Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow5ineq5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow5ineq5 42061
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow5ineq5 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5
StepHypRef Expression
1 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12369 . . . . . 6 0 < 2
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 2)
5 3re 12346 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7 3pos 12371 . . . . . 6 0 < 3
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 < 3)
9 1red 11262 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10 1lt2 12437 . . . . . . . 8 1 < 2
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 < 2)
129, 11ltned 11397 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 2)
1312necomd 2996 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 1)
142, 4, 6, 8, 13relogbcld 41974 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . 4 (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
1714, 16reexpcld 14203 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
1816nn0red 12588 . . . . 5 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
198gt0ne0d 11827 . . . . 5 (⊤ → 3 ≠ 0)
2018, 6, 19redivcld 12095 . . . 4 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
2120, 16reexpcld 14203 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
23 5nn 12352 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
2422, 23decnncl 12753 . . . . 5 15 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 (⊤ → 15 ∈ ℕ)
2625nnred 12281 . . 3 (⊤ → 15 ∈ ℝ)
27 0red 11264 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
286rehalfcld 12513 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
296, 2, 8, 4divgt0d 12203 . . . . . 6 (⊤ → 0 < (3 / 2))
30 3lexlogpow2ineq1 42059 . . . . . . . 8 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
3130simpli 483 . . . . . . 7 (3 / 2) < (2 logb 3)
3231a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
3327, 28, 14, 29, 32lttrd 11422 . . . . 5 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
3427, 14, 33ltled 11409 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
3530simpri 485 . . . . . 6 (2 logb 3) < (5 / 3)
3635a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
3714, 20, 36ltled 11409 . . . 4 (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
3814, 20, 16, 34, 37leexp1ad 41973 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39 df-5 12332 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
4039a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 = (4 + 1))
4140oveq2d 7447 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
4220recnd 11289 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43 4nn0 12545 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
4542, 44expp1d 14187 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
4641, 45eqtrd 2777 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47 6nn0 12547 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
48 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
4947, 48deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 62 ∈ ℕ0
50 7nn0 12548 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ0
5150, 48deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
52 9nn0 12550 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
53 9re 12365 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55 5lt9 12468 . . . . . . . . . . . . . 14 5 < 9
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 5 < 9)
5718, 54, 56ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 5 ≤ 9)
5857mptru 1547 . . . . . . . . . . 11 5 ≤ 9
59 2lt10 12871 . . . . . . . . . . . 12 2 < 10
60 6lt7 12452 . . . . . . . . . . . 12 6 < 7
6147, 50, 48, 48, 59, 60decltc 12762 . . . . . . . . . . 11 62 < 72
6249, 51, 15, 52, 58, 61decleh 12768 . . . . . . . . . 10 625 ≤ 729
6362a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 625 ≤ 729)
64 8nn0 12549 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 81 = 81
66 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
67 9cn 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
68 8cn 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℂ
69 9t8e72 12861 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 8) = 72
7067, 68, 69mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . . 13 (8 · 9) = 72
71 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
7271addridi 11448 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 0) = 2
7350, 48, 66, 70, 72decaddi 12793 . . . . . . . . . . . 12 ((8 · 9) + 0) = 72
74 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
7567mulridi 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 1) = 9
7652dec0h 12755 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 = 09
7776eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 09 = 9
7875, 77eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 1) = 09
7967, 74, 78mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 9) = 09
8052, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79decmul1c 12798 . . . . . . . . . . 11 (81 · 9) = 729
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (81 · 9) = 729)
8281eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 729 = (81 · 9))
8363, 82breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 ≤ (81 · 9))
84 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 4 = 4
85 2p2e4 12401 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 4 = (2 + 2)
8786a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 4 = (2 + 2))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
8923nncni 12276 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
9290, 91, 91expaddd 14188 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
9389sqvali 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (5↑2) = (5 · 5)
94 5t5e25 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 5) = 25
9593, 94eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (5↑2) = 25
9695a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (5↑2) = 25)
9796, 96oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (25 · 25))
9888, 92, 973eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5↑4) = (25 · 25))
9948, 15deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ0
100 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 25 = 25
10122, 48deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
10248dec0h 12755 . . . . . . . . . . . 12 2 = 02
103 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 12 = 12
10499nn0cni 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℂ
105104mul02i 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 25) = 0
