Theorem negelrpd 12942

Description: The negation of a negative number is in the positive real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
negelrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negelrpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
negelrpd	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem negelrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negelrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		negelrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		negelrp 12941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11026  0cc0 11027   < clt 11167  -cneg 11366  ℝ⁺crp 12906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-rp 12907

This theorem is referenced by:  rlimrege0  15503  dvloglem  26597  ltmulneg  45824  eenglngeehlnmlem2  49172