Theorem 2llnma2rN 39117

Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 2-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnm.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnm.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnma2rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma2rN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1205	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		2llnm.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2llnm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	hlatjcom 38694	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑃))
8		simp22 1204	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	4, 5	hlatjcom 38694	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
10	1, 8, 3, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
11	7, 10	oveq12d 7419	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12		2llnm.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		2llnm.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	12, 4, 13, 5	2llnma2 39116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑅 ∨ 𝑄)) = 𝑅)
15	11, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  lecple 17202  joincjn 18265  meetcmee 18266  Atomscatm 38589  HLchlt 38676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677

This theorem is referenced by:  cdleme20y  39629