Theorem 3t3e9 12414

Description: 3 times 3 equals 9. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
3t3e9	⊢ (3 · 3) = 9

Proof of Theorem 3t3e9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12310	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (3 · 3) = (3 · (2 + 1))
3		3cn 12328	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
4		2cn 12322	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	3, 4, 5	adddii 11227	. . . 4 ⊢ (3 · (2 + 1)) = ((3 · 2) + (3 · 1))
7		3t2e6 12412	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
8		3t1e3 12411	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
9	7, 8	oveq12i 7424	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (3 · 1)) = (6 + 3)
10	6, 9	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (3 · (2 + 1)) = (6 + 3)
11		6p3e9 12406	. . 3 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 11	eqtri 2785	. 2 ⊢ (3 · (2 + 1)) = 9
13	2, 12	eqtri 2785	1 ⊢ (3 · 3) = 9

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12301  3c3 12302  6c6 12305  9c9 12308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-1rid 11176  ax-cnre 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316

This theorem is used by:  sq3  14241  3dvds  16395  3dvdsdec  16396  3dvds2dec  16397  9nprm  17178  11prm  17181  43prm  17188  83prm  17189  317prm  17192  1259lem2  17198  1259lem4  17200  1259prm  17202  2503lem2  17204  mcubic  27023  log2tlbnd  27121  log2ublem3  27124  log2ub  27125  bposlem9  27467  lgsdir2lem5  27504  ex-lcm  30820  hgt750lem  35047  hgt750lem2  35048  3lexlogpow2ineq2  42854  3lexlogpow5ineq5  42855  3cubeslem3l  43445  3cubeslem3r  43446  inductionexd  44909  fmtno5lem3  48335  fmtno4prmfac193  48353  fmtno4nprmfac193  48354  127prm  48379  2exp340mod341  48526  9fppr8  48530