Theorem cdleme20y 41360

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme20z.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme20z.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme20z.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme20y	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem cdleme20y

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp22 1226	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
3		simp23 1227	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
4		simp21 1225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
6		cdleme20z.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		cdleme20z.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme20z.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9		cdleme20z.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	2llnma2rN 40848	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	syl131anc 1410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  meetcmee 18486  Atomscatm 40321  HLchlt 40408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409

This theorem is used by:  cdleme20h  41374