Theorem logdmn0 26604

Description: A number in the continuous domain of log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem logdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nrp 12979	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
2		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4	3	ellogdm 26603	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+)))
5	4	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+))
6	2, 5	mpi 20	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → 0 ∈ ℝ+)
7	1, 6	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝐷
8		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
9	7, 8	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	necon2ai 2962	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  -∞cmnf 11177  ℝ⁺crp 12942  (,]cioc 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-rp 12943  df-ioc 13303

This theorem is referenced by:  logdmss  26606  logcnlem2  26607  logcnlem3  26608  logcnlem4  26609  logcnlem5  26610  logcn  26611  dvloglem  26612  logf1o2  26614  logtayl  26624  logtayl2  26626  dvcncxp1  26707  dvcnsqrt  26708  cxpcn  26709  atansssdm  26897  lgamgulmlem2  26993