Description: Conditions for ((log x ) / ( sqrt 𝑥)) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsqrle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
logdivsqrle.1 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
logdivsqrle.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
logdivsqrle (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))

Proof of Theorem logdivsqrle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13462 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2744 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 logdivsqrle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 logdivsqrle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
65relogcld 26680 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
75rpsqrtcld 15447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
87rpred 13075 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
9 rpsqrtcl 15300 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10 rpne0 13049 . . . . . . 7 ((√‘𝑥) ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ≠ 0)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ≠ 0)
136, 8, 12redivcld 12093 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))):ℝ+⟶ℝ)
15 rpcn 13043 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
17 rpne0 13049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1916, 18logcld 26627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2016sqrtcld 15473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
2119, 20, 12divrecd 12044 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
22 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
24 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
2623, 25reccld 12034 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℂ)
2716, 18, 26cxpnegd 26772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
28 cxpsqrt 26760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
3127, 30eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (√‘𝑥)))
3231oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((log‘𝑥) · (1 / (√‘𝑥))))
3321, 32eqtr4d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))
3433mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))))
3534oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))))
36 reelprrecn 11245 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
385rpreccld 13085 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
39 logf1o 26621 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
40 f1of 6849 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
4315ssriv 3999 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
44 0nrp 13068 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℝ+
45 ssdifsn 4793 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ (ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ¬ 0 ∈ ℝ+))
4643, 44, 45mpbir2an 711 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
4842, 47feqresmpt 6978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
4948oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
50 dvrelog 26694 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
5149, 50eqtr3di 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
52 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5352halfcld 12509 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
5453negcld 11605 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 2) ∈ ℂ)
5616, 55cxpcld 26765 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℂ)
5752adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
5855, 57subcld 11618 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
5916, 58cxpcld 26765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
6055, 59mulcld 11279 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℂ)
61 dvcxp1 26797 . . . . . . 7 (-(1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6254, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
6337, 19, 38, 51, 56, 60, 62dvmptmul 26014 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
6435, 63eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))))
65 ax-resscn 11210 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
67 eqid 2735 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6867addcn 24901 . . . . . . 7 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7043a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
71 ssid 4018 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
73 cncfmptc 24952 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7452, 70, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
75 difss 4146 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76 cncfmptid 24953 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7747, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑥) ∈ (ℝ+cn→(ℂ ∖ {0})))
7874, 77divcncf 25496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
79 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
8015, 79jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8281ellogdm 26696 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
8380, 82sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8483ssriv 3999 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
8654, 85cxpcncf1 34589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8778, 86mulcncf 25494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
88 cncfmptc 24952 . . . . . . . . 9 ((-(1 / 2) ∈ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
8954, 70, 72, 88syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 2)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9054, 52subcld 11618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℂ)
9190, 85cxpcncf1 34589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9289, 91mulcncf 25494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
93 cncfss 24939 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
9465, 71, 93mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
95 relogcn 26695 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
9648, 95eqeltrrdi 2848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
9794, 96sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9892, 97mulcncf 25494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
9967, 69, 87, 98cncfmpt2f 24955 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
100 rpre 13041 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
101100, 17rereccld 12092 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
102 rpge0 13046 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
103 halfre 12478 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
104103renegcli 11568 . . . . . . . . . . 11 -(1 / 2) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → -(1 / 2) ∈ ℝ)
106100, 102, 105recxpcld 26780 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) ∈ ℝ)
107101, 106remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) ∈ ℝ)
108 1re 11259 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
109104, 108resubcli 11569 . . . . . . . . . . . 12 (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ)
111100, 102, 110recxpcld 26780 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
112105, 111remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ ℝ)
113 relogcl 26632 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
115107, 114readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
116115adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
117116fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ)
118 cncfcdm 24938 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ))
119118biimpar 477 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℂ)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))):ℝ+⟶ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12066, 99, 117, 119syl21anc 838 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
12164, 120eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))) ∈ (ℝ+cn→ℝ))
122 logdivsqrle.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12364fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
124123adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦))
12557negcld 11605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -1 ∈ ℂ)
126 cxpadd 26736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ -(1 / 2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12716, 18, 55, 125, 126syl211anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
12859mullidd 11277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
12955, 57negsubd 11624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) + -1) = (-(1 / 2) − 1))
130129oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))
131128, 130eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = (𝑥𝑐(-(1 / 2) + -1)))
13243, 38sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
133132, 56mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)))