106 5p1e6 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 + 1) = 6
10789, 74, 106addcomli 11453 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 5) = 6
108105, 107oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 · 25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109 6cn 12357 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
110109addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 6) = 6
111108, 110eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 25) + (1 + 5)) = 6
112 2t2e4 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 2) = 4
113 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
114112, 113oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115 4p1e5 12412 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 1) = 5
116114, 115eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117 5t2e10 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 2) = 10
11889, 71, 117mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 5) = 10
11971addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
12022, 66, 48, 118, 119decaddi 12793 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 5) + 2) = 12
12148, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120decma2c 12786 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 25) + 2) = 52
12266, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121decmac 12785 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 25) + 12) = 62
12322, 66, 48, 117, 119decaddi 12793 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 2) + 2) = 12
12415, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94decmul2c 12799 . . . . . . . . . . 11 (5 · 25) = 125
12599, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124decmul1c 12798 . . . . . . . . . 10 (25 · 25) = 625
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (25 · 25) = 625)
12798, 126eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (⊤ → 625 = (5↑4))
12887oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129 3cn 12347 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131130, 91, 91expaddd 14188 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132129sqvali 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3↑2) = (3 · 3)
133 3t3e9 12433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
134132, 133eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (3↑2) = 9
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (3↑2) = 9)
136135, 135oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137 9t9e81 12862 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (9 · 9) = 81)
139136, 138eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = 81)
140128, 131, 1393eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (3↑4) = 81)
141140eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 81 = (3↑4))
142141oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (⊤ → (81 · 9) = ((3↑4) · 9))
14383, 127, 1423brtr3d 5174 . . . . . . 7 (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
14418, 44reexpcld 14203 . . . . . . . 8 (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145 3rp 13040 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
146145a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147 4z 12651 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
148147a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149146, 148rpexpcld 14286 . . . . . . . 8 (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150144, 54, 149ledivmuld 13130 . . . . . . 7 (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151143, 150mpbird 257 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
15218recnd 11289 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153152, 130, 19, 44expdivd 14200 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154153eqcomd 2743 . . . . . 6 (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
15526recnd 11289 . . . . . . . 8 (⊤ → 15 ∈ ℂ)
15623nngt0i 12305 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 5)
15827, 157ltned 11397 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 5)
159158necomd 2996 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ≠ 0)
160155, 152, 130, 159, 19divdiv2d 12075 . . . . . . 7 (⊤ → (15 / (5 / 3)) = ((15 · 3) / 5))
161 5cn 12354 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
162 9t5e45 12858 . . . . . . . . . . 11 (9 · 5) = 45
16367, 161, 162mulcomli 11270 . . . . . . . . . 10 (5 · 9) = 45
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (5 · 9) = 45)
165 3nn0 12544 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
166 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
167129mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 3) = 3
168167oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169 3p1e4 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
170168, 169eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + 1) = 4
171 5t3e15 12834 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 3) = 15
172165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171decmul1c 12798 . . . . . . . . . . 11 (15 · 3) = 45
173172a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (15 · 3) = 45)
174173eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (⊤ → 45 = (15 · 3))
175164, 174eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 9) = (15 · 3))
176155, 130mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (⊤ → (15 · 3) ∈ ℂ)
17767a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178176, 152, 177, 159divmuld 12065 . . . . . . . 8 (⊤ → (((15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (15 · 3)))
179175, 178mpbird 257 . . . . . . 7 (⊤ → ((15 · 3) / 5) = 9)
180160, 179eqtr2d 2778 . . . . . 6 (⊤ → 9 = (15 / (5 / 3)))
181151, 154, 1803brtr3d 5174 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3)))
18220, 44reexpcld 14203 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
18318, 157elrpd 13074 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184183, 146rpdivcld 13094 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185182, 26, 184lemuldivd 13126 . . . . 5 (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (15 / (5 / 3))))
186181, 185mpbird 257 . . . 4 (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ 15)
18746, 186eqbrtrd 5165 . . 3 (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ 15)
18817, 21, 26, 38, 187letrd 11418 . 2 (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ 15)
189188mptru 1547 1 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  +crp 13034  cexp 14102   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42077
  Copyright terms: Public domain W3C validator