Theorem 3lexlogpow5ineq5 41384

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq5	⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12311	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
5		3re 12288	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7		3pos 12313	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
9		1red 11211	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10		1lt2 12379	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
12	9, 11	ltned 11346	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
13	12	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
14	2, 4, 6, 8, 13	relogbcld 41297	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15		5nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
17	14, 16	reexpcld 14124	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
18	16	nn0red 12529	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
19	8	gt0ne0d 11774	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
20	18, 6, 19	redivcld 12038	. . . 4 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
21	20, 16	reexpcld 14124	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22		1nn0 12484	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		5nn 12294	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
24	22, 23	decnncl 12693	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12223	. . 3 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℝ)
27		0red 11213	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
28	6	rehalfcld 12455	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
29	6, 2, 8, 4	divgt0d 12145	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
30		3lexlogpow2ineq1 41382	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
31	30	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 2) < (2 logb 3)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
33	27, 28, 14, 29, 32	lttrd 11371	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
34	27, 14, 33	ltled 11358	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
35	30	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (2 logb 3) < (5 / 3)
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
37	14, 20, 36	ltled 11358	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
38	14, 20, 16, 34, 37	leexp1ad 41296	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39		df-5 12274	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 = (4 + 1))
41	40	oveq2d 7417	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
42	20	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43		4nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
45	42, 44	expp1d 14108	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
46	41, 45	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47		6nn0 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		2nn0 12485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
49	47, 48	deccl 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
50		7nn0 12490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51	50, 48	deccl 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
52		9nn0 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53		9re 12307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55		5lt9 12410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 < 9
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 5 < 9)
57	18, 54, 56	ltled 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 5 ≤ 9)
58	57	mptru 1540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ≤ 9
59		2lt10 12811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < ;10
60		6lt7 12394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < 7
61	47, 50, 48, 48, 59, 60	decltc 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 < ;72
62	49, 51, 15, 52, 58, 61	decleh 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;625 ≤ ;;729
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ ;;729)
64		8nn0 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;81 = ;81
66		0nn0 12483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
67		9cn 12308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
68		8cn 12305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℂ
69		9t8e72 12801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 8) = ;72
70	67, 68, 69	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 9) = ;72
71		2cn 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	addridi 11397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 0) = 2
73	50, 48, 66, 70, 72	decaddi 12733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((8 · 9) + 0) = ;72
74		ax-1cn 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	67	mulridi 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
76	52	dec0h 12695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
77	76	eqcomi 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;09 = 9
78	75, 77	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 1) = ;09
79	67, 74, 78	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 9) = ;09
80	52, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79	decmul1c 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;81 · 9) = ;;729
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ;;729)
82	81	eqcomd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;729 = (;81 · 9))
83	63, 82	breqtrd 5164	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ (;81 · 9))
84		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = 4
85		2p2e4 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (2 + 2)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 4 = (2 + 2))
88	87	oveq2d 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
89	23	nncni 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
91	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
92	90, 91, 91	expaddd 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
93	89	sqvali 14140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
94		5t5e25 12776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
95	93, 94	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5↑2) = ;25
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (5↑2) = ;25)
97	96, 96	oveq12d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (;25 · ;25))
98	88, 92, 97	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (;25 · ;25))
99	48, 15	deccl 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
100		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 = ;25
101	22, 48	deccl 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	48	dec0h 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = ;02
103		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 = ;12
104	99	nn0cni 12480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℂ
105	104	mul02i 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · ;25) = 0
106		5p1e6 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
107	89, 74, 106	addcomli 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 5) = 6
108	105, 107	oveq12i 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109		6cn 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
110	109	addlidi 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 6) = 6
111	108, 110	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = 6
112		2t2e4 12372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
113		0p1e1 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
114	112, 113	oveq12i 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115		4p1e5 12354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 1) = 5
116	114, 115	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117		5t2e10 12773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 2) = ;10
118	89, 71, 117	mulcomli 11219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 5) = ;10
119	71	addlidi 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
120	22, 66, 48, 118, 119	decaddi 12733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
121	48, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120	decma2c 12726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · ;25) + 2) = ;52
122	66, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121	decmac 12725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · ;25) + ;12) = ;62
123	22, 66, 48, 117, 119	decaddi 12733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 2) = ;12
124	15, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94	decmul2c 12739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · ;25) = ;;125
125	99, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124	decmul1c 12738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;25 · ;25) = ;;625
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;25 · ;25) = ;;625)
127	98, 126	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 = (5↑4))
128	87	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129		3cn 12289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131	130, 91, 91	expaddd 14109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132	129	sqvali 14140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
133		3t3e9 12375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3↑2) = 9
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (3↑2) = 9)
136	135, 135	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137		9t9e81 12802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (9 · 9) = ;81)
139	136, 138	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = ;81)
140	128, 131, 139	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (3↑4) = ;81)
141	140	eqcomd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;81 = (3↑4))
142	141	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ((3↑4) · 9))
143	83, 127, 142	3brtr3d 5169	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
144	18, 44	reexpcld 14124	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145		3rp 12976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147		4z 12592	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℤ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149	146, 148	rpexpcld 14206	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150	144, 54, 149	ledivmuld 13065	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151	143, 150	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
152	18	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153	152, 130, 19, 44	expdivd 14121	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154	153	eqcomd 2730	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
155	26	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℂ)
156	23	nngt0i 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 5)
158	27, 157	ltned 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 5)
159	158	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ≠ 0)
160	155, 152, 130, 159, 19	divdiv2d 12018	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;15 / (5 / 3)) = ((;15 · 3) / 5))
161		5cn 12296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
162		9t5e45 12798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 5) = ;45
163	67, 161, 162	mulcomli 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 9) = ;45
164	163	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = ;45)
165		3nn0 12486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
166		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
167	129	mullidi 11215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 3) = 3
168	167	oveq1i 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169		3p1e4 12353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
170	168, 169	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 3) + 1) = 4
171		5t3e15 12774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 3) = ;15
172	165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171	decmul1c 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · 3) = ;45
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) = ;45)
174	173	eqcomd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;45 = (;15 · 3))
175	164, 174	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = (;15 · 3))
176	155, 130	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) ∈ ℂ)
177	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178	176, 152, 177, 159	divmuld 12008	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((;15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (;15 · 3)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((;15 · 3) / 5) = 9)
180	160, 179	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 9 = (;15 / (5 / 3)))
181	151, 154, 180	3brtr3d 5169	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3)))
182	20, 44	reexpcld 14124	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
183	18, 157	elrpd 13009	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184	183, 146	rpdivcld 13029	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185	182, 26, 184	lemuldivd 13061	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3))))
186	181, 185	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15)
187	46, 186	eqbrtrd 5160	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ ;15)
188	17, 21, 26, 38, 187	letrd 11367	. 2 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
189	188	mptru 1540	1 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  7c7 12268  8c8 12269  9c9 12270  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ;cdc 12673  ℝ⁺crp 12970  ↑cexp 14023   log_b clogb 26600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-lp 22950  df-perf 22951  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-haus 23129  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-cncf 24708  df-limc 25705  df-dv 25706  df-log 26395  df-cxp 26396  df-logb 26601

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  41400