Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrelog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog2 41539
Description: The derivative of the logarithm, ftc2 25997 version. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrelog2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvrelog2.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvrelog2.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
dvrelog2.4 (𝜑𝐴𝐵)
dvrelog2.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (log‘𝑥))
dvrelog2.6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
dvrelog2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvrelog2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrelog2.5 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (log‘𝑥))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (log‘𝑥)))
32oveq2d 7440 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (log‘𝑥))))
4 reelprrecn 11236 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6 rpssre 13019 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
7 ax-resscn 11201 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3989 . . . . . . 7 + ⊆ ℂ
98sseli 3976 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
109adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 rpne0 13028 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
1211adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
1310, 12logcld 26522 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
14 1red 11251 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
156sseli 3976 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1614, 15, 11redivcld 12078 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
1716adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
18 logf1o 26516 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
19 f1of 6842 . . . . . . . . . 10 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
22 0nrp 13047 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 0 ∈ ℝ+
23 disjsn 4718 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℝ+)
2422, 23mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∩ {0}) = ∅
25 disjdif2 4481 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ+ ∩ {0}) = ∅ → (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) = ℝ+
27 ssdif 4138 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
288, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
2926, 28eqsstrri 4015 . . . . . . . . 9 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3121, 30feqresmpt 6971 . . . . . . 7 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3231eqcomd 2733 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) = (log ↾ ℝ+))
3332oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (ℝ D (log ↾ ℝ+)))
34 dvrelog 26589 . . . . . 6 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
3633, 35eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
37 dvrelog2.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
38 dvrelog2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
39 elicc2 13427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
4037, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
4140biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
4241simp1d 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43 0red 11253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4437adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
45 dvrelog2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
4645adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 < 𝐴)
4741simp2d 1140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 11410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 < 𝑦)
4942, 48jca 510 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
50 elrp 13014 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
5149, 50sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5251ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+))
5352ssrdv 3986 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
54 eqid 2727 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554tgioo2 24737 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
56 iccntr 24755 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5737, 38, 56syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
585, 13, 17, 36, 53, 55, 54, 57dvmptres2 25912 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
593, 58eqtrd 2767 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
60 dvrelog2.6 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥))
6160a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)))
6261eqcomd 2733 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑥)) = 𝐺)
6359, 62eqtrd 2767 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  c0 4324  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5150  cmpt 5233  ran crn 5681  cres 5682  wf 6547  1-1-ontowf1o 6550  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   < clt 11284  cle 11285   / cdiv 11907  +crp 13012  (,)cioo 13362  [,]cicc 13365  TopOpenctopn 17408  topGenctg 17424  fldccnfld 21284  intcnt 22939   D cdv 25810  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator