Theorem 2exp340mod341 49104

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2exp340mod341	⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12664	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		4nn0 12665	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
4		1nn 12386	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
6		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		7nn0 12668	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
10		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;;170 ∈ ℕ0
12		0z 12744	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		8nn0 12669	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14		5nn0 12666	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;85 ∈ ℕ0
16		3z 12769	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
17		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	1, 17	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
19	13, 2	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
20		6nn0 12667	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
22	2, 17	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
23	17, 7	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
24	17, 10	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
25	7, 10	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
26		2exp5 17307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑5) = ;32
27	26	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑5) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
28		5cn 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
29		2cn 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		5t2e10 12959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 2) = ;10
31	28, 29, 30	mulcomli 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 5) = ;10
32	25, 17	deccl 12869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;102 ∈ ℕ0
33		3p1e4 12527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 + 1) = 4
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;1023 = ;;;1023
35	32, 1, 33, 34	decsuc 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;1023 + 1) = ;;;1024
36	1, 3, 7	decmulnc 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · ;;341) = ;(3 · ;34)(3 · 1)
37		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;34 = ;34
38		3t3e9 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · 3) = 9
39	38	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40		9p1e10 12856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	39, 40	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
42		4cn 12468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℂ
43		3cn 12464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		4t3e12 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 · 3) = ;12
45	42, 43, 44	mulcomli 11357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 4) = ;12
46	1, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45	decmul2c 12925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;34) = ;;102
47	43	mulridi 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
48	46, 47	deceq12i 12863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(3 · ;34)(3 · 1) = ;;;1023
49	36, 48	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · ;;341) = ;;;1023
50	49	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;;;1023 + 1)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;32 = ;32
52	1, 1, 17	decmulnc 12926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;32) = ;(3 · 3)(3 · 2)
53	52	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = (;(3 · 3)(3 · 2) + 6)
54		9nn0 12670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55		3t2e6 12548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 2) = 6
56	38, 55	deceq12i 12863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;(3 · 3)(3 · 2) = ;96
57		6p6e12 12933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 6) = ;12
58	54, 20, 20, 56, 40, 17, 57	decaddci 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;(3 · 3)(3 · 2) + 6) = ;;102
59	53, 58	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = ;;102
60	17, 1, 17	decmulnc 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · ;32) = ;(2 · 3)(2 · 2)
61		2t3e6 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = 6
62		2t2e4 12546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
63	61, 62	deceq12i 12863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(2 · 3)(2 · 2) = ;64
64	60, 63	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ;32) = ;64
65	18, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64	decmul1c 12924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 · ;32) = ;;;1024
66	35, 50, 65	3eqtr4i 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;32 · ;32)
67	5, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66	mod2xi 17291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑;10) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
68	17, 7, 10	decmulnc 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · ;10) = ;(2 · 1)(2 · 0)
69	29	mulridi 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
70		2t0e0 12553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 0) = 0
71	69, 70	deceq12i 12863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;(2 · 1)(2 · 0) = ;20
72	68, 71	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ;10) = ;20
73		0p1e1 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
74	5	nncni 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;341 ∈ ℂ
75	74	mul02i 11538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · ;;341) = 0
76	75	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (0 + 1)
77		1t1e1 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
78	73, 76, 77	3eqtr4i 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (1 · 1)
79	5, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78	mod2xi 17291	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑;20) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
80		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;20 = ;20
81	17, 10, 73, 80	decsuc 12890	. . . . . . . 8 ⊢ (;20 + 1) = ;21
82	29	addlidi 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
83	75	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (0 + 2)
84	29	mullidi 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
85	82, 83, 84	3eqtr4i 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (1 · 2)
86	5, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85	modxp1i 17292	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑;21) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
87	17, 17, 7	decmulnc 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ;21) = ;(2 · 2)(2 · 1)
88	62, 69	deceq12i 12863	. . . . . . . 8 ⊢ ;(2 · 2)(2 · 1) = ;42
89	87, 88	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;21) = ;42
90	42	addlidi 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 4) = 4
91	75	oveq1i 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (0 + 4)
92	90, 91, 62	3eqtr4i 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (2 · 2)
93	5, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92	mod2xi 17291	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;42) mod ;;341) = (4 mod ;;341)
94	17, 2, 17	decmulnc 12926	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;42) = ;(2 · 4)(2 · 2)
95		2t4e8 12552	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
96	95, 62	deceq12i 12863	. . . . . . 7 ⊢ ;(2 · 4)(2 · 2) = ;84
97	94, 96	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
98	21	nn0cni 12658	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℂ
99	98	addlidi 11537	. . . . . . 7 ⊢ (0 + ;16) = ;16
100	75	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (0 + ;16)
101		4t4e16 12958	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 4) = ;16
102	99, 100, 101	3eqtr4i 2796	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (4 · 4)
103	5, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 97, 102	mod2xi 17291	. . . . 5 ⊢ ((2↑;84) mod ;;341) = (;16 mod ;;341)
104		4p1e5 12528	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
105		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;84 = ;84
106	13, 2, 104, 105	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ (;84 + 1) = ;85
107	18	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℂ
108	107	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;32) = ;32
109	75	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (0 + ;32)
110		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
111	84	oveq1i 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
112		2p1e3 12524	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
113	111, 112	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 2) + 1) = 3
114		6t2e12 12963	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
115	17, 7, 20, 110, 17, 7, 113, 114	decmul1c 12924	. . . . . 6 ⊢ (;16 · 2) = ;32
116	108, 109, 115	3eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (;16 · 2)
117	5, 6, 19, 12, 21, 18, 103, 106, 116	modxp1i 17292	. . . 4 ⊢ ((2↑;85) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
118		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;85 = ;85
119		6p1e7 12530	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
120		8cn 12480	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
121		8t2e16 12974	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 2) = ;16
122	120, 29, 121	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (2 · 8) = ;16
123	7, 20, 119, 122	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ ((2 · 8) + 1) = ;17
124	17, 13, 14, 118, 10, 7, 123, 31	decmul2c 12925	. . . 4 ⊢ (2 · ;85) = ;;170
125	5, 6, 15, 16, 18, 7, 117, 124, 66	mod2xi 17291	. . 3 ⊢ ((2↑;;170) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
126	17, 9, 10	decmulnc 12926	. . . 4 ⊢ (2 · ;;170) = ;(2 · ;17)(2 · 0)
127		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
128	69	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
129	128, 112	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
130		7cn 12477	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
131		7t2e14 12968	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
132	130, 29, 131	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
133	17, 7, 8, 127, 2, 7, 129, 132	decmul2c 12925	. . . . 5 ⊢ (2 · ;17) = ;34
134	133, 70	deceq12i 12863	. . . 4 ⊢ ;(2 · ;17)(2 · 0) = ;;340
135	126, 134	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (2 · ;;170) = ;;340
136	5, 6, 11, 12, 7, 7, 125, 135, 78	mod2xi 17291	. 2 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
137		1re 11347	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
138		nnrp 13172	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℕ → ;;341 ∈ ℝ+)
139	5, 138	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℝ+
140		0le1 11879	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
141		4nn 12466	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
142	1, 141	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
143		9re 12482	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
144		1lt9 12591	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
145	137, 143, 144	ltleii 11472	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 9
146	142, 7, 7, 145	decltdi 12898	. . 3 ⊢ 1 < ;;341
147		modid 14076	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ ;;341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;;341)) → (1 mod ;;341) = 1)
148	137, 139, 140, 146, 147	mp4an 706	. 2 ⊢ (1 mod ;;341) = 1
149	136, 148	eqtri 2786	1 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℝ⁺crp 13160   mod cmo 14049  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  341fppr2  49105