Theorem 3lexlogpow5ineq5 42517

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq5	⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12279	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
5		3re 12256	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7		3pos 12281	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
9		1red 11140	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10		1lt2 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
12	9, 11	ltned 11277	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
13	12	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
14	2, 4, 6, 8, 13	relogbcld 42431	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15		5nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
17	14, 16	reexpcld 14120	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
18	16	nn0red 12494	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
19	8	gt0ne0d 11709	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
20	18, 6, 19	redivcld 11978	. . . 4 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
21	20, 16	reexpcld 14120	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22		1nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		5nn 12262	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
24	22, 23	decnncl 12659	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12184	. . 3 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℝ)
27		0red 11142	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
28	6	rehalfcld 12419	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
29	6, 2, 8, 4	divgt0d 12086	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
30		3lexlogpow2ineq1 42515	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
31	30	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 2) < (2 logb 3)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
33	27, 28, 14, 29, 32	lttrd 11302	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
34	27, 14, 33	ltled 11289	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
35	30	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (2 logb 3) < (5 / 3)
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
37	14, 20, 36	ltled 11289	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
38	14, 20, 16, 34, 37	leexp1ad 14133	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39		df-5 12242	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 = (4 + 1))
41	40	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
42	20	recnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43		4nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
45	42, 44	expp1d 14104	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
46	41, 45	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47		6nn0 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		2nn0 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
49	47, 48	deccl 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
50		7nn0 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51	50, 48	deccl 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
52		9nn0 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53		9re 12275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55		5lt9 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 < 9
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 5 < 9)
57	18, 54, 56	ltled 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 5 ≤ 9)
58	57	mptru 1549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ≤ 9
59		2lt10 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < ;10
60		6lt7 12357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < 7
61	47, 50, 48, 48, 59, 60	decltc 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 < ;72
62	49, 51, 15, 52, 58, 61	decleh 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;625 ≤ ;;729
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ ;;729)
64		8nn0 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;81 = ;81
66		0nn0 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
67		9cn 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
68		8cn 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℂ
69		9t8e72 12767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 8) = ;72
70	67, 68, 69	mulcomli 11149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 9) = ;72
71		2cn 12251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	addridi 11328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 0) = 2
73	50, 48, 66, 70, 72	decaddi 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((8 · 9) + 0) = ;72
74		ax-1cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	67	mulridi 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
76	52	dec0h 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
77	76	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;09 = 9
78	75, 77	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 1) = ;09
79	67, 74, 78	mulcomli 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 9) = ;09
80	52, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79	decmul1c 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;81 · 9) = ;;729
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ;;729)
82	81	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;729 = (;81 · 9))
83	63, 82	breqtrd 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ (;81 · 9))
84		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = 4
85		2p2e4 12306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (2 + 2)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 4 = (2 + 2))
88	87	oveq2d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
89	23	nncni 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
91	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
92	90, 91, 91	expaddd 14105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
93	89	sqvali 14137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
94		5t5e25 12742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
95	93, 94	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5↑2) = ;25
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (5↑2) = ;25)
97	96, 96	oveq12d 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (;25 · ;25))
98	88, 92, 97	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (;25 · ;25))
99	48, 15	deccl 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
100		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 = ;25
101	22, 48	deccl 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	48	dec0h 12661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = ;02
103		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 = ;12
104	99	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℂ
105	104	mul02i 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · ;25) = 0
106		5p1e6 12318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
107	89, 74, 106	addcomli 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 5) = 6
108	105, 107	oveq12i 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109		6cn 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
110	109	addlidi 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 6) = 6
111	108, 110	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = 6
112		2t2e4 12335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
113		0p1e1 12293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
114	112, 113	oveq12i 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115		4p1e5 12317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 1) = 5
116	114, 115	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117		5t2e10 12739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 2) = ;10
118	89, 71, 117	mulcomli 11149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 5) = ;10
119	71	addlidi 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
120	22, 66, 48, 118, 119	decaddi 12699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
121	48, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120	decma2c 12692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · ;25) + 2) = ;52
122	66, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121	decmac 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · ;25) + ;12) = ;62
123	22, 66, 48, 117, 119	decaddi 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 2) = ;12
124	15, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94	decmul2c 12705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · ;25) = ;;125
125	99, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124	decmul1c 12704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;25 · ;25) = ;;625
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;25 · ;25) = ;;625)
127	98, 126	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 = (5↑4))
128	87	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129		3cn 12257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131	130, 91, 91	expaddd 14105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132	129	sqvali 14137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
133		3t3e9 12338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3↑2) = 9
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (3↑2) = 9)
136	135, 135	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137		9t9e81 12768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (9 · 9) = ;81)
139	136, 138	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = ;81)
140	128, 131, 139	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (3↑4) = ;81)
141	140	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;81 = (3↑4))
142	141	oveq1d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ((3↑4) · 9))
143	83, 127, 142	3brtr3d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
144	18, 44	reexpcld 14120	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145		3rp 12943	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147		4z 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℤ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149	146, 148	rpexpcld 14204	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150	144, 54, 149	ledivmuld 13034	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151	143, 150	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
152	18	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153	152, 130, 19, 44	expdivd 14117	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154	153	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
155	26	recnd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℂ)
156	23	nngt0i 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 5)
158	27, 157	ltned 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 5)
159	158	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ≠ 0)
160	155, 152, 130, 159, 19	divdiv2d 11958	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;15 / (5 / 3)) = ((;15 · 3) / 5))
161		5cn 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
162		9t5e45 12764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 5) = ;45
163	67, 161, 162	mulcomli 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 9) = ;45
164	163	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = ;45)
165		3nn0 12450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
166		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
167	129	mullidi 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 3) = 3
168	167	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169		3p1e4 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
170	168, 169	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 3) + 1) = 4
171		5t3e15 12740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 3) = ;15
172	165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171	decmul1c 12704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · 3) = ;45
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) = ;45)
174	173	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;45 = (;15 · 3))
175	164, 174	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = (;15 · 3))
176	155, 130	mulcld 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) ∈ ℂ)
177	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178	176, 152, 177, 159	divmuld 11948	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((;15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (;15 · 3)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((;15 · 3) / 5) = 9)
180	160, 179	eqtr2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 9 = (;15 / (5 / 3)))
181	151, 154, 180	3brtr3d 5117	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3)))
182	20, 44	reexpcld 14120	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
183	18, 157	elrpd 12978	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184	183, 146	rpdivcld 12998	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185	182, 26, 184	lemuldivd 13030	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3))))
186	181, 185	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15)
187	46, 186	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ ;15)
188	17, 21, 26, 38, 187	letrd 11298	. 2 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
189	188	mptru 1549	1 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  6c6 12235  7c7 12236  8c8 12237  9c9 12238  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ;cdc 12639  ℝ⁺crp 12937  ↑cexp 14018   log_b clogb 26745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cncf 24859  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537  df-cxp 26538  df-logb 26746

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42533