Theorem ex-lcm 28398

Description: Example for df-lcm 16034. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-lcm	⊢ (6 lcm 9) = ;18

Proof of Theorem ex-lcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11808	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
2		9nn 11817	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 11744	. . . 4 ⊢ (6 · 9) ∈ ℕ
4	3	nncni 11729	. . 3 ⊢ (6 · 9) ∈ ℂ
5	1	nnzi 12090	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	2	nnzi 12090	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
7	5, 6	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8		lcmcl 16045	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 12041	. . . 4 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (6 lcm 9) ∈ ℂ
11		neggcd 15969	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
13	12	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14		ex-gcd 28397	. . . . . 6 ⊢ (-6 gcd 9) = 3
15	13, 14	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 9) = 3
16		3cn 11800	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	15, 16	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ∈ ℂ
18		3ne0 11825	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
19	15, 18	eqnetri 3005	. . . 4 ⊢ (6 gcd 9) ≠ 0
20	17, 19	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
21	1, 2	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22		lcmgcdnn 16055	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
24	23	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25		divmul3 11384	. . . . 5 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
26	24, 25	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
27	26	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
28	4, 10, 20, 27	mp3an 1462	. 2 ⊢ (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
29	15	oveq2i 7184	. 2 ⊢ ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30		6cn 11810	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		9cn 11819	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℂ
32	30, 31, 16, 18	divassi 11477	. . 3 ⊢ ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33		3t3e9 11886	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 7183	. . . . 5 ⊢ (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
36	16, 16, 18	divcan3i 11467	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) / 3) = 3
37	35, 36	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (9 / 3) = 3
38	37	oveq2i 7184	. . 3 ⊢ (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39		6t3e18 12287	. . 3 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	32, 38, 39	3eqtri 2766	. 2 ⊢ ((6 · 9) / 3) = ;18
41	28, 29, 40	3eqtri 2766	1 ⊢ (6 lcm 9) = ;18

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  (class class class)co 7173  ℂcc 10616  0cc0 10618  1c1 10619   · cmul 10623  -cneg 10952   / cdiv 11378  ℕcn 11719  3c3 11775  6c6 11778  8c8 11780  9c9 11781  ℤcz 12065  ;cdc 12182   gcd cgcd 15940   lcm clcm 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fl 13256  df-mod 13332  df-seq 13464  df-exp 13525  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-dvds 15703  df-gcd 15941  df-lcm 16034

This theorem is referenced by: (None)