Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2 41445
Description: The derivative of the logarithm, ftc2 25934 version. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvrelog2.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvrelog2.3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
dvrelog2.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
dvrelog2.5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))
dvrelog2.6 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem dvrelog2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelog2.5 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯)))
32oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))))
4 reelprrecn 11204 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
6 rpssre 12987 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
7 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstri 3986 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† β„‚
98sseli 3973 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
109adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
11 rpne0 12996 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
1211adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
1310, 12logcld 26459 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
14 1red 11219 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
156sseli 3973 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1614, 15, 11redivcld 12046 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
18 logf1o 26453 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
19 f1of 6827 . . . . . . . . . 10 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
22 0nrp 13015 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 0 ∈ ℝ+
23 disjsn 4710 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ+ ∩ {0}) = βˆ… ↔ Β¬ 0 ∈ ℝ+)
2422, 23mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∩ {0}) = βˆ…
25 disjdif2 4474 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ+ ∩ {0}) = βˆ… β†’ (ℝ+ βˆ– {0}) = ℝ+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ βˆ– {0}) = ℝ+
27 ssdif 4134 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ βŠ† β„‚ β†’ (ℝ+ βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
288, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
2926, 28eqsstrri 4012 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3121, 30feqresmpt 6955 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
3231eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) = (log β†Ύ ℝ+))
3332oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)))
34 dvrelog 26526 . . . . . 6 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
3534a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
3633, 35eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
37 dvrelog2.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
38 dvrelog2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
39 elicc2 13395 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4140biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4241simp1d 1139 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
43 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
4437adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
45 dvrelog2.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 < 𝐴)
4741simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 11378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 < 𝑦)
4942, 48jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
50 elrp 12982 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
5149, 50sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
5251ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+))
5352ssrdv 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
54 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5554tgioo2 24674 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
56 iccntr 24692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
5737, 38, 56syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
585, 13, 17, 36, 53, 55, 54, 57dvmptres2 25849 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
593, 58eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
60 dvrelog2.6 . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯))
6160a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)))
6261eqcomd 2732 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / π‘₯)) = 𝐺)
6359, 62eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  intcnt 22876   D cdv 25747  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator