Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog3 40568
Description: The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog3.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
dvrelog3.3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
dvrelog3.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
dvrelog3.5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))
dvrelog3.6 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯))
Assertion
Ref Expression
dvrelog3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem dvrelog3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelog3.5 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯)))
32oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))))
4 reelprrecn 11148 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
6 rpcn 12930 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
76adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8 rpne0 12936 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
98adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
107, 9logcld 25942 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
11 1red 11161 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
12 rpre 12928 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1312adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1411, 13, 9redivcld 11988 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
15 logf1o 25936 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
16 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
19 0nrp 12955 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 0 ∈ ℝ+
20 disjsn 4673 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ+ ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ ℝ+)
2119, 20mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∩ {0}) = βˆ…
22 disjdif2 4440 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ+ ∩ {0}) = βˆ… β†’ (ℝ+ βˆ– {0}) = ℝ+)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ βˆ– {0}) = ℝ+
24 rpssre 12927 . . . . . . . . . . . 12 ℝ+ βŠ† ℝ
25 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
2624, 25sstri 3954 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† β„‚
27 ssdif 4100 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ βŠ† β„‚ β†’ (ℝ+ βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
2923, 28eqsstrri 3980 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3118, 30feqresmpt 6912 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
3231eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) = (log β†Ύ ℝ+))
3332oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)))
34 dvrelog 26008 . . . . . 6 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
3534a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
3633, 35eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
37 dvrelog3.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
38 dvrelog3.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
39 elioo2 13311 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
4037, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
4140biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
4241simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
43 0red 11163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
4443rexrd 11210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
4537adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4642rexrd 11210 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
47 dvrelog3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
4847adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
4941simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑦)
5044, 45, 46, 48, 49xrlelttrd 13085 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 < 𝑦)
5142, 50jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
52 elrp 12922 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
5351, 52sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
5453ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+))
5554ssrdv 3951 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
56 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5756tgioo2 24182 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
58 retop 24141 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
5958a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
60 iooretop 24145 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
6160a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
62 isopn3i 22449 . . . . 5 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
6359, 61, 62syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
645, 10, 14, 36, 55, 57, 56, 63dvmptres2 25342 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
653, 64eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
66 dvrelog3.6 . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯))
6766a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
6867eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)) = 𝐺)
6965, 68eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  intcnt 22384   D cdv 25243  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  dvrelog2b  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator