Theorem 2exp340mod341 47738

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2exp340mod341	⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12467	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		4nn0 12468	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
4		1nn 12204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
6		2nn 12266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1nn0 12465	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		7nn0 12471	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
10		0nn0 12464	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;;170 ∈ ℕ0
12		0z 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		8nn0 12472	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;85 ∈ ℕ0
16		3z 12573	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
17		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	1, 17	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
19	13, 2	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
20		6nn0 12470	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
22	2, 17	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
23	17, 7	deccl 12671	. . . . . . 7 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
24	17, 10	deccl 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
25	7, 10	deccl 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
26		2exp5 17063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑5) = ;32
27	26	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑5) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
28		5cn 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
29		2cn 12268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		5t2e10 12756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 2) = ;10
31	28, 29, 30	mulcomli 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 5) = ;10
32	25, 17	deccl 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;102 ∈ ℕ0
33		3p1e4 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 + 1) = 4
34		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;1023 = ;;;1023
35	32, 1, 33, 34	decsuc 12687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;1023 + 1) = ;;;1024
36	1, 3, 7	decmulnc 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · ;;341) = ;(3 · ;34)(3 · 1)
37		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;34 = ;34
38		3t3e9 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · 3) = 9
39	38	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40		9p1e10 12658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	39, 40	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
42		4cn 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℂ
43		3cn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		4t3e12 12754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 · 3) = ;12
45	42, 43, 44	mulcomli 11190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 4) = ;12
46	1, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45	decmul2c 12722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;34) = ;;102
47	43	mulridi 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
48	46, 47	deceq12i 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(3 · ;34)(3 · 1) = ;;;1023
49	36, 48	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · ;;341) = ;;;1023
50	49	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;;;1023 + 1)
51		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;32 = ;32
52	1, 1, 17	decmulnc 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;32) = ;(3 · 3)(3 · 2)
53	52	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = (;(3 · 3)(3 · 2) + 6)
54		9nn0 12473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55		3t2e6 12354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 2) = 6
56	38, 55	deceq12i 12665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;(3 · 3)(3 · 2) = ;96
57		6p6e12 12730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 6) = ;12
58	54, 20, 20, 56, 40, 17, 57	decaddci 12717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;(3 · 3)(3 · 2) + 6) = ;;102
59	53, 58	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = ;;102
60	17, 1, 17	decmulnc 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · ;32) = ;(2 · 3)(2 · 2)
61	43, 29, 55	mulcomli 11190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = 6
62		2t2e4 12352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
63	61, 62	deceq12i 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(2 · 3)(2 · 2) = ;64
64	60, 63	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ;32) = ;64
65	18, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64	decmul1c 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 · ;32) = ;;;1024
66	35, 50, 65	3eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;32 · ;32)
67	5, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66	mod2xi 17047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑;10) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
68	17, 7, 10	decmulnc 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · ;10) = ;(2 · 1)(2 · 0)
69	29	mulridi 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
70		2t0e0 12357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 0) = 0
71	69, 70	deceq12i 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;(2 · 1)(2 · 0) = ;20
72	68, 71	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ;10) = ;20
73		0p1e1 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
74	5	nncni 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;341 ∈ ℂ
75	74	mul02i 11370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · ;;341) = 0
76	75	oveq1i 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (0 + 1)
77		1t1e1 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
78	73, 76, 77	3eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (1 · 1)
