MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog 26015
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))

Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 25944 . . 3 (log β†Ύ ℝ+) = β—‘(exp β†Ύ ℝ)
21oveq2i 7372 . 2 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ))
3 reeff1o 25829 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6788 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+
6 rpssre 12930 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
7 fss 6689 . . . . . . . 8 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 ax-resscn 11116 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
10 efcn 25825 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
11 rescncf 24283 . . . . . . . . 9 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ (exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)
13 cncfcdm 24284 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
149, 12, 13mp2an 691 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
158, 14mpbir 230 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 11151 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
18 eff 15972 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
19 ssid 3970 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
20 dvef 25367 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚ D exp) = exp
2120dmeqi 5864 . . . . . . . . . . . 12 dom (β„‚ D exp) = dom exp
2218fdmi 6684 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = β„‚
2321, 22eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 dom (β„‚ D exp) = β„‚
249, 23sseqtrri 3985 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp)
25 dvres3 25300 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp))) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 692 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ)
2720reseq1i 5937 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ) = (exp β†Ύ ℝ)
2826, 27eqtri 2761 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ)
2928dmeqi 5864 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = dom (exp β†Ύ ℝ)
305fdmi 6684 . . . . . . 7 dom (exp β†Ύ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2761 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 12958 . . . . . . 7 Β¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5896 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ran (exp β†Ύ ℝ)
35 f1ofo 6795 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6763 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ β†’ ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2761 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2826 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 323 . . . . . 6 Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 25406 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))))
4443mptru 1549 . . 3 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))))
4528fveq1i 6847 . . . . . 6 ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))
46 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
473, 46mpan 689 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4845, 47eqtrid 2785 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948oveq2d 7377 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
5049mpteq2ia 5212 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5144, 50eqtri 2761 . 2 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
522, 51eqtri 2761 1 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   / cdiv 11820  β„+crp 12923  expce 15952  β€“cnβ†’ccncf 24262   D cdv 25250  logclog 25933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935
This theorem is referenced by:  relogcn  26016  advlog  26032  advlogexp  26033  logccv  26041  dvcxp1  26116  loglesqrt  26134  logdivsum  26904  log2sumbnd  26915  logdivsqrle  33327  dvrelog2  40571  dvrelog3  40572
  Copyright terms: Public domain W3C validator