Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq5 39688
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq5 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5
StepHypRef Expression
1 2re 11790 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 11819 . . . . . 6 0 < 2
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 2)
5 3re 11796 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7 3pos 11821 . . . . . 6 0 < 3
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 3)
9 1red 10720 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10 1lt2 11887 . . . . . . . 8 1 < 2
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 < 2)
129, 11ltned 10854 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 2)
1312necomd 2989 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 1)
142, 4, 6, 8, 13relogbcld 39600 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15 5nn0 11996 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . 4 (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
1714, 16reexpcld 13619 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
1816nn0red 12037 . . . . 5 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
198gt0ne0d 11282 . . . . 5 (⊤ → 3 ≠ 0)
2018, 6, 19redivcld 11546 . . . 4 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
2120, 16reexpcld 13619 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22 1nn0 11992 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
23 5nn 11802 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
2422, 23decnncl 12199 . . . . 5 15 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 (⊤ → 15 ∈ ℕ)
2625nnred 11731 . . 3 (⊤ → 15 ∈ ℝ)
27 0red 10722 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
286rehalfcld 11963 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
296, 2, 8, 4divgt0d 11653 . . . . . 6 (⊤ → 0 < (3 / 2))
30 3lexlogpow2ineq1 39686 . . . . . . . 8 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
3130simpli 487 . . . . . . 7 (3 / 2) < (2 logb 3)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
3327, 28, 14, 29, 32lttrd 10879 . . . . 5 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
3427, 14, 33ltled 10866 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
3530simpri 489 . . . . . 6 (2 logb 3) < (5 / 3)
3635a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
3714, 20, 36ltled 10866 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
3814, 20, 16, 34, 37leexp1ad 39599 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39 df-5 11782 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
4039a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 = (4 + 1))
4140oveq2d 7186 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
4220recnd 10747 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43 4nn0 11995 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
4542, 44expp1d 13603 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
4641, 45eqtrd 2773 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47 6nn0 11997 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
48 2nn0 11993 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
4947, 48deccl 12194 . . . . . . . . . . 11 62 ∈ ℕ0
50 7nn0 11998 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ0
5150, 48deccl 12194 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
52 9nn0 12000 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
53 9re 11815 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55 5lt9 11918 . . . . . . . . . . . . . 14 5 < 9
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 5 < 9)
5718, 54, 56ltled 10866 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 5 ≤ 9)
5857mptru 1549 . . . . . . . . . . 11 5 ≤ 9
59 2lt10 12317 . . . . . . . . . . . 12 2 < 10
60 6lt7 11902 . . . . . . . . . . . 12 6 < 7
6147, 50, 48, 48, 59, 60decltc 12208 . . . . . . . . . . 11 62 < 72
6249, 51, 15, 52, 58, 61decleh 12214 . . . . . . . . . 10 625 ≤ 729
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 625 ≤ 729)
64 8nn0 11999 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
65 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 81 = 81
66 0nn0 11991 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
67 9cn 11816 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
68 8cn 11813 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℂ
69 9t8e72 12307 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 8) = 72
7067, 68, 69mulcomli 10728 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 9) = 72
71 2cn 11791 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
7271addid1i 10905 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 0) = 2
7350, 48, 66, 70, 72decaddi 12239 . . . . . . . . . . . 12 ((8 · 9) + 0) = 72
74 ax-1cn 10673 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7567mulid1i 10723 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 1) = 9
7652dec0h 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 = 09
7776eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 09 = 9
7875, 77eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 1) = 09
7967, 74, 78mulcomli 10728 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 09
8052, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79decmul1c 12244 . . . . . . . . . . 11 (81 · 9) = 729
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (81 · 9) = 729)
8281eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 729 = (81 · 9))
8363, 82breqtrd 5056 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 ≤ (81 · 9))
84 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 4 = 4
85 2p2e4 11851 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . 12 4 = (2 + 2)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 4 = (2 + 2))
8887oveq2d 7186 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
8923nncni 11726 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
9290, 91, 91expaddd 13604 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
9389sqvali 13635 . . . . . . . . . . . . 13 (5↑2) = (5 · 5)
94 5t5e25 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 5) = 25
9593, 94eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (5↑2) = 25
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (5↑2) = 25)
9796, 96oveq12d 7188 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (25 · 25))
9888, 92, 973eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5↑4) = (25 · 25))
9948, 15deccl 12194 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ0
100 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 25 = 25
10122, 48deccl 12194 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
10248dec0h 12201 . . . . . . . . . . . 12 2 = 02
103 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 12 = 12
10499nn0cni 11988 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℂ
105104mul02i 10907 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 25) = 0
