Theorem 3lexlogpow5ineq5 42048

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq5	⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12260	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12289	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
5		3re 12266	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
7		3pos 12291	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
9		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10		1lt2 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
12	9, 11	ltned 11310	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
13	12	necomd 2980	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
14	2, 4, 6, 8, 13	relogbcld 41961	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
15		5nn0 12462	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ0)
17	14, 16	reexpcld 14128	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
18	16	nn0red 12504	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
19	8	gt0ne0d 11742	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
20	18, 6, 19	redivcld 12010	. . . 4 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
21	20, 16	reexpcld 14128	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ∈ ℝ)
22		1nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		5nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
24	22, 23	decnncl 12669	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12201	. . 3 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℝ)
27		0red 11177	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
28	6	rehalfcld 12429	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
29	6, 2, 8, 4	divgt0d 12118	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
30		3lexlogpow2ineq1 42046	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
31	30	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ (3 / 2) < (2 logb 3)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
33	27, 28, 14, 29, 32	lttrd 11335	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
34	27, 14, 33	ltled 11322	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ≤ (2 logb 3))
35	30	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ (2 logb 3) < (5 / 3)
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
37	14, 20, 36	ltled 11322	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ≤ (5 / 3))
38	14, 20, 16, 34, 37	leexp1ad 14141	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ((5 / 3)↑5))
39		df-5 12252	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 = (4 + 1))
41	40	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = ((5 / 3)↑(4 + 1)))
42	20	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
43		4nn0 12461	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℕ0)
45	42, 44	expp1d 14112	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑(4 + 1)) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
46	41, 45	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) = (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)))
47		6nn0 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
49	47, 48	deccl 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
50		7nn0 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51	50, 48	deccl 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
52		9nn0 12466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53		9re 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
55		5lt9 12383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 < 9
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → 5 < 9)
57	18, 54, 56	ltled 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 5 ≤ 9)
58	57	mptru 1547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ≤ 9
59		2lt10 12787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < ;10
60		6lt7 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < 7
61	47, 50, 48, 48, 59, 60	decltc 12678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;62 < ;72
62	49, 51, 15, 52, 58, 61	decleh 12684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;625 ≤ ;;729
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ ;;729)
64		8nn0 12465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
65		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;81 = ;81
66		0nn0 12457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
67		9cn 12286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℂ
68		8cn 12283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℂ
69		9t8e72 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 8) = ;72
70	67, 68, 69	mulcomli 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 9) = ;72
71		2cn 12261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	addridi 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 0) = 2
73	50, 48, 66, 70, 72	decaddi 12709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((8 · 9) + 0) = ;72
74		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
75	67	mulridi 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
76	52	dec0h 12671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
77	76	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;09 = 9
78	75, 77	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 1) = ;09
79	67, 74, 78	mulcomli 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 9) = ;09
80	52, 64, 22, 65, 52, 66, 73, 79	decmul1c 12714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;81 · 9) = ;;729
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ;;729)
82	81	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;;729 = (;81 · 9))
83	63, 82	breqtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 ≤ (;81 · 9))
84		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = 4
85		2p2e4 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (2 + 2)
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 4 = (2 + 2))
88	87	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (5↑(2 + 2)))
89	23	nncni 12196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
91	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
92	90, 91, 91	expaddd 14113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (5↑(2 + 2)) = ((5↑2) · (5↑2)))
93	89	sqvali 14145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
94		5t5e25 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 5) = ;25
95	93, 94	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5↑2) = ;25
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (5↑2) = ;25)
97	96, 96	oveq12d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((5↑2) · (5↑2)) = (;25 · ;25))
98	88, 92, 97	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5↑4) = (;25 · ;25))
99	48, 15	deccl 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
100		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 = ;25
101	22, 48	deccl 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
102	48	dec0h 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = ;02
103		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 = ;12
