Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2exp340mod341 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp340mod341 43400
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2exp340mod341 ((2↑340) mod 341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341
StepHypRef Expression
1 3nn0 11763 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2 4nn0 11764 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11962 . . . 4 34 ∈ ℕ0
4 1nn 11497 . . . 4 1 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11967 . . 3 341 ∈ ℕ
6 2nn 11558 . . 3 2 ∈ ℕ
7 1nn0 11761 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
8 7nn0 11767 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11962 . . . 4 17 ∈ ℕ0
10 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11962 . . 3 170 ∈ ℕ0
12 0z 11840 . . 3 0 ∈ ℤ
13 8nn0 11768 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
14 5nn0 11765 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11962 . . . 4 85 ∈ ℕ0
16 3z 11864 . . . 4 3 ∈ ℤ
17 2nn0 11762 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
181, 17deccl 11962 . . . 4 32 ∈ ℕ0
1913, 2deccl 11962 . . . . 5 84 ∈ ℕ0
20 6nn0 11766 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11962 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
222, 17deccl 11962 . . . . . 6 42 ∈ ℕ0
2317, 7deccl 11962 . . . . . . 7 21 ∈ ℕ0
2417, 10deccl 11962 . . . . . . . 8 20 ∈ ℕ0
257, 10deccl 11962 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
26 2exp5 43257 . . . . . . . . . . 11 (2↑5) = 32
2726oveq1i 7026 . . . . . . . . . 10 ((2↑5) mod 341) = (32 mod 341)
28 5cn 11573 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
29 2cn 11560 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
30 5t2e10 12048 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
3128, 29, 30mulcomli 10496 . . . . . . . . . 10 (2 · 5) = 10
3225, 17deccl 11962 . . . . . . . . . . . 12 102 ∈ ℕ0
33 3p1e4 11630 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 1) = 4
34 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 1023 = 1023
3532, 1, 33, 34decsuc 11978 . . . . . . . . . . 11 (1023 + 1) = 1024
361, 3, 7decmulnc 12015 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 341) = (3 · 34)(3 · 1)
37 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 34 = 34
38 3t3e9 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 · 3) = 9
3938oveq1i 7026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40 9p1e10 11949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 + 1) = 10
4139, 40eqtri 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 3) + 1) = 10
42 4cn 11570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℂ
43 3cn 11566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
44 4t3e12 12046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 3) = 12
4542, 43, 44mulcomli 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 4) = 12
461, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45decmul2c 12014 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 34) = 102
4743mulid1i 10491 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
4846, 47deceq12i 11956 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 34)(3 · 1) = 1023
4936, 48eqtri 2819 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 341) = 1023
5049oveq1i 7026 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 341) + 1) = (1023 + 1)
51 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 32 = 32
521, 1, 17decmulnc 12015 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 32) = (3 · 3)(3 · 2)
5352oveq1i 7026 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 32) + 6) = ((3 · 3)(3 · 2) + 6)
54 9nn0 11769 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
55 3t2e6 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
5638, 55deceq12i 11956 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3)(3 · 2) = 96
57 6p6e12 12022 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 6) = 12
5854, 20, 20, 56, 40, 17, 57decaddci 12008 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3)(3 · 2) + 6) = 102
5953, 58eqtri 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 32) + 6) = 102
6017, 1, 17decmulnc 12015 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 32) = (2 · 3)(2 · 2)
6143, 29, 55mulcomli 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = 6
62 2t2e4 11649 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
6361, 62deceq12i 11956 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3)(2 · 2) = 64
6460, 63eqtri 2819 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 32) = 64
6518, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64decmul1c 12013 . . . . . . . . . . 11 (32 · 32) = 1024
6635, 50, 653eqtr4i 2829 . . . . . . . . . 10 ((3 · 341) + 1) = (32 · 32)
675, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66mod2xi 16234 . . . . . . . . 9 ((2↑10) mod 341) = (1 mod 341)
6817, 7, 10decmulnc 12015 . . . . . . . . . 10 (2 · 10) = (2 · 1)(2 · 0)
6929mulid1i 10491 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
70 2t0e0 11654 . . . . . . . . . . 11 (2 · 0) = 0
7169, 70deceq12i 11956 . . . . . . . . . 10 (2 · 1)(2 · 0) = 20
