MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrelog 26522
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 26450 . . 3 (log β†Ύ ℝ+) = β—‘(exp β†Ύ ℝ)
21oveq2i 7415 . 2 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ))
3 reeff1o 26335 . . . . . . . . 9 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6826 . . . . . . . . 9 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+
6 rpssre 12984 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
7 fss 6727 . . . . . . . 8 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
85, 6, 7mp2an 689 . . . . . . 7 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 ax-resscn 11166 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
10 efcn 26331 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
11 rescncf 24768 . . . . . . . . 9 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ (exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)
13 cncfcdm 24769 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
149, 12, 13mp2an 689 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
158, 14mpbir 230 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
18 eff 16029 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
19 ssid 3999 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
20 dvef 25863 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚ D exp) = exp
2120dmeqi 5897 . . . . . . . . . . . 12 dom (β„‚ D exp) = dom exp
2218fdmi 6722 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = β„‚
2321, 22eqtri 2754 . . . . . . . . . . 11 dom (β„‚ D exp) = β„‚
249, 23sseqtrri 4014 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp)
25 dvres3 25793 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp))) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 690 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ)
2720reseq1i 5970 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ) = (exp β†Ύ ℝ)
2826, 27eqtri 2754 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ)
2928dmeqi 5897 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = dom (exp β†Ύ ℝ)
305fdmi 6722 . . . . . . 7 dom (exp β†Ύ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2754 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ dom (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 13012 . . . . . . 7 Β¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5929 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ran (exp β†Ύ ℝ)
35 f1ofo 6833 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6801 . . . . . . . . . 10 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ β†’ ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp β†Ύ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2754 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2819 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 323 . . . . . 6 Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 25903 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))))
4443mptru 1540 . . 3 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))))
4528fveq1i 6885 . . . . . 6 ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))
46 f1ocnvfv2 7270 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
473, 46mpan 687 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((exp β†Ύ ℝ)β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4845, 47eqtrid 2778 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)) = π‘₯)
4948oveq2d 7420 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯))) = (1 / π‘₯))
5049mpteq2ia 5244 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ))β€˜(β—‘(exp β†Ύ ℝ)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
5144, 50eqtri 2754 . 2 (ℝ D β—‘(exp β†Ύ ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
522, 51eqtri 2754 1 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   / cdiv 11872  β„+crp 12977  expce 16009  β€“cnβ†’ccncf 24747   D cdv 25743  logclog 26439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441
This theorem is referenced by:  relogcn  26523  advlog  26539  advlogexp  26540  logccv  26548  dvcxp1  26625  loglesqrt  26644  logdivsum  27417  log2sumbnd  27428  logdivsqrle  34191  dvrelog2  41443  dvrelog3  41444
  Copyright terms: Public domain W3C validator