MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-lcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-lcm 30487
Description: Example for df-lcm 16624. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-lcm (6 lcm 9) = 18

Proof of Theorem ex-lcm
StepHypRef Expression
1 6nn 12353 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2 9nn 12362 . . . . 5 9 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 12289 . . . 4 (6 · 9) ∈ ℕ
43nncni 12274 . . 3 (6 · 9) ∈ ℂ
51nnzi 12639 . . . . 5 6 ∈ ℤ
62nnzi 12639 . . . . 5 9 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 470 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8 lcmcl 16635 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 12587 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 9) ∈ ℂ
11 neggcd 16557 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
127, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
1312eqcomi 2744 . . . . . 6 (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14 ex-gcd 30486 . . . . . 6 (-6 gcd 9) = 3
1513, 14eqtri 2763 . . . . 5 (6 gcd 9) = 3
16 3cn 12345 . . . . 5 3 ∈ ℂ
1715, 16eqeltri 2835 . . . 4 (6 gcd 9) ∈ ℂ
18 3ne0 12370 . . . . 5 3 ≠ 0
1915, 18eqnetri 3009 . . . 4 (6 gcd 9) ≠ 0
2017, 19pm3.2i 470 . . 3 ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
211, 2pm3.2i 470 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 16645 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2321, 22mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2423eqcomd 2741 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25 divmul3 11925 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
2624, 25mpbird 257 . . . 4 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
2726eqcomd 2741 . . 3 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
284, 10, 20, 27mp3an 1460 . 2 (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
2915oveq2i 7442 . 2 ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30 6cn 12355 . . . 4 6 ∈ ℂ
31 9cn 12364 . . . 4 9 ∈ ℂ
3230, 31, 16, 18divassi 12021 . . 3 ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33 3t3e9 12431 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2744 . . . . . 6 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 7441 . . . . 5 (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
3616, 16, 18divcan3i 12011 . . . . 5 ((3 · 3) / 3) = 3
3735, 36eqtri 2763 . . . 4 (9 / 3) = 3
3837oveq2i 7442 . . 3 (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39 6t3e18 12836 . . 3 (6 · 3) = 18
4032, 38, 393eqtri 2767 . 2 ((6 · 9) / 3) = 18
4128, 29, 403eqtri 2767 1 (6 lcm 9) = 18
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  3c3 12320  6c6 12323  8c8 12325  9c9 12326  cz 12611  cdc 12731   gcd cgcd 16528   lcm clcm 16622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcm 16624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator