MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-lcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-lcm 30477
Description: Example for df-lcm 16627. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-lcm (6 lcm 9) = 18

Proof of Theorem ex-lcm
StepHypRef Expression
1 6nn 12355 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2 9nn 12364 . . . . 5 9 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 12291 . . . 4 (6 · 9) ∈ ℕ
43nncni 12276 . . 3 (6 · 9) ∈ ℂ
51nnzi 12641 . . . . 5 6 ∈ ℤ
62nnzi 12641 . . . . 5 9 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 470 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8 lcmcl 16638 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 12589 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 9) ∈ ℂ
11 neggcd 16560 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
127, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
1312eqcomi 2746 . . . . . 6 (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14 ex-gcd 30476 . . . . . 6 (-6 gcd 9) = 3
1513, 14eqtri 2765 . . . . 5 (6 gcd 9) = 3
16 3cn 12347 . . . . 5 3 ∈ ℂ
1715, 16eqeltri 2837 . . . 4 (6 gcd 9) ∈ ℂ
18 3ne0 12372 . . . . 5 3 ≠ 0
1915, 18eqnetri 3011 . . . 4 (6 gcd 9) ≠ 0
2017, 19pm3.2i 470 . . 3 ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
211, 2pm3.2i 470 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 16648 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2321, 22mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2423eqcomd 2743 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25 divmul3 11927 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
2624, 25mpbird 257 . . . 4 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
2726eqcomd 2743 . . 3 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
284, 10, 20, 27mp3an 1463 . 2 (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
2915oveq2i 7442 . 2 ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30 6cn 12357 . . . 4 6 ∈ ℂ
31 9cn 12366 . . . 4 9 ∈ ℂ
3230, 31, 16, 18divassi 12023 . . 3 ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33 3t3e9 12433 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2746 . . . . . 6 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 7441 . . . . 5 (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
3616, 16, 18divcan3i 12013 . . . . 5 ((3 · 3) / 3) = 3
3735, 36eqtri 2765 . . . 4 (9 / 3) = 3
3837oveq2i 7442 . . 3 (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39 6t3e18 12838 . . 3 (6 · 3) = 18
4032, 38, 393eqtri 2769 . 2 ((6 · 9) / 3) = 18
4128, 29, 403eqtri 2769 1 (6 lcm 9) = 18
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  3c3 12322  6c6 12325  8c8 12327  9c9 12328  cz 12613  cdc 12733   gcd cgcd 16531   lcm clcm 16625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator