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Theorem 2exp340mod341 47341
Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2exp340mod341 ((2↑340) mod 341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341
StepHypRef Expression
1 3nn0 12536 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2 4nn0 12537 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12738 . . . 4 34 ∈ ℕ0
4 1nn 12269 . . . 4 1 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12743 . . 3 341 ∈ ℕ
6 2nn 12331 . . 3 2 ∈ ℕ
7 1nn0 12534 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
8 7nn0 12540 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12738 . . . 4 17 ∈ ℕ0
10 0nn0 12533 . . . 4 0 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12738 . . 3 170 ∈ ℕ0
12 0z 12615 . . 3 0 ∈ ℤ
13 8nn0 12541 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
14 5nn0 12538 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12738 . . . 4 85 ∈ ℕ0
16 3z 12641 . . . 4 3 ∈ ℤ
17 2nn0 12535 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
181, 17deccl 12738 . . . 4 32 ∈ ℕ0
1913, 2deccl 12738 . . . . 5 84 ∈ ℕ0
20 6nn0 12539 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 12738 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
222, 17deccl 12738 . . . . . 6 42 ∈ ℕ0
2317, 7deccl 12738 . . . . . . 7 21 ∈ ℕ0
2417, 10deccl 12738 . . . . . . . 8 20 ∈ ℕ0
257, 10deccl 12738 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℕ0
26 2exp5 17083 . . . . . . . . . . 11 (2↑5) = 32
2726oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 ((2↑5) mod 341) = (32 mod 341)
28 5cn 12346 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
29 2cn 12333 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
30 5t2e10 12823 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
3128, 29, 30mulcomli 11264 . . . . . . . . . 10 (2 · 5) = 10
3225, 17deccl 12738 . . . . . . . . . . . 12 102 ∈ ℕ0
33 3p1e4 12403 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 1) = 4
34 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 1023 = 1023
3532, 1, 33, 34decsuc 12754 . . . . . . . . . . 11 (1023 + 1) = 1024
361, 3, 7decmulnc 12790 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 341) = (3 · 34)(3 · 1)
37 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 34 = 34
38 3t3e9 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 · 3) = 9
3938oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40 9p1e10 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 + 1) = 10
4139, 40eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 3) + 1) = 10
42 4cn 12343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℂ
43 3cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
44 4t3e12 12821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 3) = 12
4542, 43, 44mulcomli 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 4) = 12
461, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45decmul2c 12789 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 34) = 102
4743mulridi 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 1) = 3
4846, 47deceq12i 12732 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 34)(3 · 1) = 1023
4936, 48eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 341) = 1023
5049oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 341) + 1) = (1023 + 1)
51 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 32 = 32
521, 1, 17decmulnc 12790 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 32) = (3 · 3)(3 · 2)
5352oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 32) + 6) = ((3 · 3)(3 · 2) + 6)
54 9nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
55 3t2e6 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
5638, 55deceq12i 12732 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 3)(3 · 2) = 96
57 6p6e12 12797 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 6) = 12
5854, 20, 20, 56, 40, 17, 57decaddci 12784 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 3)(3 · 2) + 6) = 102
5953, 58eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 32) + 6) = 102
6017, 1, 17decmulnc 12790 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 32) = (2 · 3)(2 · 2)
6143, 29, 55mulcomli 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = 6
62 2t2e4 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
6361, 62deceq12i 12732 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3)(2 · 2) = 64
6460, 63eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 32) = 64
6518, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64decmul1c 12788 . . . . . . . . . . 11 (32 · 32) = 1024
