MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0 25809
Description: If the function 𝐹 is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2gt0.2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itg2gt0.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0.4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2gt0.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3 iccssxr 13466 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 volf 25577 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54ffvelcdmi 7102 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
63, 5sselid 3992 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
109elexd 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 cnvexg 7946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
13 imaexg 7935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1615fmpttd 7134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V)
1716ffnd 6737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
18 fniunfv 7266 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
20 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21 rge0ssre 13492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
22 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 mbfima 25678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
259, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2726fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol)
2827ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
2928ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
30 iunmbl 25601 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3219, 31eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol)
33 mblss 25579 . . . . . . . 8 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
35 ovolcl 25526 . . . . . . 7 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
38 0xr 11305 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → 0 ∈ ℝ*)
40 mblvol 25578 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
412, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
42 mblss 25579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
432, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4443sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4520ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
46 elrege0 13490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4745, 46sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4847simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4944, 48syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
50 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
51 nnrecl 12521 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5320ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
5453ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
55 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
5744adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5857biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
59 nnrecre 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6160rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
6261adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
63 elioopnf 13479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6556, 58, 643bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
66 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
67 imaexg 7935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
6812, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
70 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
7170oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / 𝑘)(,)+∞))
7271imaeq2d 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
73 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))
7472, 73fvmptg 7013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7566, 69, 74syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7675eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
7749adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
7965, 76, 783bitr4rd 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8079rexbidva 3174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8152, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘))
8281ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
83 eluni2 4915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧)
84 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8584rexrn 7106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8617, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8783, 86bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8882, 87sylibrd 259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
8988ssrdv 4000 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
90 ovolss 25533 . . . . . . . 8 ((𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9189, 34, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9241, 91eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
94 mblvol 25578 . . . . . . . . 9 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9532, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
96 peano2nn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
98 nnrecre 12305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
10099rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
101 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
103102lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
104 nngt0 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
10697nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
10797nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 + 1))
108 lerec 12148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
109102, 105, 106, 107, 108syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
110103, 109mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
111 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
112100, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
113 imass2 6122 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
11566, 68, 74syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
116 imaexg 7935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
11712, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
118 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
119118oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
120119imaeq2d 6079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
121120, 73fvmptg 7013 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
12296, 117, 121syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
123114, 115, 1223sstr4d 4042 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
124123ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
125 volsup 25604 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1))) → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12627, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12795, 126eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
128127adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
12968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
13066, 129, 74syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
131130fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) = (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
13238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ∈ ℝ*)
133 nnrecgt0 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑘))
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑘))
135 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℝ
136 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
137135, 60, 136sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
138134, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
139 elxrge0 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
14061, 138, 139sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞))
141 0e0iccpnf 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (0[,]+∞)
142 ifcl 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
143140, 141, 142sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
145144fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
146145adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
147 itg2cl 25781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
149 icossicc 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
150 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
15120, 149, 150sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
152 itg2cl 25781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
155 0nrp 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
156 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
157115, 28eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
158157adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
160156, 135eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ)
16160, 134elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
162161adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
164 itg2const2 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
165159, 163, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
166160, 165mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ)
167 elrege0 13490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
16860, 138, 167sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
169168adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
171 itg2const 25789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
172159, 166, 170, 171syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
173156, 172eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
174 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
175166, 174elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ+)
176163, 175rpmulcld 13090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))) ∈ ℝ+)
177173, 176eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 ∈ ℝ+)
178177ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 ∈ ℝ+))
179155, 178mtoi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ¬ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
180 itg2ge0 25784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
181146, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
182 xrleloe 13182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
18338, 148, 182sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
184181, 183mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
185184ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (¬ 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
186179, 185mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
187151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
18860adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
18953adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
190189, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
191190biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
192191simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19348adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
194192, 193syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
19561adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
196191simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))
197 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
19863, 197biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)))
199195, 196, 198sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
200188, 194, 199ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
20147simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
202201adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
203192, 202syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
204 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 𝑘) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → ((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
205 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
206204, 205ifboth 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
207200, 203, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
208207adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
209 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
210209adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
211202adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
212210, 211eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
213208, 212pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
214213ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
215214adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
216 reex 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
217216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ∈ V)
218 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 𝑘) ∈ V
219 c0ex 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ V
220218, 219ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V
221220a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V)
222 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
223 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))
22420feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
225217, 221, 222, 223, 224ofrfval2 7717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
226225biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹)
227215, 226syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹)
228 itg2le 25788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
229146, 187, 227, 228syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
230132, 148, 154, 186, 229xrltletrd 13199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2𝐹))
231230expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 < (∫2𝐹)))
232231con3d 152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
2334ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ (0[,]+∞))
2343, 233sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
235157, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
236 xrlenlt 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
237235, 38, 236sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
238232, 237sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0))
239238imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
240239an32s 652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
241131, 240eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
242241ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
243 ffn 6736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
244 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (vol‘𝑧) = (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
245244breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → ((vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
246245ralrn 7107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
24716, 243, 2463syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
248247adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
249242, 248mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0)
250 ffn 6736 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
2514, 250ax-mp 5 . . . . . . . . 9 vol Fn dom vol
25227frnd 6744 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
253252adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
254 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (vol‘𝑧) → (𝑥 ≤ 0 ↔ (vol‘𝑧) ≤ 0))
255254ralima 7256 . . . . . . . . 9 ((vol Fn dom vol ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
256251, 253, 255sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
257249, 256mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
258 imassrn 6090 . . . . . . . . 9 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ran vol
259 frn 6743 . . . . . . . . . . 11 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → ran vol ⊆ (0[,]+∞))
2604, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran vol ⊆ (0[,]+∞)
261260, 3sstri 4004 . . . . . . . . 9 ran vol ⊆ ℝ*
262258, 261sstri 4004 . . . . . . . 8 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ*
263 supxrleub 13364 . . . . . . . 8 (((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0))
264262, 38, 263mp2an 692 . . . . . . 7 (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
265257, 264sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0)
266128, 265eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ≤ 0)
2678, 37, 39, 93, 266xrletrd 13200 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ 0)
268267ex 412 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘𝐴) ≤ 0))
269 xrlenlt 11323 . . . 4 (((vol‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2707, 38, 269sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
271268, 270sylibd 239 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2721, 271mt4d 117 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  ifcif 4530   cuni 4911   ciun 4995   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  r cofr 7695  supcsup 9477  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  vol*covol 25510  volcvol 25511  MblFncmbf 25662  2citg2 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cmp 23410  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-0p 25718
This theorem is referenced by:  itggt0  25893
  Copyright terms: Public domain W3C validator