Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog3 42046
Description: The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog3.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog3.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog3.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog3.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
dvrelog3.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
dvrelog3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelog3.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)))
32oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))))
4 reelprrecn 11244 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6 rpcn 13042 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 rpne0 13048 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
107, 9logcld 26626 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
11 1red 11259 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12 rpre 13040 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13, 9redivcld 12092 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
15 logf1o 26620 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
16 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
19 0nrp 13067 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ∈ ℝ+
20 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℝ+)
2119, 20mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∩ {0}) = ∅
22 disjdif2 4485 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ → (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+
24 rpssre 13039 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℝ
25 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2624, 25sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
27 ssdif 4153 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
2923, 28eqsstrri 4030 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3118, 30feqresmpt 6977 . . . . . . 7 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3231eqcomd 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (log ↾ ℝ+))
3332oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (ℝ D (log ↾ ℝ+)))
34 dvrelog 26693 . . . . . 6 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
3633, 35eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
37 dvrelog3.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
38 dvrelog3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
39 elioo2 13424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
4140biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
4241simp1d 1141 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43 0red 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4443rexrd 11308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
4537adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4642rexrd 11308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
47 dvrelog3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
4941simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
5044, 45, 46, 48, 49xrlelttrd 13198 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑦)
5142, 50jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
52 elrp 13033 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
5351, 52sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5453ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+))
5554ssrdv 4000 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
56 eqid 2734 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5756tgioo2 24838 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58 retop 24797 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
60 iooretop 24801 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
62 isopn3i 23105 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
6359, 61, 62syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
645, 10, 14, 36, 55, 57, 56, 63dvmptres2 26014 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
653, 64eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 dvrelog3.6 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6766a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
6867eqcomd 2740 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = 𝐺)
6965, 68eqtrd 2774 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  +crp 13031  (,)cioo 13383  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  Topctop 22914  intcnt 23040   D cdv 25912  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612
This theorem is referenced by:  dvrelog2b  42047
  Copyright terms: Public domain W3C validator