Theorem ex-lcm 29701

Description: Example for df-lcm 16524. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12298	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 12307	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12234	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 12219	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12583	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12583	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16535	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12531	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 16461	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 29700	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 12290	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 12315	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3012	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 472	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16545	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11874	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1462	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7417	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 12300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 12309	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 11967	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 12376	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7416	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11957	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7417	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12779	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2765	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2765	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℕcn 12209  3c3 12265  6c6 12268  8c8 12270  9c9 12271  ℤcz 12555  ;cdc 12674   gcd cgcd 16432   lcm clcm 16522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-lcm 16524

This theorem is referenced by: (None)