Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq5 40546
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq5 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5
StepHypRef Expression
1 2re 12234 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12263 . . . . . 6 0 < 2
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 2)
5 3re 12240 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7 3pos 12265 . . . . . 6 0 < 3
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 3)
9 1red 11163 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10 1lt2 12331 . . . . . . . 8 1 < 2
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 < 2)
129, 11ltned 11298 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 2)
1312necomd 3000 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 1)
142, 4, 6, 8, 13relogbcld 40459 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15 5nn0 12440 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . 4 (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
1714, 16reexpcld 14075 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
1816nn0red 12481 . . . . 5 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
198gt0ne0d 11726 . . . . 5 (⊤ → 3 ≠ 0)
2018, 6, 19redivcld 11990 . . . 4 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
2120, 16reexpcld 14075 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
23 5nn 12246 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
2422, 23decnncl 12645 . . . . 5 15 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 (⊤ → 15 ∈ ℕ)
2625nnred 12175 . . 3 (⊤ → 15 ∈ ℝ)
27 0red 11165 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
286rehalfcld 12407 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
296, 2, 8, 4divgt0d 12097 . . . . . 6 (⊤ → 0 < (3 / 2))
30 3lexlogpow2ineq1 40544 . . . . . . . 8 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
3130simpli 485 . . . . . . 7 (3 / 2) < (2 logb 3)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
3327, 28, 14, 29, 32lttrd 11323 . . . . 5 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
3427, 14, 33ltled 11310 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
3530simpri 487 . . . . . 6 (2 logb 3) < (5 / 3)
3635a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
3714, 20, 36ltled 11310 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
3814, 20, 16, 34, 37leexp1ad 40458 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39 df-5 12226 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
4039a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 = (4 + 1))
4140oveq2d 7378 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
4220recnd 11190 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
4542, 44expp1d 14059 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
4641, 45eqtrd 2777 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47 6nn0 12441 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
48 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
4947, 48deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 62 ∈ ℕ0
50 7nn0 12442 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ0
5150, 48deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
52 9nn0 12444 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
53 9re 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55 5lt9 12362 . . . . . . . . . . . . . 14 5 < 9
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 5 < 9)
5718, 54, 56ltled 11310 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 5 ≤ 9)
5857mptru 1549 . . . . . . . . . . 11 5 ≤ 9
59 2lt10 12763 . . . . . . . . . . . 12 2 < 10
60 6lt7 12346 . . . . . . . . . . . 12 6 < 7
6147, 50, 48, 48, 59, 60decltc 12654 . . . . . . . . . . 11 62 < 72
6249, 51, 15, 52, 58, 61decleh 12660 . . . . . . . . . 10 625 ≤ 729
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 625 ≤ 729)
64 8nn0 12443 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 81 = 81
66 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
67 9cn 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
68 8cn 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℂ
69 9t8e72 12753 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 8) = 72
7067, 68, 69mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 9) = 72
71 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
7271addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 0) = 2
7350, 48, 66, 70, 72decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((8 · 9) + 0) = 72
74 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7567mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 1) = 9
7652dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 = 09
7776eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 09 = 9
7875, 77eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 1) = 09
7967, 74, 78mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 09
8052, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79decmul1c 12690 . . . . . . . . . . 11 (81 · 9) = 729
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (81 · 9) = 729)
8281eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 729 = (81 · 9))
8363, 82breqtrd 5136 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 ≤ (81 · 9))
84 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 4 = 4
85 2p2e4 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 4 = (2 + 2)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 4 = (2 + 2))
8887oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
8923nncni 12170 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
9290, 91, 91expaddd 14060 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
9389sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . 13 (5↑2) = (5 · 5)
94 5t5e25 12728 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 5) = 25
9593, 94eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (5↑2) = 25
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (5↑2) = 25)
9796, 96oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (25 · 25))
9888, 92, 973eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5↑4) = (25 · 25))
9948, 15deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ0
100 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 25 = 25
10122, 48deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
10248dec0h 12647 . . . . . . . . . . . 12 2 = 02
103 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 12 = 12
10499nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℂ
105104mul02i 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 25) = 0