79	5, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78	mod2xi 17047	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑;20) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
80		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;20 = ;20
81	17, 10, 73, 80	decsuc 12687	. . . . . . . 8 ⊢ (;20 + 1) = ;21
82	29	addlidi 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
83	75	oveq1i 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (0 + 2)
84	29	mullidi 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
85	82, 83, 84	3eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (1 · 2)
86	5, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85	modxp1i 17048	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑;21) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
87	17, 17, 7	decmulnc 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ;21) = ;(2 · 2)(2 · 1)
88	62, 69	deceq12i 12665	. . . . . . . 8 ⊢ ;(2 · 2)(2 · 1) = ;42
89	87, 88	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;21) = ;42
90	42	addlidi 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 4) = 4
91	75	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (0 + 4)
92	90, 91, 62	3eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (2 · 2)
93	5, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92	mod2xi 17047	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;42) mod ;;341) = (4 mod ;;341)
94	17, 2, 17	decmulnc 12723	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;42) = ;(2 · 4)(2 · 2)
95		4t2e8 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
96	42, 29, 95	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
97	96, 62	deceq12i 12665	. . . . . . 7 ⊢ ;(2 · 4)(2 · 2) = ;84
98	94, 97	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
99	21	nn0cni 12461	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℂ
100	99	addlidi 11369	. . . . . . 7 ⊢ (0 + ;16) = ;16
101	75	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (0 + ;16)
102		4t4e16 12755	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 4) = ;16
103	100, 101, 102	3eqtr4i 2763	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (4 · 4)
104	5, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 98, 103	mod2xi 17047	. . . . 5 ⊢ ((2↑;84) mod ;;341) = (;16 mod ;;341)
105		4p1e5 12334	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
106		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;84 = ;84
107	13, 2, 105, 106	decsuc 12687	. . . . 5 ⊢ (;84 + 1) = ;85
108	18	nn0cni 12461	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℂ
109	108	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;32) = ;32
110	75	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (0 + ;32)
111		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
112	84	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
113		2p1e3 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
114	112, 113	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 2) + 1) = 3
115		6t2e12 12760	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
116	17, 7, 20, 111, 17, 7, 114, 115	decmul1c 12721	. . . . . 6 ⊢ (;16 · 2) = ;32
117	109, 110, 116	3eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (;16 · 2)
118	5, 6, 19, 12, 21, 18, 104, 107, 117	modxp1i 17048	. . . 4 ⊢ ((2↑;85) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
119		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;85 = ;85
120		6p1e7 12336	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
121		8cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
122		8t2e16 12771	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 2) = ;16
123	121, 29, 122	mulcomli 11190	. . . . . 6 ⊢ (2 · 8) = ;16
124	7, 20, 120, 123	decsuc 12687	. . . . 5 ⊢ ((2 · 8) + 1) = ;17
125	17, 13, 14, 119, 10, 7, 124, 31	decmul2c 12722	. . . 4 ⊢ (2 · ;85) = ;;170
126	5, 6, 15, 16, 18, 7, 118, 125, 66	mod2xi 17047	. . 3 ⊢ ((2↑;;170) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
127	17, 9, 10	decmulnc 12723	. . . 4 ⊢ (2 · ;;170) = ;(2 · ;17)(2 · 0)
128		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
129	69	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
130	129, 113	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
131		7cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
132		7t2e14 12765	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
133	131, 29, 132	mulcomli 11190	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
134	17, 7, 8, 128, 2, 7, 130, 133	decmul2c 12722	. . . . 5 ⊢ (2 · ;17) = ;34
135	134, 70	deceq12i 12665	. . . 4 ⊢ ;(2 · ;17)(2 · 0) = ;;340
136	127, 135	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (2 · ;;170) = ;;340
137	5, 6, 11, 12, 7, 7, 126, 136, 78	mod2xi 17047	. 2 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
138		1re 11181	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
139		nnrp 12970	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℕ → ;;341 ∈ ℝ+)
140	5, 139	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℝ+
141		0le1 11708	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
142		4nn 12276	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
143	1, 142	decnncl 12676	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
144		9re 12292	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
145		1lt9 12394	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
146	138, 144, 145	ltleii 11304	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 9
147	143, 7, 7, 146	decltdi 12695	. . 3 ⊢ 1 < ;;341
148		modid 13865	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ ;;341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;;341)) → (1 mod ;;341) = 1)
149	138, 140, 141, 147, 148	mp4an 693	. 2 ⊢ (1 mod ;;341) = 1
150	137, 149	eqtri 2753	1 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  341fppr2  47739