Theorem logdmn0 26609

Description: A number in the continuous domain of log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem logdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nrp 12946	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
2		0re 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4	3	ellogdm 26608	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+)))
5	4	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+))
6	2, 5	mpi 20	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → 0 ∈ ℝ+)
7	1, 6	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝐷
8		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
9	7, 8	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	necon2ai 2962	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  -∞cmnf 11168  ℝ⁺crp 12909  (,]cioc 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12910  df-ioc 13270

This theorem is referenced by:  logdmss  26611  logcnlem2  26612  logcnlem3  26613  logcnlem4  26614  logcnlem5  26615  logcn  26616  dvloglem  26617  logf1o2  26619  logtayl  26629  logtayl2  26631  dvcncxp1  26712  dvcnsqrt  26713  cxpcn  26714  cxpcnOLD  26715  atansssdm  26903  lgamgulmlem2  27000