106 5p1e6 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 + 1) = 6
10789, 74, 106addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 5) = 6
108105, 107oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 · 25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109 6cn 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
110109addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 6) = 6
111108, 110eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 25) + (1 + 5)) = 6
112 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
113 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
114112, 113oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115 4p1e5 12306 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 1) = 5
116114, 115eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117 5t2e10 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 2) = 10
11889, 71, 117mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 5) = 10
11971addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
12022, 66, 48, 118, 119decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 5) + 2) = 12
12148, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120decma2c 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 25) + 2) = 52
12266, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 25) + 12) = 62
12322, 66, 48, 117, 119decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 2) + 2) = 12
12415, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94decmul2c 12691 . . . . . . . . . . 11 (5 · 25) = 125
12599, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124decmul1c 12690 . . . . . . . . . 10 (25 · 25) = 625
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (25 · 25) = 625)
12798, 126eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 = (5↑4))
12887oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129 3cn 12241 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131130, 91, 91expaddd 14060 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132129sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3↑2) = (3 · 3)
133 3t3e9 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
134132, 133eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (3↑2) = 9
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (3↑2) = 9)
136135, 135oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137 9t9e81 12754 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (9 · 9) = 81)
139136, 138eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = 81)
140128, 131, 1393eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (3↑4) = 81)
141140eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 81 = (3↑4))
142141oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (⊤ → (81 · 9) = ((3↑4) · 9))
14383, 127, 1423brtr3d 5141 . . . . . . 7 (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
14418, 44reexpcld 14075 . . . . . . . 8 (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145 3rp 12928 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
146145a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147 4z 12544 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
148147a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149146, 148rpexpcld 14157 . . . . . . . 8 (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150144, 54, 149ledivmuld 13017 . . . . . . 7 (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151143, 150mpbird 257 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
15218recnd 11190 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153152, 130, 19, 44expdivd 14072 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154153eqcomd 2743 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
15526recnd 11190 . . . . . . . 8 (⊤ → 15 ∈ ℂ)
15623nngt0i 12199 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 5)
15827, 157ltned 11298 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 5)
159158necomd 3000 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ≠ 0)
160155, 152, 130, 159, 19divdiv2d 11970 . . . . . . 7 (⊤ → (15 / (5 / 3)) = ((15 · 3) / 5))
161 5cn 12248 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
162 9t5e45 12750 . . . . . . . . . . 11 (9 · 5) = 45
16367, 161, 162mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (5 · 9) = 45
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5 · 9) = 45)
165 3nn0 12438 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
166 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
167129mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 3) = 3
168167oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
170168, 169eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + 1) = 4
171 5t3e15 12726 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 3) = 15
172165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171decmul1c 12690 . . . . . . . . . . 11 (15 · 3) = 45
173172a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (15 · 3) = 45)
174173eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 45 = (15 · 3))
175164, 174eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 9) = (15 · 3))
176155, 130mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (⊤ → (15 · 3) ∈ ℂ)
17767a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178176, 152, 177, 159divmuld 11960 . . . . . . . 8 (⊤ → (((15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (15 · 3)))
179175, 178mpbird 257 . . . . . . 7 (⊤ → ((15 · 3) / 5) = 9)
180160, 179eqtr2d 2778 . . . . . 6 (⊤ → 9 = (15 / (5 / 3)))
181151, 154, 1803brtr3d 5141 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3)))
18220, 44reexpcld 14075 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
18318, 157elrpd 12961 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184183, 146rpdivcld 12981 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185182, 26, 184lemuldivd 13013 . . . . 5 (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3))))
186181, 185mpbird 257 . . . 4 (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15)
18746, 186eqbrtrd 5132 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ 15)
18817, 21, 26, 38, 187letrd 11319 . 2 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ 15)
189188mptru 1549 1 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cle 11197   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cz 12506  cdc 12625  +crp 12922  cexp 13974   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40562
  Copyright terms: Public domain W3C validator