Theorem 3lexlogpow5ineq5 42055

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq5	⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12296	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
5		3re 12273	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7		3pos 12298	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
9		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10		1lt2 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
12	9, 11	ltned 11317	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
13	12	necomd 2981	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
14	2, 4, 6, 8, 13	relogbcld 41968	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
17	14, 16	reexpcld 14135	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
18	16	nn0red 12511	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
19	8	gt0ne0d 11749	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
20	18, 6, 19	redivcld 12017	. . . 4 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
21	20, 16	reexpcld 14135	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		5nn 12279	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
24	22, 23	decnncl 12676	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12208	. . 3 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℝ)
27		0red 11184	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
28	6	rehalfcld 12436	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
29	6, 2, 8, 4	divgt0d 12125	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
30		3lexlogpow2ineq1 42053	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
31	30	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 2) < (2 logb 3)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
33	27, 28, 14, 29, 32	lttrd 11342	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
34	27, 14, 33	ltled 11329	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
35	30	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (2 logb 3) < (5 / 3)
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
37	14, 20, 36	ltled 11329	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
38	14, 20, 16, 34, 37	leexp1ad 14148	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39		df-5 12259	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 = (4 + 1))
41	40	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
42	20	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43		4nn0 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
45	42, 44	expp1d 14119	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
46	41, 45	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47		6nn0 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
49	47, 48	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
50		7nn0 12471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51	50, 48	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
52		9nn0 12473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53		9re 12292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55		5lt9 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 < 9
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 5 < 9)
57	18, 54, 56	ltled 11329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 5 ≤ 9)
58	57	mptru 1547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ≤ 9
59		2lt10 12794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < ;10
60		6lt7 12374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < 7
61	47, 50, 48, 48, 59, 60	decltc 12685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 < ;72
62	49, 51, 15, 52, 58, 61	decleh 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;625 ≤ ;;729
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ ;;729)
64		8nn0 12472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;81 = ;81
66		0nn0 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
67		9cn 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
68		8cn 12290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℂ
69		9t8e72 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 8) = ;72
70	67, 68, 69	mulcomli 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 9) = ;72
71		2cn 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	addridi 11368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 0) = 2
73	50, 48, 66, 70, 72	decaddi 12716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((8 · 9) + 0) = ;72
74		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	67	mulridi 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
76	52	dec0h 12678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
77	76	eqcomi 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;09 = 9
78	75, 77	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 1) = ;09
79	67, 74, 78	mulcomli 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 9) = ;09
80	52, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79	decmul1c 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;81 · 9) = ;;729
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ;;729)
82	81	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;729 = (;81 · 9))
83	63, 82	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ (;81 · 9))
84		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = 4
85		2p2e4 12323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (2 + 2)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 4 = (2 + 2))
88	87	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
89	23	nncni 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
91	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
92	90, 91, 91	expaddd 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
93	89	sqvali 14152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
94		5t5e25 12759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
95	93, 94	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5↑2) = ;25
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (5↑2) = ;25)
97	96, 96	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (;25 · ;25))
98	88, 92, 97	3eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (;25 · ;25))
99	48, 15	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
100		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 = ;25
101	22, 48	deccl 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	48	dec0h 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = ;02
103		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 = ;12
104	99	nn0cni 12461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℂ
105	104	mul02i 11370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · ;25) = 0
106		5p1e6 12335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
107	89, 74, 106	addcomli 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 5) = 6
108	105, 107	oveq12i 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109		6cn 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
110	109	addlidi 11369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 6) = 6
111	108, 110	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = 6
112		2t2e4 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
113		0p1e1 12310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
114	112, 113	oveq12i 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115		4p1e5 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 1) = 5
116	114, 115	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117		5t2e10 12756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 2) = ;10
118	89, 71, 117	mulcomli 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 5) = ;10
119	71	addlidi 11369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
120	22, 66, 48, 118, 119	decaddi 12716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
121	48, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120	decma2c 12709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · ;25) + 2) = ;52
122	66, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121	decmac 12708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · ;25) + ;12) = ;62
123	22, 66, 48, 117, 119	decaddi 12716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 2) = ;12
124	15, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94	decmul2c 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · ;25) = ;;125
125	99, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124	decmul1c 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;25 · ;25) = ;;625
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;25 · ;25) = ;;625)
127	98, 126	eqtr2d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 = (5↑4))
128	87	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129		3cn 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131	130, 91, 91	expaddd 14120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132	129	sqvali 14152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
133		3t3e9 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3↑2) = 9
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (3↑2) = 9)
136	135, 135	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137		9t9e81 12785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (9 · 9) = ;81)
139	136, 138	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = ;81)
140	128, 131, 139	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (3↑4) = ;81)
141	140	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;81 = (3↑4))
142	141	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ((3↑4) · 9))
143	83, 127, 142	3brtr3d 5141	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
144	18, 44	reexpcld 14135	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145		3rp 12964	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147		4z 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℤ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149	146, 148	rpexpcld 14219	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150	144, 54, 149	ledivmuld 13055	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151	143, 150	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
152	18	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153	152, 130, 19, 44	expdivd 14132	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154	153	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
155	26	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℂ)
156	23	nngt0i 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 5)
158	27, 157	ltned 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 5)
159	158	necomd 2981	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ≠ 0)
160	155, 152, 130, 159, 19	divdiv2d 11997	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;15 / (5 / 3)) = ((;15 · 3) / 5))
161		5cn 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
162		9t5e45 12781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 5) = ;45
163	67, 161, 162	mulcomli 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 9) = ;45
164	163	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = ;45)
165		3nn0 12467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
166		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
167	129	mullidi 11186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 3) = 3
168	167	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169		3p1e4 12333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
170	168, 169	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 3) + 1) = 4
171		5t3e15 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 3) = ;15
172	165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171	decmul1c 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · 3) = ;45
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) = ;45)
174	173	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;45 = (;15 · 3))
175	164, 174	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = (;15 · 3))
176	155, 130	mulcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) ∈ ℂ)
177	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178	176, 152, 177, 159	divmuld 11987	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((;15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (;15 · 3)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((;15 · 3) / 5) = 9)
180	160, 179	eqtr2d 2766	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 9 = (;15 / (5 / 3)))
181	151, 154, 180	3brtr3d 5141	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3)))
182	20, 44	reexpcld 14135	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
183	18, 157	elrpd 12999	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184	183, 146	rpdivcld 13019	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185	182, 26, 184	lemuldivd 13051	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3))))
186	181, 185	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15)
187	46, 186	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ ;15)
188	17, 21, 26, 38, 187	letrd 11338	. 2 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
189	188	mptru 1547	1 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958  ↑cexp 14033   log_b clogb 26681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42071