Theorem cdleme20y 41104

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme20z.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme20z.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme20z.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme20y	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem cdleme20y

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp22 1225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
3		simp23 1226	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
4		simp21 1224	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		simp3 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
6		cdleme20z.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		cdleme20z.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme20z.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9		cdleme20z.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	2llnma2rN 40592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	syl131anc 1409	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  lecple 17323  joincjn 18373  meetcmee 18374  Atomscatm 40065  HLchlt 40152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by:  cdleme20h  41118