MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-lcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-lcm 30340
Description: Example for df-lcm 16564. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-lcm (6 lcm 9) = 18

Proof of Theorem ex-lcm
StepHypRef Expression
1 6nn 12334 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2 9nn 12343 . . . . 5 9 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 12270 . . . 4 (6 · 9) ∈ ℕ
43nncni 12255 . . 3 (6 · 9) ∈ ℂ
51nnzi 12619 . . . . 5 6 ∈ ℤ
62nnzi 12619 . . . . 5 9 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 469 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8 lcmcl 16575 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 12567 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 9) ∈ ℂ
11 neggcd 16501 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
127, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
1312eqcomi 2734 . . . . . 6 (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14 ex-gcd 30339 . . . . . 6 (-6 gcd 9) = 3
1513, 14eqtri 2753 . . . . 5 (6 gcd 9) = 3
16 3cn 12326 . . . . 5 3 ∈ ℂ
1715, 16eqeltri 2821 . . . 4 (6 gcd 9) ∈ ℂ
18 3ne0 12351 . . . . 5 3 ≠ 0
1915, 18eqnetri 3000 . . . 4 (6 gcd 9) ≠ 0
2017, 19pm3.2i 469 . . 3 ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
211, 2pm3.2i 469 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 16585 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2321, 22mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2423eqcomd 2731 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25 divmul3 11910 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
2624, 25mpbird 256 . . . 4 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
2726eqcomd 2731 . . 3 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
284, 10, 20, 27mp3an 1457 . 2 (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
2915oveq2i 7430 . 2 ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30 6cn 12336 . . . 4 6 ∈ ℂ
31 9cn 12345 . . . 4 9 ∈ ℂ
3230, 31, 16, 18divassi 12003 . . 3 ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33 3t3e9 12412 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2734 . . . . . 6 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 7429 . . . . 5 (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
3616, 16, 18divcan3i 11993 . . . . 5 ((3 · 3) / 3) = 3
3735, 36eqtri 2753 . . . 4 (9 / 3) = 3
3837oveq2i 7430 . . 3 (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39 6t3e18 12815 . . 3 (6 · 3) = 18
4032, 38, 393eqtri 2757 . 2 ((6 · 9) / 3) = 18
4128, 29, 403eqtri 2757 1 (6 lcm 9) = 18
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  3c3 12301  6c6 12304  8c8 12306  9c9 12307  cz 12591  cdc 12710   gcd cgcd 16472   lcm clcm 16562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-lcm 16564
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator