Theorem 2llnma2rN 39808

Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 2-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnm.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnm.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnma2rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma2rN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2llnm.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2llnm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	hlatjcom 39386	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
8		simp22 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	4, 5	hlatjcom 39386	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
10	1, 8, 3, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
11	7, 10	oveq12d 7359	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12		2llnm.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		2llnm.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	12, 4, 13, 5	2llnma2 39807	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
15	11, 14	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  lecple 17160  joincjn 18209  meetcmee 18210  Atomscatm 39281  HLchlt 39368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18330  df-clat 18397  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369

This theorem is referenced by:  cdleme20y  40320