Theorem dvrelog3 41576

Description: The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrelog3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog3.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog3.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog3.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
dvrelog3.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
dvrelog3.6	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
dvrelog3	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrelog3.5	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)))
3	2	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))))
4		reelprrecn 11240	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6		rpcn 13026	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
7	6	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8		rpne0 13032	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
9	8	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
10	7, 9	logcld 26532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
11		1red 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12		rpre 13024	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	11, 13, 9	redivcld 12082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
15		logf1o 26526	. . . . . . . . . 10 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
16		f1of 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
19		0nrp 13051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 0 ∈ ℝ+
20		disjsn 4720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℝ+)
21	19, 20	mpbir 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∩ {0}) = ∅
22		disjdif2 4483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ → (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+
24		rpssre 13023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
25		ax-resscn 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
26	24, 25	sstri 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
27		ssdif 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
29	23, 28	eqsstrri 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
31	18, 30	feqresmpt 6973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
32	31	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (log ↾ ℝ+))
33	32	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (ℝ D (log ↾ ℝ+)))
34		dvrelog 26599	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
36	33, 35	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
37		dvrelog3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
38		dvrelog3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		elioo2 13407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
40	37, 38, 39	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
41	40	biimpa 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
42	41	simp1d 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43		0red 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
44	43	rexrd 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
45	37	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
46	42	rexrd 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
47		dvrelog3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
48	47	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
49	41	simp2d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
50	44, 45, 46, 48, 49	xrlelttrd 13181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑦)
51	42, 50	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
52		elrp 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
53	51, 52	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
54	53	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+))
55	54	ssrdv 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
56		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	tgioo2 24747	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58		retop 24706	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
60		iooretop 24710	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
62		isopn3i 23014	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
63	59, 61, 62	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
64	5, 10, 14, 36, 55, 57, 56, 63	dvmptres2 25922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
65	3, 64	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66		dvrelog3.6	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
67	66	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
68	67	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = 𝐺)
69	65, 68	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632  {cpr 4634   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   ↾ cres 5684  ⟶wf 6549  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  ℝcr 11147  0cc0 11148  1c1 11149  ℝ^*cxr 11287   < clt 11288   ≤ cle 11289   / cdiv 11911  ℝ⁺crp 13016  (,)cioo 13366  TopOpenctopn 17412  topGenctg 17428  ℂ_fldccnfld 21293  Topctop 22823  intcnt 22949   D cdv 25820  logclog 26516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518

This theorem is referenced by:  dvrelog2b  41577