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Theorem 2exp340mod341 47658
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2exp340mod341 ((2↑340) mod 341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341
StepHypRef Expression
1 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2 4nn0 12543 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12746 . . . 4 34 ∈ ℕ0
4 1nn 12275 . . . 4 1 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12751 . . 3 341 ∈ ℕ
6 2nn 12337 . . 3 2 ∈ ℕ
7 1nn0 12540 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
8 7nn0 12546 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12746 . . . 4 17 ∈ ℕ0
10 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12746 . . 3 170 ∈ ℕ0
12 0z 12622 . . 3 0 ∈ ℤ
13 8nn0 12547 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
14 5nn0 12544 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12746 . . . 4 85 ∈ ℕ0
16 3z 12648 . . . 4 3 ∈ ℤ
17 2nn0 12541 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
181, 17deccl 12746 . . . 4 32 ∈ ℕ0
1913, 2deccl 12746 . . . . 5 84 ∈ ℕ0
20 6nn0 12545 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 12746 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
222, 17deccl 12746 . . . . . 6 42 ∈ ℕ0
2317, 7deccl 12746 . . . . . . 7 21 ∈ ℕ0
2417, 10deccl 12746 . . . . . . . 8 20 ∈ ℕ0
257, 10deccl 12746 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
26 2exp5 17120 . . . . . . . . . . 11 (2↑5) = 32
2726oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((2↑5) mod 341) = (32 mod 341)
28 5cn 12352 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
29 2cn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
30 5t2e10 12831 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
3128, 29, 30mulcomli 11268 . . . . . . . . . 10 (2 · 5) = 10
3225, 17deccl 12746 . . . . . . . . . . . 12 102 ∈ ℕ0
33 3p1e4 12409 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 1) = 4
34 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 1023 = 1023
3532, 1, 33, 34decsuc 12762 . . . . . . . . . . 11 (1023 + 1) = 1024
361, 3, 7decmulnc 12798 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 341) = (3 · 34)(3 · 1)
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 34 = 34
38 3t3e9 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 · 3) = 9
3938oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40 9p1e10 12733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 + 1) = 10
4139, 40eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 3) + 1) = 10
42 4cn 12349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℂ
43 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
44 4t3e12 12829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 3) = 12
4542, 43, 44mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 4) = 12
461, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45decmul2c 12797 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 34) = 102
4743mulridi 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
4846, 47deceq12i 12740 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 34)(3 · 1) = 1023
4936, 48eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 341) = 1023
5049oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 341) + 1) = (1023 + 1)
51 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 32 = 32
521, 1, 17decmulnc 12798 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 32) = (3 · 3)(3 · 2)
5352oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 32) + 6) = ((3 · 3)(3 · 2) + 6)
54 9nn0 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
55 3t2e6 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
5638, 55deceq12i 12740 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3)(3 · 2) = 96
57 6p6e12 12805 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 6) = 12
5854, 20, 20, 56, 40, 17, 57decaddci 12792 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3)(3 · 2) + 6) = 102
5953, 58eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 32) + 6) = 102
6017, 1, 17decmulnc 12798 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 32) = (2 · 3)(2 · 2)
6143, 29, 55mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = 6
62 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
6361, 62deceq12i 12740 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3)(2 · 2) = 64
6460, 63eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 32) = 64
6518, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64decmul1c 12796 . . . . . . . . . . 11 (32 · 32) = 1024
6635, 50, 653eqtr4i 2773 . . . . . . . . . 10 ((3 · 341) + 1) = (32 · 32)
675, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66mod2xi 17103 . . . . . . . . 9 ((2↑10) mod 341) = (1 mod 341)
6817, 7, 10decmulnc 12798 . . . . . . . . . 10 (2 · 10) = (2 · 1)(2 · 0)
6929mulridi 11263 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
70 2t0e0 12433 . . . . . . . . . . 11 (2 · 0) = 0
7169, 70deceq12i 12740 . . . . . . . . . 10 (2 · 1)(2 · 0) = 20
7268, 71eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (2 · 10) = 20
