Theorem ex-lcm 30790

Description: Example for df-lcm 16649. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12331	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 12340	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12259	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 12244	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16660	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12568	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 16582	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 30789	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2859	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 12351	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3028	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16670	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11878	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1490	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7423	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 12333	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 12342	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 11972	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11962	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12822	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2790	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2790	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  3c3 12297  6c6 12300  8c8 12302  9c9 12303  ℤcz 12592  ;cdc 12712   gcd cgcd 16553   lcm clcm 16647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-lcm 16649

This theorem is referenced by: (None)