Theorem 3lexlogpow5ineq5 42073

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq5	⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12343	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
5		3re 12320	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7		3pos 12345	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
9		1red 11236	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10		1lt2 12411	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
12	9, 11	ltned 11371	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
13	12	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
14	2, 4, 6, 8, 13	relogbcld 41986	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15		5nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
17	14, 16	reexpcld 14181	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
18	16	nn0red 12563	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
19	8	gt0ne0d 11801	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
20	18, 6, 19	redivcld 12069	. . . 4 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
21	20, 16	reexpcld 14181	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		5nn 12326	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
24	22, 23	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12255	. . 3 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℝ)
27		0red 11238	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
28	6	rehalfcld 12488	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
29	6, 2, 8, 4	divgt0d 12177	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
30		3lexlogpow2ineq1 42071	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
31	30	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 2) < (2 logb 3)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
33	27, 28, 14, 29, 32	lttrd 11396	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
34	27, 14, 33	ltled 11383	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
35	30	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (2 logb 3) < (5 / 3)
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
37	14, 20, 36	ltled 11383	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
38	14, 20, 16, 34, 37	leexp1ad 14194	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39		df-5 12306	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 = (4 + 1))
41	40	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
42	20	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43		4nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
45	42, 44	expp1d 14165	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
46	41, 45	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47		6nn0 12522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		2nn0 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
49	47, 48	deccl 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
50		7nn0 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51	50, 48	deccl 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
52		9nn0 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53		9re 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55		5lt9 12442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 < 9
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 5 < 9)
57	18, 54, 56	ltled 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 5 ≤ 9)
58	57	mptru 1547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ≤ 9
59		2lt10 12846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < ;10
60		6lt7 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < 7
61	47, 50, 48, 48, 59, 60	decltc 12737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 < ;72
62	49, 51, 15, 52, 58, 61	decleh 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;625 ≤ ;;729
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ ;;729)
64		8nn0 12524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;81 = ;81
66		0nn0 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
67		9cn 12340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
68		8cn 12337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℂ
69		9t8e72 12836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 8) = ;72
70	67, 68, 69	mulcomli 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 9) = ;72
71		2cn 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	addridi 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 0) = 2
73	50, 48, 66, 70, 72	decaddi 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((8 · 9) + 0) = ;72
74		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	67	mulridi 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
76	52	dec0h 12730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
77	76	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;09 = 9
78	75, 77	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 1) = ;09
79	67, 74, 78	mulcomli 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 9) = ;09
80	52, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79	decmul1c 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;81 · 9) = ;;729
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ;;729)
82	81	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;729 = (;81 · 9))
83	63, 82	breqtrd 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ (;81 · 9))
84		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = 4
85		2p2e4 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (2 + 2)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 4 = (2 + 2))
88	87	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
89	23	nncni 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
91	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
92	90, 91, 91	expaddd 14166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
93	89	sqvali 14198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
94		5t5e25 12811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
95	93, 94	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5↑2) = ;25
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (5↑2) = ;25)
97	96, 96	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (;25 · ;25))
98	88, 92, 97	3eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (;25 · ;25))
99	48, 15	deccl 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
100		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 = ;25
101	22, 48	deccl 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	48	dec0h 12730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = ;02
103		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 = ;12
104	99	nn0cni 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℂ
105	104	mul02i 11424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · ;25) = 0
106		5p1e6 12387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
107	89, 74, 106	addcomli 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 5) = 6
108	105, 107	oveq12i 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109		6cn 12331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
110	109	addlidi 11423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 6) = 6
111	108, 110	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = 6
112		2t2e4 12404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
113		0p1e1 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
114	112, 113	oveq12i 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115		4p1e5 12386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 1) = 5
116	114, 115	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117		5t2e10 12808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 2) = ;10
118	89, 71, 117	mulcomli 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 5) = ;10
119	71	addlidi 11423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
120	22, 66, 48, 118, 119	decaddi 12768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
121	48, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120	decma2c 12761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · ;25) + 2) = ;52
122	66, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121	decmac 12760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · ;25) + ;12) = ;62
123	22, 66, 48, 117, 119	decaddi 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 2) = ;12
124	15, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94	decmul2c 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · ;25) = ;;125
125	99, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124	decmul1c 12773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;25 · ;25) = ;;625
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;25 · ;25) = ;;625)
127	98, 126	eqtr2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 = (5↑4))
128	87	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129		3cn 12321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131	130, 91, 91	expaddd 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132	129	sqvali 14198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
133		3t3e9 12407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3↑2) = 9
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (3↑2) = 9)
136	135, 135	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137		9t9e81 12837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (9 · 9) = ;81)
139	136, 138	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = ;81)
140	128, 131, 139	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (3↑4) = ;81)
141	140	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;81 = (3↑4))
142	141	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ((3↑4) · 9))
143	83, 127, 142	3brtr3d 5150	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
144	18, 44	reexpcld 14181	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145		3rp 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147		4z 12626	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℤ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149	146, 148	rpexpcld 14265	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150	144, 54, 149	ledivmuld 13104	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151	143, 150	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
152	18	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153	152, 130, 19, 44	expdivd 14178	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154	153	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
155	26	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℂ)
156	23	nngt0i 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 5)
158	27, 157	ltned 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 5)
159	158	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ≠ 0)
160	155, 152, 130, 159, 19	divdiv2d 12049	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;15 / (5 / 3)) = ((;15 · 3) / 5))
161		5cn 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
162		9t5e45 12833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 5) = ;45
163	67, 161, 162	mulcomli 11244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 9) = ;45
164	163	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = ;45)
165		3nn0 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
166		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
167	129	mullidi 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 3) = 3
168	167	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169		3p1e4 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
170	168, 169	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 3) + 1) = 4
171		5t3e15 12809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 3) = ;15
172	165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171	decmul1c 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · 3) = ;45
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) = ;45)
174	173	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;45 = (;15 · 3))
175	164, 174	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = (;15 · 3))
176	155, 130	mulcld 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) ∈ ℂ)
177	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178	176, 152, 177, 159	divmuld 12039	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((;15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (;15 · 3)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((;15 · 3) / 5) = 9)
180	160, 179	eqtr2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 9 = (;15 / (5 / 3)))
181	151, 154, 180	3brtr3d 5150	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3)))
182	20, 44	reexpcld 14181	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
183	18, 157	elrpd 13048	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184	183, 146	rpdivcld 13068	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185	182, 26, 184	lemuldivd 13100	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3))))
186	181, 185	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15)
187	46, 186	eqbrtrd 5141	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ ;15)
188	17, 21, 26, 38, 187	letrd 11392	. 2 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
189	188	mptru 1547	1 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ;cdc 12708  ℝ⁺crp 13008  ↑cexp 14079   log_b clogb 26726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-logb 26727

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42089