7268, 71eqtri 2819 . . . . . . . . 9 (2 · 10) = 20
73 0p1e1 11607 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
745nncni 11496 . . . . . . . . . . . 12 341 ∈ ℂ
7574mul02i 10676 . . . . . . . . . . 11 (0 · 341) = 0
7675oveq1i 7026 . . . . . . . . . 10 ((0 · 341) + 1) = (0 + 1)
77 1t1e1 11647 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
7873, 76, 773eqtr4i 2829 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 1) = (1 · 1)
795, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78mod2xi 16234 . . . . . . . 8 ((2↑20) mod 341) = (1 mod 341)
80 eqid 2795 . . . . . . . . 9 20 = 20
8117, 10, 73, 80decsuc 11978 . . . . . . . 8 (20 + 1) = 21
8229addid2i 10675 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8375oveq1i 7026 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 2) = (0 + 2)
8429mulid2i 10492 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
8582, 83, 843eqtr4i 2829 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 2) = (1 · 2)
865, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85modxp1i 16235 . . . . . . 7 ((2↑21) mod 341) = (2 mod 341)
8717, 17, 7decmulnc 12015 . . . . . . . 8 (2 · 21) = (2 · 2)(2 · 1)
8862, 69deceq12i 11956 . . . . . . . 8 (2 · 2)(2 · 1) = 42
8987, 88eqtri 2819 . . . . . . 7 (2 · 21) = 42
9042addid2i 10675 . . . . . . . 8 (0 + 4) = 4
9175oveq1i 7026 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 4) = (0 + 4)
9290, 91, 623eqtr4i 2829 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 4) = (2 · 2)
935, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92mod2xi 16234 . . . . . 6 ((2↑42) mod 341) = (4 mod 341)
9417, 2, 17decmulnc 12015 . . . . . . 7 (2 · 42) = (2 · 4)(2 · 2)
95 4t2e8 11653 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9642, 29, 95mulcomli 10496 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9796, 62deceq12i 11956 . . . . . . 7 (2 · 4)(2 · 2) = 84
9894, 97eqtri 2819 . . . . . 6 (2 · 42) = 84
9921nn0cni 11757 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
10099addid2i 10675 . . . . . . 7 (0 + 16) = 16
10175oveq1i 7026 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 16) = (0 + 16)
102 4t4e16 12047 . . . . . . 7 (4 · 4) = 16
103100, 101, 1023eqtr4i 2829 . . . . . 6 ((0 · 341) + 16) = (4 · 4)
1045, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 98, 103mod2xi 16234 . . . . 5 ((2↑84) mod 341) = (16 mod 341)
105 4p1e5 11631 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
106 eqid 2795 . . . . . 6 84 = 84
10713, 2, 105, 106decsuc 11978 . . . . 5 (84 + 1) = 85
10818nn0cni 11757 . . . . . . 7 32 ∈ ℂ
109108addid2i 10675 . . . . . 6 (0 + 32) = 32
11075oveq1i 7026 . . . . . 6 ((0 · 341) + 32) = (0 + 32)
111 eqid 2795 . . . . . . 7 16 = 16
11284oveq1i 7026 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
113 2p1e3 11627 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
114112, 113eqtri 2819 . . . . . . 7 ((1 · 2) + 1) = 3
115 6t2e12 12052 . . . . . . 7 (6 · 2) = 12
11617, 7, 20, 111, 17, 7, 114, 115decmul1c 12013 . . . . . 6 (16 · 2) = 32
117109, 110, 1163eqtr4i 2829 . . . . 5 ((0 · 341) + 32) = (16 · 2)
1185, 6, 19, 12, 21, 18, 104, 107, 117modxp1i 16235 . . . 4 ((2↑85) mod 341) = (32 mod 341)
119 eqid 2795 . . . . 5 85 = 85
120 6p1e7 11633 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
121 8cn 11582 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
122 8t2e16 12063 . . . . . . 7 (8 · 2) = 16
123121, 29, 122mulcomli 10496 . . . . . 6 (2 · 8) = 16
1247, 20, 120, 123decsuc 11978 . . . . 5 ((2 · 8) + 1) = 17
12517, 13, 14, 119, 10, 7, 124, 31decmul2c 12014 . . . 4 (2 · 85) = 170
1265, 6, 15, 16, 18, 7, 118, 125, 66mod2xi 16234 . . 3 ((2↑170) mod 341) = (1 mod 341)
12717, 9, 10decmulnc 12015 . . . 4 (2 · 170) = (2 · 17)(2 · 0)
128 eqid 2795 . . . . . 6 17 = 17
12969oveq1i 7026 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
130129, 113eqtri 2819 . . . . . 6 ((2 · 1) + 1) = 3
131 7cn 11579 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
132 7t2e14 12057 . . . . . . 7 (7 · 2) = 14
133131, 29, 132mulcomli 10496 . . . . . 6 (2 · 7) = 14
13417, 7, 8, 128, 2, 7, 130, 133decmul2c 12014 . . . . 5 (2 · 17) = 34
135134, 70deceq12i 11956 . . . 4 (2 · 17)(2 · 0) = 340
136127, 135eqtri 2819 . . 3 (2 · 170) = 340
1375, 6, 11, 12, 7, 7, 126, 136, 78mod2xi 16234 . 2 ((2↑340) mod 341) = (1 mod 341)
138 1re 10487 . . 3 1 ∈ ℝ
139 nnrp 12250 . . . 4 (341 ∈ ℕ → 341 ∈ ℝ+)
1405, 139ax-mp 5 . . 3 341 ∈ ℝ+
141 0le1 11011 . . 3 0 ≤ 1
142 4nn 11568 . . . . 5 4 ∈ ℕ
1431, 142decnncl 11967 . . . 4 34 ∈ ℕ
144 9re 11584 . . . . 5 9 ∈ ℝ
145 1lt9 11691 . . . . 5 1 < 9
146138, 144, 145ltleii 10610 . . . 4 1 ≤ 9
147143, 7, 7, 146decltdi 11986 . . 3 1 < 341
148 modid 13114 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 341)) → (1 mod 341) = 1)
149138, 140, 141, 147, 148mp4an 689 . 2 (1 mod 341) = 1
150137, 149eqtri 2819 1 ((2↑340) mod 341) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  +crp 12239   mod cmo 13087  cexp 13279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280
This theorem is referenced by:  341fppr2  43401
  Copyright terms: Public domain W3C validator