MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-lcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-lcm 28151
Description: Example for df-lcm 15924. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-lcm (6 lcm 9) = 18

Proof of Theorem ex-lcm
StepHypRef Expression
1 6nn 11715 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2 9nn 11724 . . . . 5 9 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 11651 . . . 4 (6 · 9) ∈ ℕ
43nncni 11637 . . 3 (6 · 9) ∈ ℂ
51nnzi 11995 . . . . 5 6 ∈ ℤ
62nnzi 11995 . . . . 5 9 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 471 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8 lcmcl 15935 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11946 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 9) ∈ ℂ
11 neggcd 15861 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
127, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
1312eqcomi 2835 . . . . . 6 (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14 ex-gcd 28150 . . . . . 6 (-6 gcd 9) = 3
1513, 14eqtri 2849 . . . . 5 (6 gcd 9) = 3
16 3cn 11707 . . . . 5 3 ∈ ℂ
1715, 16eqeltri 2914 . . . 4 (6 gcd 9) ∈ ℂ
18 3ne0 11732 . . . . 5 3 ≠ 0
1915, 18eqnetri 3091 . . . 4 (6 gcd 9) ≠ 0
2017, 19pm3.2i 471 . . 3 ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
211, 2pm3.2i 471 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15945 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2321, 22mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2423eqcomd 2832 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25 divmul3 11292 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
2624, 25mpbird 258 . . . 4 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
2726eqcomd 2832 . . 3 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
284, 10, 20, 27mp3an 1454 . 2 (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
2915oveq2i 7159 . 2 ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30 6cn 11717 . . . 4 6 ∈ ℂ
31 9cn 11726 . . . 4 9 ∈ ℂ
3230, 31, 16, 18divassi 11385 . . 3 ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33 3t3e9 11793 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2835 . . . . . 6 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 7158 . . . . 5 (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
3616, 16, 18divcan3i 11375 . . . . 5 ((3 · 3) / 3) = 3
3735, 36eqtri 2849 . . . 4 (9 / 3) = 3
3837oveq2i 7159 . . 3 (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39 6t3e18 12192 . . 3 (6 · 3) = 18
4032, 38, 393eqtri 2853 . 2 ((6 · 9) / 3) = 18
4128, 29, 403eqtri 2853 1 (6 lcm 9) = 18
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  3c3 11682  6c6 11685  8c8 11687  9c9 11688  cz 11970  cdc 12087   gcd cgcd 15833   lcm clcm 15922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-lcm 15924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator