MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrelog 26144
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 26073 . . 3 (log β†Ύ ℝ+) = β—‘(exp β†Ύ ℝ)
21oveq2i 7419 . 2 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ))
3 reeff1o 25958 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6833 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+
6 rpssre 12980 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
7 fss 6734 . . . . . . . 8 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . 7 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 ax-resscn 11166 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
10 efcn 25954 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
11 rescncf 24412 . . . . . . . . 9 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ (exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)
13 cncfcdm 24413 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
149, 12, 13mp2an 690 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
158, 14mpbir 230 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
18 eff 16024 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
19 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
20 dvef 25496 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚ D exp) = exp
2120dmeqi 5904 . . . . . . . . . . . 12 dom (β„‚ D exp) = dom exp
2218fdmi 6729 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = β„‚
2321, 22eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 dom (β„‚ D exp) = β„‚
249, 23sseqtrri 4019 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp)
25 dvres3 25429 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp))) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ)
2720reseq1i 5977 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ) = (exp β†Ύ ℝ)
2826, 27eqtri 2760 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ)
2928dmeqi 5904 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = dom (exp β†Ύ ℝ)
305fdmi 6729 . . . . . . 7 dom (exp β†Ύ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2760 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 13008 . . . . . . 7 Β¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5936 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ran (exp β†Ύ ℝ)
35 f1ofo 6840 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6808 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ β†’ ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2760 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2825 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 322 . . . . . 6 Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 25535 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))))
4443mptru 1548 . . 3 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))))
4528fveq1i 6892 . . . . . 6 ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))
46 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
473, 46mpan 688 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4845, 47eqtrid 2784 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948oveq2d 7424 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
5049mpteq2ia 5251 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5144, 50eqtri 2760 . 2 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
522, 51eqtri 2760 1 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   / cdiv 11870  β„+crp 12973  expce 16004  β€“cnβ†’ccncf 24391   D cdv 25379  logclog 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064
This theorem is referenced by:  relogcn  26145  advlog  26161  advlogexp  26162  logccv  26170  dvcxp1  26245  loglesqrt  26263  logdivsum  27033  log2sumbnd  27044  logdivsqrle  33657  dvrelog2  40924  dvrelog3  40925
  Copyright terms: Public domain W3C validator