134 cxpneg 26738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13516, 18, 57, 134syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐-1) = (1 / (𝑥𝑐1)))
13616cxp1d 26763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐1)) = (1 / 𝑥))
138135, 137eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) = (𝑥𝑐-1))
139138oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
140133, 139eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = ((𝑥𝑐-(1 / 2)) · (𝑥𝑐-1)))
141127, 131, 1403eqtr4rd 2786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) = (1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
14255, 59, 19mul32d 11469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)) = ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
143141, 142oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
14455, 19mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14557, 144, 59adddird 11284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) + ((-(1 / 2) · (log‘𝑥)) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
146143, 145eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))
147146mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
148147fveq1d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
149148adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦))
150 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)))))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
152151fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
153152oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (-(1 / 2) · (log‘𝑥)) = (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))
154153oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) = (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
155151oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1)) = (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
156154, 155oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
157 ioossicc 13470 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
158157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
1592, 3, 4fct2relem 34591 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
160158, 159sstrd 4006 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
161160sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
162 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ∈ V)
163150, 156, 161, 162fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) = ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
164108a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
165104a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 2) ∈ ℝ)
166161relogcld 26680 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167165, 166remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168164, 167readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 0red 11262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
170 rpcxpcl 26733 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (-(1 / 2) − 1) ∈ ℝ) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
171161, 109, 170sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ+)
172171rpred 13075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℝ)
173171rpge0d 13079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)))
174 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
175174mullidi 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
176 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
178177reefcld 16121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ∈ ℝ)
1793rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
181161rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
182 logdivsqrle.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (exp‘2) ≤ 𝐴)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝐴)
184 eliooord 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
185184simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑦)
186185adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
187180, 181, 186ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑦)
188178, 180, 181, 183, 187letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ 𝑦)
189 reeflog 26637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
190161, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘(log‘𝑦)) = 𝑦)
191188, 190breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦)))
192 efle 16151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑦) ∈ ℝ) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
193176, 166, 192sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 ≤ (log‘𝑦) ↔ (exp‘2) ≤ (exp‘(log‘𝑦))))
194191, 193mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≤ (log‘𝑦))
195175, 194eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · 2) ≤ (log‘𝑦))
196 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
198164, 166, 197lemuldivd 13124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · 2) ≤ (log‘𝑦) ↔ 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2)))
199195, 198mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((log‘𝑦) / 2))
20065, 166sselid 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
20122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
203200, 201, 202divrec2d 12045 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑦) / 2) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
204199, 203breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
20553adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
206205, 200mulneg1d 11714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) = -((1 / 2) · (log‘𝑦)))
207206oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))))
20865, 169sselid 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℂ)
209205, 200mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
210208, 209subnegd 11625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − -((1 / 2) · (log‘𝑦))) = (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))))
211209addlidd 11460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + ((1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
212207, 210, 2113eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) = ((1 / 2) · (log‘𝑦)))
213204, 212breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦))))
214 leaddsub 11737 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (-(1 / 2) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
215164, 167, 169, 214syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (0 − (-(1 / 2) · (log‘𝑦)))))
216213, 215mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) ≤ 0)
217168, 169, 172, 173, 216lemul1ad 12205 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))))
21843, 171sselid 3993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1)) ∈ ℂ)
219218mul02d 11457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) = 0)
220217, 219breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑦))) · (𝑦𝑐(-(1 / 2) − 1))) ≤ 0)
221163, 220eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 + (-(1 / 2) · (log‘𝑥))) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))))‘𝑦) ≤ 0)
222149, 221eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((1 / 𝑥) · (𝑥𝑐-(1 / 2))) + ((-(1 / 2) · (𝑥𝑐(-(1 / 2) − 1))) · (log‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
223124, 222eqbrtrd 5170 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))‘𝑦) ≤ 0)
2242, 3, 4, 14, 121, 122, 223fdvnegge 34596 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴))
225 eqidd 2736 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥))))
226 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
227226fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
228226fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → (√‘𝑥) = (√‘𝐵))
229227, 228oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
230 ovex 7464 . . . 4 ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V
231230a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ∈ V)
232225, 229, 4, 231fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐵) = ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)))
233 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
234233fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
235233fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
236234, 235oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
237 ovex 7464 . . . 4 ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V
238237a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)) ∈ V)
239225, 236, 3, 238fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (√‘𝑥)))‘𝐴) = ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
240224, 232, 2393brtr3d 5179 1 (𝜑 → ((log‘𝐵) / (√‘𝐵)) ≤ ((log‘𝐴) / (√‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  [,]cicc 13387  csqrt 15269  expce 16094  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  cnccncf 24916   D cdv 25913  logclog 26611  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34645
  Copyright terms: Public domain W3C validator