104	99	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℂ
105	104	mul02i 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · ;25) = 0
106		5p1e6 12328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
107	89, 74, 106	addcomli 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 5) = 6
108	105, 107	oveq12i 7399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = (0 + 6)
109		6cn 12277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
110	109	addlidi 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 6) = 6
111	108, 110	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · ;25) + (1 + 5)) = 6
112		2t2e4 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
113		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
114	112, 113	oveq12i 7399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
115		4p1e5 12327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 1) = 5
116	114, 115	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
117		5t2e10 12749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 2) = ;10
118	89, 71, 117	mulcomli 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 5) = ;10
119	71	addlidi 11362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
120	22, 66, 48, 118, 119	decaddi 12709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
121	48, 15, 66, 48, 100, 102, 48, 48, 22, 116, 120	decma2c 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · ;25) + 2) = ;52
122	66, 48, 22, 48, 102, 103, 99, 48, 15, 111, 121	decmac 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · ;25) + ;12) = ;62
123	22, 66, 48, 117, 119	decaddi 12709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 2) = ;12
124	15, 48, 15, 100, 15, 48, 123, 94	decmul2c 12715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · ;25) = ;;125
125	99, 48, 15, 100, 15, 101, 122, 124	decmul1c 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;25 · ;25) = ;;625
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;25 · ;25) = ;;625)
127	98, 126	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;;625 = (5↑4))
128	87	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑4) = (3↑(2 + 2)))
129		3cn 12267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
131	130, 91, 91	expaddd 14113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
132	129	sqvali 14145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = (3 · 3)
133		3t3e9 12348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 3) = 9
134	132, 133	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3↑2) = 9
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (3↑2) = 9)
136	135, 135	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9))
137		9t9e81 12778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (9 · 9) = ;81)
139	136, 138	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((3↑2) · (3↑2)) = ;81)
140	128, 131, 139	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (3↑4) = ;81)
141	140	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;81 = (3↑4))
142	141	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (;81 · 9) = ((3↑4) · 9))
143	83, 127, 142	3brtr3d 5138	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9))
144	18, 44	reexpcld 14128	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5↑4) ∈ ℝ)
145		3rp 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
147		4z 12567	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℤ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℤ)
149	146, 148	rpexpcld 14212	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3↑4) ∈ ℝ+)
150	144, 54, 149	ledivmuld 13048	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9 ↔ (5↑4) ≤ ((3↑4) · 9)))
151	143, 150	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) ≤ 9)
152	18	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
153	152, 130, 19, 44	expdivd 14125	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) = ((5↑4) / (3↑4)))
154	153	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5↑4) / (3↑4)) = ((5 / 3)↑4))
155	26	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;15 ∈ ℂ)
156	23	nngt0i 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 5
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 5)
158	27, 157	ltned 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 5)
159	158	necomd 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ≠ 0)
160	155, 152, 130, 159, 19	divdiv2d 11990	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;15 / (5 / 3)) = ((;15 · 3) / 5))
161		5cn 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
162		9t5e45 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 5) = ;45
163	67, 161, 162	mulcomli 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 9) = ;45
164	163	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = ;45)
165		3nn0 12460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
166		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
167	129	mullidi 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 3) = 3
168	167	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
169		3p1e4 12326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
170	168, 169	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 3) + 1) = 4
171		5t3e15 12750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 3) = ;15
172	165, 22, 15, 166, 15, 22, 170, 171	decmul1c 12714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;15 · 3) = ;45
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) = ;45)
174	173	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;45 = (;15 · 3))
175	164, 174	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 9) = (;15 · 3))
176	155, 130	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (;15 · 3) ∈ ℂ)
177	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℂ)
178	176, 152, 177, 159	divmuld 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (((;15 · 3) / 5) = 9 ↔ (5 · 9) = (;15 · 3)))
179	175, 178	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((;15 · 3) / 5) = 9)
180	160, 179	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 9 = (;15 / (5 / 3)))
181	151, 154, 180	3brtr3d 5138	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3)))
182	20, 44	reexpcld 14128	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑4) ∈ ℝ)
183	18, 157	elrpd 12992	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
184	183, 146	rpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
185	182, 26, 184	lemuldivd 13044	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15 ↔ ((5 / 3)↑4) ≤ (;15 / (5 / 3))))
186	181, 185	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((5 / 3)↑4) · (5 / 3)) ≤ ;15)
187	46, 186	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑5) ≤ ;15)
188	17, 21, 26, 38, 187	letrd 11331	. 2 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
189	188	mptru 1547	1 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ;cdc 12649  ℝ⁺crp 12951  ↑cexp 14026   log_b clogb 26674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42064