Theorem ex-lcm 30746

Description: Example for df-lcm 16644. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12326	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 12335	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12254	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 12239	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16655	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12563	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 16577	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 30745	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 12318	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2865	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 12346	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3034	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16665	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11873	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1487	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7419	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 12328	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 12337	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 11967	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 12404	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11957	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12817	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2796	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2796	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101  -cneg 11438   / cdiv 11867  ℕcn 12229  3c3 12292  6c6 12295  8c8 12297  9c9 12298  ℤcz 12587  ;cdc 12707   gcd cgcd 16548   lcm clcm 16642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-lcm 16644

This theorem is referenced by: (None)