Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog3 39692
Description: The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
dvrelog3.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
dvrelog3.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
dvrelog3.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog3.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
dvrelog3.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
dvrelog3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelog3.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥)))
32oveq2d 7186 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))))
4 reelprrecn 10707 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6 rpcn 12482 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
76adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 rpne0 12488 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
107, 9logcld 25314 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
11 1red 10720 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12 rpre 12480 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1312adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13, 9redivcld 11546 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
15 logf1o 25308 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
16 f1of 6618 . . . . . . . . . 10 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
19 0nrp 12507 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ∈ ℝ+
20 disjsn 4602 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℝ+)
2119, 20mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∩ {0}) = ∅
22 disjdif2 4369 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ → (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+
24 rpssre 12479 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℝ
25 ax-resscn 10672 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2624, 25sstri 3886 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
27 ssdif 4030 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
2923, 28eqsstrri 3912 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3118, 30feqresmpt 6738 . . . . . . 7 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3231eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (log ↾ ℝ+))
3332oveq2d 7186 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (ℝ D (log ↾ ℝ+)))
34 dvrelog 25380 . . . . . 6 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
3633, 35eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
37 dvrelog3.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
38 dvrelog3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
39 elioo2 12862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
4037, 38, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
4140biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
4241simp1d 1143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43 0red 10722 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4443rexrd 10769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
4537adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4642rexrd 10769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
47 dvrelog3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4847adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
4941simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑦)
5044, 45, 46, 48, 49xrlelttrd 12636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑦)
5142, 50jca 515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
52 elrp 12474 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
5351, 52sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5453ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+))
5554ssrdv 3883 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
56 eqid 2738 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5756tgioo2 23555 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58 retop 23514 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
60 iooretop 23518 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
62 isopn3i 21833 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
6359, 61, 62syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
645, 10, 14, 36, 55, 57, 56, 63dvmptres2 24714 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
653, 64eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
66 dvrelog3.6 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6766a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
6867eqcomd 2744 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = 𝐺)
6965, 68eqtrd 2773 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cdif 3840  cin 3842  wss 3843  c0 4211  {csn 4516  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526  cres 5527  wf 6335  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  +crp 12472  (,)cioo 12821  TopOpenctopn 16798  topGenctg 16814  fldccnfld 20217  Topctop 21644  intcnt 21768   D cdv 24615  logclog 25298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300
This theorem is referenced by:  dvrelog2b  39693
  Copyright terms: Public domain W3C validator