Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq5 40068
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq5 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5
StepHypRef Expression
1 2re 12047 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12076 . . . . . 6 0 < 2
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 2)
5 3re 12053 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7 3pos 12078 . . . . . 6 0 < 3
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 3)
9 1red 10976 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10 1lt2 12144 . . . . . . . 8 1 < 2
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 < 2)
129, 11ltned 11111 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 2)
1312necomd 2999 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 1)
142, 4, 6, 8, 13relogbcld 39981 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15 5nn0 12253 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . 4 (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
1714, 16reexpcld 13881 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
1816nn0red 12294 . . . . 5 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
198gt0ne0d 11539 . . . . 5 (⊤ → 3 ≠ 0)
2018, 6, 19redivcld 11803 . . . 4 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
2120, 16reexpcld 13881 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22 1nn0 12249 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
23 5nn 12059 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
2422, 23decnncl 12457 . . . . 5 15 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 (⊤ → 15 ∈ ℕ)
2625nnred 11988 . . 3 (⊤ → 15 ∈ ℝ)
27 0red 10978 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
286rehalfcld 12220 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
296, 2, 8, 4divgt0d 11910 . . . . . 6 (⊤ → 0 < (3 / 2))
30 3lexlogpow2ineq1 40066 . . . . . . . 8 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
3130simpli 484 . . . . . . 7 (3 / 2) < (2 logb 3)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
3327, 28, 14, 29, 32lttrd 11136 . . . . 5 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
3427, 14, 33ltled 11123 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
3530simpri 486 . . . . . 6 (2 logb 3) < (5 / 3)
3635a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
3714, 20, 36ltled 11123 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
3814, 20, 16, 34, 37leexp1ad 39980 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39 df-5 12039 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
4039a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 = (4 + 1))
4140oveq2d 7291 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
4220recnd 11003 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43 4nn0 12252 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
4542, 44expp1d 13865 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
4641, 45eqtrd 2778 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47 6nn0 12254 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
48 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
4947, 48deccl 12452 . . . . . . . . . . 11 62 ∈ ℕ0
50 7nn0 12255 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ0
5150, 48deccl 12452 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
52 9nn0 12257 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
53 9re 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55 5lt9 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 5 < 9
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 5 < 9)
5718, 54, 56ltled 11123 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 5 ≤ 9)
5857mptru 1546 . . . . . . . . . . 11 5 ≤ 9
59 2lt10 12575 . . . . . . . . . . . 12 2 < 10
60 6lt7 12159 . . . . . . . . . . . 12 6 < 7
6147, 50, 48, 48, 59, 60decltc 12466 . . . . . . . . . . 11 62 < 72
6249, 51, 15, 52, 58, 61decleh 12472 . . . . . . . . . 10 625 ≤ 729
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 625 ≤ 729)
64 8nn0 12256 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
65 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 81 = 81
66 0nn0 12248 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
67 9cn 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
68 8cn 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℂ
69 9t8e72 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 8) = 72
7067, 68, 69mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 9) = 72
71 2cn 12048 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
7271addid1i 11162 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 0) = 2
7350, 48, 66, 70, 72decaddi 12497 . . . . . . . . . . . 12 ((8 · 9) + 0) = 72
74 ax-1cn 10929 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7567mulid1i 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 1) = 9
7652dec0h 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 = 09
7776eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 09 = 9
7875, 77eqtr4i 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 1) = 09
7967, 74, 78mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 09
8052, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79decmul1c 12502 . . . . . . . . . . 11 (81 · 9) = 729
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (81 · 9) = 729)
8281eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 729 = (81 · 9))
8363, 82breqtrd 5100 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 ≤ (81 · 9))
84 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 4 = 4
85 2p2e4 12108 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtr4i 2769 . . . . . . . . . . . 12 4 = (2 + 2)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 4 = (2 + 2))
8887oveq2d 7291 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
8923nncni 11983 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
9290, 91, 91expaddd 13866 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
9389sqvali 13897 . . . . . . . . . . . . 13 (5↑2) = (5 · 5)
94 5t5e25 12540 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 5) = 25
9593, 94eqtri 2766 . . . . . . . . . . . 12 (5↑2) = 25
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (5↑2) = 25)
9796, 96oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (25 · 25))
9888, 92, 973eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5↑4) = (25 · 25))
9948, 15deccl 12452 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ0
100 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 25 = 25
10122, 48deccl 12452 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
10248dec0h 12459 . . . . . . . . . . . 12 2 = 02
103 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 12 = 12
10499nn0cni 12245 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℂ
