Theorem ex-lcm 30340

Description: Example for df-lcm 16564. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12334	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 12343	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12270	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 12255	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16575	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12567	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 16501	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 30339	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 12326	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2821	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 12351	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3000	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16585	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11910	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1457	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7430	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 12336	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 12345	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 12003	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 12412	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11993	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12815	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2757	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2757	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  -cneg 11477   / cdiv 11903  ℕcn 12245  3c3 12301  6c6 12304  8c8 12306  9c9 12307  ℤcz 12591  ;cdc 12710   gcd cgcd 16472   lcm clcm 16562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-lcm 16564

This theorem is referenced by: (None)