Theorem ex-lcm 30617

Description: Example for df-lcm 16615. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12301	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 12310	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12229	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 12214	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16626	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12538	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 16548	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 30616	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 12321	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3026	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16636	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11844	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1481	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7402	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 12303	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 12312	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 11941	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 12379	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11931	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7402	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12792	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2788	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072  -cneg 11409   / cdiv 11838  ℕcn 12204  3c3 12267  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  ℤcz 12562  ;cdc 12682   gcd cgcd 16519   lcm clcm 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-lcm 16615

This theorem is referenced by: (None)