Theorem logdmn0 26592

Description: A number in the continuous domain of log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem logdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nrp 12968	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
2		0re 11135	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4	3	ellogdm 26591	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+)))
5	4	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ+))
6	2, 5	mpi 20	. . . 4 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → 0 ∈ ℝ+)
7	1, 6	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝐷
8		eleq1 2823	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
9	7, 8	mtbiri 327	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	necon2ai 2959	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3882  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  -∞cmnf 11166  ℝ⁺crp 12931  (,]cioc 13288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-addrcl 11088  ax-rnegex 11098  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12932  df-ioc 13292

This theorem is referenced by:  logdmss  26594  logcnlem2  26595  logcnlem3  26596  logcnlem4  26597  logcnlem5  26598  logcn  26599  dvloglem  26600  logf1o2  26602  logtayl  26612  logtayl2  26614  dvcncxp1  26695  dvcnsqrt  26696  cxpcn  26697  atansssdm  26885  lgamgulmlem2  26981