73 0p1e1 12386 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
745nncni 12274 . . . . . . . . . . . 12 341 ∈ ℂ
7574mul02i 11448 . . . . . . . . . . 11 (0 · 341) = 0
7675oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((0 · 341) + 1) = (0 + 1)
77 1t1e1 12426 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
7873, 76, 773eqtr4i 2773 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 1) = (1 · 1)
795, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78mod2xi 17103 . . . . . . . 8 ((2↑20) mod 341) = (1 mod 341)
80 eqid 2735 . . . . . . . . 9 20 = 20
8117, 10, 73, 80decsuc 12762 . . . . . . . 8 (20 + 1) = 21
8229addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8375oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 2) = (0 + 2)
8429mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
8582, 83, 843eqtr4i 2773 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 2) = (1 · 2)
865, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85modxp1i 17104 . . . . . . 7 ((2↑21) mod 341) = (2 mod 341)
8717, 17, 7decmulnc 12798 . . . . . . . 8 (2 · 21) = (2 · 2)(2 · 1)
8862, 69deceq12i 12740 . . . . . . . 8 (2 · 2)(2 · 1) = 42
8987, 88eqtri 2763 . . . . . . 7 (2 · 21) = 42
9042addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 4) = 4
9175oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 4) = (0 + 4)
9290, 91, 623eqtr4i 2773 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 4) = (2 · 2)
935, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92mod2xi 17103 . . . . . 6 ((2↑42) mod 341) = (4 mod 341)
9417, 2, 17decmulnc 12798 . . . . . . 7 (2 · 42) = (2 · 4)(2 · 2)
95 4t2e8 12432 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9642, 29, 95mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9796, 62deceq12i 12740 . . . . . . 7 (2 · 4)(2 · 2) = 84
9894, 97eqtri 2763 . . . . . 6 (2 · 42) = 84
9921nn0cni 12536 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
10099addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 16) = 16
10175oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 16) = (0 + 16)
102 4t4e16 12830 . . . . . . 7 (4 · 4) = 16
103100, 101, 1023eqtr4i 2773 . . . . . 6 ((0 · 341) + 16) = (4 · 4)
1045, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 98, 103mod2xi 17103 . . . . 5 ((2↑84) mod 341) = (16 mod 341)
105 4p1e5 12410 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
106 eqid 2735 . . . . . 6 84 = 84
10713, 2, 105, 106decsuc 12762 . . . . 5 (84 + 1) = 85
10818nn0cni 12536 . . . . . . 7 32 ∈ ℂ
109108addlidi 11447 . . . . . 6 (0 + 32) = 32
11075oveq1i 7441 . . . . . 6 ((0 · 341) + 32) = (0 + 32)
111 eqid 2735 . . . . . . 7 16 = 16
11284oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
113 2p1e3 12406 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
114112, 113eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 2) + 1) = 3
115 6t2e12 12835 . . . . . . 7 (6 · 2) = 12
11617, 7, 20, 111, 17, 7, 114, 115decmul1c 12796 . . . . . 6 (16 · 2) = 32
117109, 110, 1163eqtr4i 2773 . . . . 5 ((0 · 341) + 32) = (16 · 2)
1185, 6, 19, 12, 21, 18, 104, 107, 117modxp1i 17104 . . . 4 ((2↑85) mod 341) = (32 mod 341)
119 eqid 2735 . . . . 5 85 = 85
120 6p1e7 12412 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
121 8cn 12361 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
122 8t2e16 12846 . . . . . . 7 (8 · 2) = 16
123121, 29, 122mulcomli 11268 . . . . . 6 (2 · 8) = 16
1247, 20, 120, 123decsuc 12762 . . . . 5 ((2 · 8) + 1) = 17
12517, 13, 14, 119, 10, 7, 124, 31decmul2c 12797 . . . 4 (2 · 85) = 170
1265, 6, 15, 16, 18, 7, 118, 125, 66mod2xi 17103 . . 3 ((2↑170) mod 341) = (1 mod 341)
12717, 9, 10decmulnc 12798 . . . 4 (2 · 170) = (2 · 17)(2 · 0)
128 eqid 2735 . . . . . 6 17 = 17
12969oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
130129, 113eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 1) + 1) = 3
131 7cn 12358 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
132 7t2e14 12840 . . . . . . 7 (7 · 2) = 14
133131, 29, 132mulcomli 11268 . . . . . 6 (2 · 7) = 14
13417, 7, 8, 128, 2, 7, 130, 133decmul2c 12797 . . . . 5 (2 · 17) = 34
135134, 70deceq12i 12740 . . . 4 (2 · 17)(2 · 0) = 340
136127, 135eqtri 2763 . . 3 (2 · 170) = 340
1375, 6, 11, 12, 7, 7, 126, 136, 78mod2xi 17103 . 2 ((2↑340) mod 341) = (1 mod 341)
138 1re 11259 . . 3 1 ∈ ℝ
139 nnrp 13044 . . . 4 (341 ∈ ℕ → 341 ∈ ℝ+)
1405, 139ax-mp 5 . . 3 341 ∈ ℝ+
141 0le1 11784 . . 3 0 ≤ 1
142 4nn 12347 . . . . 5 4 ∈ ℕ
1431, 142decnncl 12751 . . . 4 34 ∈ ℕ
144 9re 12363 . . . . 5 9 ∈ ℝ
145 1lt9 12470 . . . . 5 1 < 9
146138, 144, 145ltleii 11382 . . . 4 1 ≤ 9
147143, 7, 7, 146decltdi 12770 . . 3 1 < 341
148 modid 13933 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 341)) → (1 mod 341) = 1)
149138, 140, 141, 147, 148mp4an 693 . 2 (1 mod 341) = 1
150137, 149eqtri 2763 1 ((2↑340) mod 341) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  cdc 12731  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  341fppr2  47659
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