105104mul02i 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 25) = 0
106 5p1e6 12120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 + 1) = 6
10789, 74, 106addcomli 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 5) = 6
108105, 107oveq12i 7287 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 · 25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109 6cn 12064 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
110109addid2i 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 6) = 6
111108, 110eqtri 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 25) + (1 + 5)) = 6
112 2t2e4 12137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
113 0p1e1 12095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
114112, 113oveq12i 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115 4p1e5 12119 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 1) = 5
116114, 115eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117 5t2e10 12537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 2) = 10
11889, 71, 117mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 5) = 10
11971addid2i 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
12022, 66, 48, 118, 119decaddi 12497 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 5) + 2) = 12
12148, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120decma2c 12490 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 25) + 2) = 52
12266, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121decmac 12489 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 25) + 12) = 62
12322, 66, 48, 117, 119decaddi 12497 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 2) + 2) = 12
12415, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94decmul2c 12503 . . . . . . . . . . 11 (5 · 25) = 125
12599, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124decmul1c 12502 . . . . . . . . . 10 (25 · 25) = 625
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (25 · 25) = 625)
12798, 126eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 = (5↑4))
12887oveq2d 7291 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129 3cn 12054 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131130, 91, 91expaddd 13866 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132129sqvali 13897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3↑2) = (3 · 3)
133 3t3e9 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
134132, 133eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (3↑2) = 9
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (3↑2) = 9)
136135, 135oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137 9t9e81 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (9 · 9) = 81)
139136, 138eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = 81)
140128, 131, 1393eqtrd 2782 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (3↑4) = 81)
141140eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 81 = (3↑4))
142141oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (⊤ → (81 · 9) = ((3↑4) · 9))
14383, 127, 1423brtr3d 5105 . . . . . . 7 (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
14418, 44reexpcld 13881 . . . . . . . 8 (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145 3rp 12736 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
146145a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147 4z 12354 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
148147a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149146, 148rpexpcld 13962 . . . . . . . 8 (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150144, 54, 149ledivmuld 12825 . . . . . . 7 (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151143, 150mpbird 256 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
15218recnd 11003 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153152, 130, 19, 44expdivd 13878 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154153eqcomd 2744 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
15526recnd 11003 . . . . . . . 8 (⊤ → 15 ∈ ℂ)
15623nngt0i 12012 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 5)
15827, 157ltned 11111 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 5)
159158necomd 2999 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ≠ 0)
160155, 152, 130, 159, 19divdiv2d 11783 . . . . . . 7 (⊤ → (15 / (5 / 3)) = ((15 · 3) / 5))
161 5cn 12061 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
162 9t5e45 12562 . . . . . . . . . . 11 (9 · 5) = 45
16367, 161, 162mulcomli 10984 . . . . . . . . . 10 (5 · 9) = 45
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5 · 9) = 45)
165 3nn0 12251 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
166 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
167129mulid2i 10980 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 3) = 3
168167oveq1i 7285 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169 3p1e4 12118 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
170168, 169eqtri 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + 1) = 4
171 5t3e15 12538 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 3) = 15
172165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171decmul1c 12502 . . . . . . . . . . 11 (15 · 3) = 45
173172a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (15 · 3) = 45)
174173eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (⊤ → 45 = (15 · 3))
175164, 174eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 9) = (15 · 3))
176155, 130mulcld 10995 . . . . . . . . 9 (⊤ → (15 · 3) ∈ ℂ)
17767a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178176, 152, 177, 159divmuld 11773 . . . . . . . 8 (⊤ → (((15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (15 · 3)))
179175, 178mpbird 256 . . . . . . 7 (⊤ → ((15 · 3) / 5) = 9)
180160, 179eqtr2d 2779 . . . . . 6 (⊤ → 9 = (15 / (5 / 3)))
181151, 154, 1803brtr3d 5105 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3)))
18220, 44reexpcld 13881 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
18318, 157elrpd 12769 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184183, 146rpdivcld 12789 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185182, 26, 184lemuldivd 12821 . . . . 5 (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3))))
186181, 185mpbird 256 . . . 4 (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15)
18746, 186eqbrtrd 5096 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ 15)
18817, 21, 26, 38, 187letrd 11132 . 2 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ 15)
189188mptru 1546 1 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  0cn0 12233  cz 12319  cdc 12437  +crp 12730  cexp 13782   logb clogb 25914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40084
  Copyright terms: Public domain W3C validator