MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0 24295
Description: If the function 𝐹 is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2gt0.2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itg2gt0.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0.4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2gt0.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3 iccssxr 12814 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 volf 24064 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54ffvelrni 6848 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
63, 5sseldi 3969 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
109elexd 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 cnvexg 7622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
13 imaexg 7613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1615fmpttd 6877 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V)
1716ffnd 6514 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
18 fniunfv 7002 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
20 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21 rge0ssre 12839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
22 fss 6526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 mbfima 24165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
259, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2726fmpttd 6877 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol)
2827ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
2928ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
30 iunmbl 24088 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3219, 31eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol)
33 mblss 24066 . . . . . . . 8 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
35 ovolcl 24013 . . . . . . 7 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
38 0xr 10682 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → 0 ∈ ℝ*)
40 mblvol 24065 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
412, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
42 mblss 24066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
432, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4443sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4520ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
46 elrege0 12837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4745, 46sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4847simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4944, 48syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
50 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
51 nnrecl 11889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5320ffnd 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
5453ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
55 elpreima 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
5744adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5857biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
59 nnrecre 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6160rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
6261adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
63 elioopnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6556, 58, 643bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
66 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
67 imaexg 7613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
6812, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
70 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
7170oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / 𝑘)(,)+∞))
7271imaeq2d 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
73 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))
7472, 73fvmptg 6765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7566, 69, 74syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7675eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
7749adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
7965, 76, 783bitr4rd 313 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8079rexbidva 3301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8152, 80mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘))
8281ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
83 eluni2 4841 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧)
84 eleq2 2906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8584rexrn 6851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8617, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8783, 86syl5bb 284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8882, 87sylibrd 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
8988ssrdv 3977 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
90 ovolss 24020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9189, 34, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9241, 91eqbrtrd 5085 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9392adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
94 mblvol 24065 . . . . . . . . 9 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9532, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
96 peano2nn 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
98 nnrecre 11673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
101 nnre 11639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
103102lep1d 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
104 nngt0 11662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
10697nnred 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
10797nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 + 1))
108 lerec 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
109102, 105, 106, 107, 108syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
110103, 109mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
111 iooss1 12768 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
112100, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
113 imass2 5964 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
11566, 68, 74syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
116 imaexg 7613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
11712, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
118 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
119118oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
120119imaeq2d 5928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
121120, 73fvmptg 6765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
12296, 117, 121syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
123114, 115, 1223sstr4d 4018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
124123ralrimiva 3187 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
125 volsup 24091 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1))) → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12627, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12795, 126eqtr3d 2863 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
128127adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12968adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
13066, 129, 74syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
131130fveq2d 6673 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) = (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
13238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ∈ ℝ*)
133 nnrecgt0 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑘))
134133adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑘))
135 0re 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℝ
136 ltle 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
137135, 60, 136sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
138134, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
139 elxrge0 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
14061, 138, 139sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞))
141 0e0iccpnf 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (0[,]+∞)
142 ifcl 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
143140, 141, 142sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
145144fmpttd 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
146145adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
147 itg2cl 24267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
149 icossicc 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
150 fss 6526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
15120, 149, 150sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
152 itg2cl 24267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
155 0nrp 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
156 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
157115, 28eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
158157adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
160156, 135syl6eqelr 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ)
16160, 134elrpd 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
162161adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
164 itg2const2 24276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
165159, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
166160, 165mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ)
167 elrege0 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
16860, 138, 167sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
169168adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
170169adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
171 itg2const 24275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
172159, 166, 170, 171syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
173156, 172eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
174 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
175166, 174elrpd 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ+)
176163, 175rpmulcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))) ∈ ℝ+)
177173, 176eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 ∈ ℝ+)
178177ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 ∈ ℝ+))
179155, 178mtoi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ¬ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
180 itg2ge0 24270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
181146, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
182 xrleloe 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
18338, 148, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
184181, 183mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
185184ord 860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (¬ 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
186179, 185mt3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
187151adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
18860adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
18953adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
190189, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
191190biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
192191simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19348adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
194192, 193syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
19561adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
196191simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))
197 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
19863, 197syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)))
199195, 196, 198sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
200188, 194, 199ltled 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
20147simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
202201adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
203192, 202syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
204 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 𝑘) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → ((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
205 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
206204, 205ifboth 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
207200, 203, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
208207adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
209 iffalse 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
210209adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
211202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
212210, 211eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
213208, 212pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
214213ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
215214adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
216 reex 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
217216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ∈ V)
218 ovex 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 𝑘) ∈ V
219 c0ex 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ V
220218, 219ifex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V)
222 fvexd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
223 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))
22420feqmptd 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
225217, 221, 222, 223, 224ofrfval2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
226225biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹)
227215, 226syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹)
228 itg2le 24274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
229146, 187, 227, 228syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
230132, 148, 154, 186, 229xrltletrd 12549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2𝐹))
231230expr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 < (∫2𝐹)))
232231con3d 155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
2334ffvelrni 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ (0[,]+∞))
2343, 233sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
235157, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
236 xrlenlt 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
237235, 38, 236sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
238232, 237sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0))
239238imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
240239an32s 648 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
241131, 240eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
242241ralrimiva 3187 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
243 ffn 6513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
244 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (vol‘𝑧) = (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
245244breq1d 5073 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → ((vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
246245ralrn 6852 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
24716, 243, 2463syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
248247adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
249242, 248mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0)
250 ffn 6513 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
2514, 250ax-mp 5 . . . . . . . . 9 vol Fn dom vol
25227frnd 6520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
253252adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
254 breq1 5066 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (vol‘𝑧) → (𝑥 ≤ 0 ↔ (vol‘𝑧) ≤ 0))
255254ralima 6996 . . . . . . . . 9 ((vol Fn dom vol ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
256251, 253, 255sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
257249, 256mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
258 imassrn 5939 . . . . . . . . 9 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ran vol
259 frn 6519 . . . . . . . . . . 11 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → ran vol ⊆ (0[,]+∞))
2604, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran vol ⊆ (0[,]+∞)
261260, 3sstri 3980 . . . . . . . . 9 ran vol ⊆ ℝ*
262258, 261sstri 3980 . . . . . . . 8 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ*
263 supxrleub 12714 . . . . . . . 8 (((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0))
264262, 38, 263mp2an 688 . . . . . . 7 (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
265257, 264sylibr 235 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0)
266128, 265eqbrtrd 5085 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ≤ 0)
2678, 37, 39, 93, 266xrletrd 12550 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ 0)
268267ex 413 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘𝐴) ≤ 0))
269 xrlenlt 10700 . . . 4 (((vol‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2707, 38, 269sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
271268, 270sylibd 240 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2721, 271mt4d 117 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  ifcif 4470   cuni 4837   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  r cofr 7402  supcsup 8898  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670   / cdiv 11291  cn 11632  +crp 12384  (,)cioo 12733  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  vol*covol 23997  volcvol 23998  MblFncmbf 24149  2citg2 24151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cmp 21930  df-cncf 23420  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-mbf 24154  df-itg1 24155  df-itg2 24156  df-0p 24205
This theorem is referenced by:  itggt0  24376
  Copyright terms: Public domain W3C validator