MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrelog 26589
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 26517 . . 3 (log β†Ύ ℝ+) = β—‘(exp β†Ύ ℝ)
21oveq2i 7435 . 2 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ))
3 reeff1o 26402 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6842 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+
6 rpssre 13019 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
7 fss 6742 . . . . . . . 8 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . 7 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 ax-resscn 11201 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
10 efcn 26398 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
11 rescncf 24835 . . . . . . . . 9 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ (exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)
13 cncfcdm 24836 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
149, 12, 13mp2an 690 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
158, 14mpbir 230 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 11236 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
18 eff 16063 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
19 ssid 4002 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
20 dvef 25930 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚ D exp) = exp
2120dmeqi 5909 . . . . . . . . . . . 12 dom (β„‚ D exp) = dom exp
2218fdmi 6737 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = β„‚
2321, 22eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 dom (β„‚ D exp) = β„‚
249, 23sseqtrri 4017 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp)
25 dvres3 25860 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp))) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ)
2720reseq1i 5983 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ) = (exp β†Ύ ℝ)
2826, 27eqtri 2755 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ)
2928dmeqi 5909 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = dom (exp β†Ύ ℝ)
305fdmi 6737 . . . . . . 7 dom (exp β†Ύ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2755 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 13047 . . . . . . 7 Β¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5941 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ran (exp β†Ύ ℝ)
35 f1ofo 6849 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6817 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ β†’ ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2755 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2820 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 322 . . . . . 6 Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 25970 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))))
4443mptru 1540 . . 3 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))))
4528fveq1i 6901 . . . . . 6 ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))
46 f1ocnvfv2 7290 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
473, 46mpan 688 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4845, 47eqtrid 2779 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948oveq2d 7440 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
5049mpteq2ia 5253 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5144, 50eqtri 2755 . 2 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
522, 51eqtri 2755 1 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3947  {cpr 4632   ↦ cmpt 5233  β—‘ccnv 5679  dom cdm 5680  ran crn 5681   β†Ύ cres 5682  βŸΆwf 6547  β€“ontoβ†’wfo 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6550  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   / cdiv 11907  β„+crp 13012  expce 16043  β€“cnβ†’ccncf 24814   D cdv 25810  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508
This theorem is referenced by:  relogcn  26590  advlog  26606  advlogexp  26607  logccv  26615  dvcxp1  26692  loglesqrt  26711  logdivsum  27484  log2sumbnd  27495  logdivsqrle  34287  dvrelog2  41539  dvrelog3  41540
  Copyright terms: Public domain W3C validator