106 5p1e6 11863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 + 1) = 6
10789, 74, 106addcomli 10910 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 5) = 6
108105, 107oveq12i 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 · 25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109 6cn 11807 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
110109addid2i 10906 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 6) = 6
111108, 110eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 25) + (1 + 5)) = 6
112 2t2e4 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
113 0p1e1 11838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
114112, 113oveq12i 7182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115 4p1e5 11862 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 1) = 5
116114, 115eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117 5t2e10 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 2) = 10
11889, 71, 117mulcomli 10728 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 5) = 10
11971addid2i 10906 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
12022, 66, 48, 118, 119decaddi 12239 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 5) + 2) = 12
12148, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120decma2c 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 25) + 2) = 52
12266, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121decmac 12231 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 25) + 12) = 62
12322, 66, 48, 117, 119decaddi 12239 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 2) + 2) = 12
12415, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94decmul2c 12245 . . . . . . . . . . 11 (5 · 25) = 125
12599, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124decmul1c 12244 . . . . . . . . . 10 (25 · 25) = 625
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (25 · 25) = 625)
12798, 126eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 = (5↑4))
12887oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129 3cn 11797 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131130, 91, 91expaddd 13604 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132129sqvali 13635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3↑2) = (3 · 3)
133 3t3e9 11883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
134132, 133eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (3↑2) = 9
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (3↑2) = 9)
136135, 135oveq12d 7188 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137 9t9e81 12308 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (9 · 9) = 81)
139136, 138eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = 81)
140128, 131, 1393eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (3↑4) = 81)
141140eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 81 = (3↑4))
142141oveq1d 7185 . . . . . . . 8 (⊤ → (81 · 9) = ((3↑4) · 9))
14383, 127, 1423brtr3d 5061 . . . . . . 7 (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
14418, 44reexpcld 13619 . . . . . . . 8 (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145 3rp 12478 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
146145a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147 4z 12097 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
148147a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149146, 148rpexpcld 13700 . . . . . . . 8 (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150144, 54, 149ledivmuld 12567 . . . . . . 7 (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151143, 150mpbird 260 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
15218recnd 10747 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153152, 130, 19, 44expdivd 13616 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154153eqcomd 2744 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
15526recnd 10747 . . . . . . . 8 (⊤ → 15 ∈ ℂ)
15623nngt0i 11755 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 5)
15827, 157ltned 10854 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 5)
159158necomd 2989 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ≠ 0)
160155, 152, 130, 159, 19divdiv2d 11526 . . . . . . 7 (⊤ → (15 / (5 / 3)) = ((15 · 3) / 5))
161 5cn 11804 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
162 9t5e45 12304 . . . . . . . . . . 11 (9 · 5) = 45
16367, 161, 162mulcomli 10728 . . . . . . . . . 10 (5 · 9) = 45
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5 · 9) = 45)
165 3nn0 11994 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
166 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
167129mulid2i 10724 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 3) = 3
168167oveq1i 7180 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169 3p1e4 11861 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
170168, 169eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + 1) = 4
171 5t3e15 12280 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 3) = 15
172165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171decmul1c 12244 . . . . . . . . . . 11 (15 · 3) = 45
173172a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (15 · 3) = 45)
174173eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 45 = (15 · 3))
175164, 174eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 9) = (15 · 3))
176155, 130mulcld 10739 . . . . . . . . 9 (⊤ → (15 · 3) ∈ ℂ)
17767a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178176, 152, 177, 159divmuld 11516 . . . . . . . 8 (⊤ → (((15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (15 · 3)))
179175, 178mpbird 260 . . . . . . 7 (⊤ → ((15 · 3) / 5) = 9)
180160, 179eqtr2d 2774 . . . . . 6 (⊤ → 9 = (15 / (5 / 3)))
181151, 154, 1803brtr3d 5061 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3)))
18220, 44reexpcld 13619 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
18318, 157elrpd 12511 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184183, 146rpdivcld 12531 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185182, 26, 184lemuldivd 12563 . . . . 5 (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3))))
186181, 185mpbird 260 . . . 4 (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15)
18746, 186eqbrtrd 5052 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ 15)
18817, 21, 26, 38, 187letrd 10875 . 2 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ 15)
189188mptru 1549 1 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  5c5 11774  6c6 11775  7c7 11776  8c8 11777  9c9 11778  0cn0 11976  cz 12062  cdc 12179  +crp 12472  cexp 13521   logb clogb 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-cxp 25301  df-logb 25503
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  39703
  Copyright terms: Public domain W3C validator