6635, 50, 653eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 ((3 · 341) + 1) = (32 · 32)
675, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66mod2xi 17066 . . . . . . . . 9 ((2↑10) mod 341) = (1 mod 341)
6817, 7, 10decmulnc 12790 . . . . . . . . . 10 (2 · 10) = (2 · 1)(2 · 0)
6929mulridi 11259 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
70 2t0e0 12427 . . . . . . . . . . 11 (2 · 0) = 0
7169, 70deceq12i 12732 . . . . . . . . . 10 (2 · 1)(2 · 0) = 20
7268, 71eqtri 2754 . . . . . . . . 9 (2 · 10) = 20
73 0p1e1 12380 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
745nncni 12268 . . . . . . . . . . . 12 341 ∈ ℂ
7574mul02i 11444 . . . . . . . . . . 11 (0 · 341) = 0
7675oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 ((0 · 341) + 1) = (0 + 1)
77 1t1e1 12420 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
7873, 76, 773eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 1) = (1 · 1)
795, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78mod2xi 17066 . . . . . . . 8 ((2↑20) mod 341) = (1 mod 341)
80 eqid 2726 . . . . . . . . 9 20 = 20
8117, 10, 73, 80decsuc 12754 . . . . . . . 8 (20 + 1) = 21
8229addlidi 11443 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8375oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 ((0 · 341) + 2) = (0 + 2)
8429mullidi 11260 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
8582, 83, 843eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 2) = (1 · 2)
865, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85modxp1i 17067 . . . . . . 7 ((2↑21) mod 341) = (2 mod 341)
8717, 17, 7decmulnc 12790 . . . . . . . 8 (2 · 21) = (2 · 2)(2 · 1)
8862, 69deceq12i 12732 . . . . . . . 8 (2 · 2)(2 · 1) = 42
8987, 88eqtri 2754 . . . . . . 7 (2 · 21) = 42
9042addlidi 11443 . . . . . . . 8 (0 + 4) = 4
9175oveq1i 7426 . . . . . . . 8 ((0 · 341) + 4) = (0 + 4)
9290, 91, 623eqtr4i 2764 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 4) = (2 · 2)
935, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92mod2xi 17066 . . . . . 6 ((2↑42) mod 341) = (4 mod 341)
9417, 2, 17decmulnc 12790 . . . . . . 7 (2 · 42) = (2 · 4)(2 · 2)
95 4t2e8 12426 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9642, 29, 95mulcomli 11264 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9796, 62deceq12i 12732 . . . . . . 7 (2 · 4)(2 · 2) = 84
9894, 97eqtri 2754 . . . . . 6 (2 · 42) = 84
9921nn0cni 12530 . . . . . . . 8 16 ∈ ℂ
10099addlidi 11443 . . . . . . 7 (0 + 16) = 16
10175oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((0 · 341) + 16) = (0 + 16)
102 4t4e16 12822 . . . . . . 7 (4 · 4) = 16
103100, 101, 1023eqtr4i 2764 . . . . . 6 ((0 · 341) + 16) = (4 · 4)
1045, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 98, 103mod2xi 17066 . . . . 5 ((2↑84) mod 341) = (16 mod 341)
105 4p1e5 12404 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
106 eqid 2726 . . . . . 6 84 = 84
10713, 2, 105, 106decsuc 12754 . . . . 5 (84 + 1) = 85
10818nn0cni 12530 . . . . . . 7 32 ∈ ℂ
109108addlidi 11443 . . . . . 6 (0 + 32) = 32
11075oveq1i 7426 . . . . . 6 ((0 · 341) + 32) = (0 + 32)
111 eqid 2726 . . . . . . 7 16 = 16
11284oveq1i 7426 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
113 2p1e3 12400 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
114112, 113eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 2) + 1) = 3
115 6t2e12 12827 . . . . . . 7 (6 · 2) = 12
11617, 7, 20, 111, 17, 7, 114, 115decmul1c 12788 . . . . . 6 (16 · 2) = 32
117109, 110, 1163eqtr4i 2764 . . . . 5 ((0 · 341) + 32) = (16 · 2)
1185, 6, 19, 12, 21, 18, 104, 107, 117modxp1i 17067 . . . 4 ((2↑85) mod 341) = (32 mod 341)
119 eqid 2726 . . . . 5 85 = 85
120 6p1e7 12406 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
121 8cn 12355 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
122 8t2e16 12838 . . . . . . 7 (8 · 2) = 16
123121, 29, 122mulcomli 11264 . . . . . 6 (2 · 8) = 16
1247, 20, 120, 123decsuc 12754 . . . . 5 ((2 · 8) + 1) = 17
12517, 13, 14, 119, 10, 7, 124, 31decmul2c 12789 . . . 4 (2 · 85) = 170
1265, 6, 15, 16, 18, 7, 118, 125, 66mod2xi 17066 . . 3 ((2↑170) mod 341) = (1 mod 341)
12717, 9, 10decmulnc 12790 . . . 4 (2 · 170) = (2 · 17)(2 · 0)
128 eqid 2726 . . . . . 6 17 = 17
12969oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
130129, 113eqtri 2754 . . . . . 6 ((2 · 1) + 1) = 3
131 7cn 12352 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
132 7t2e14 12832 . . . . . . 7 (7 · 2) = 14
133131, 29, 132mulcomli 11264 . . . . . 6 (2 · 7) = 14
13417, 7, 8, 128, 2, 7, 130, 133decmul2c 12789 . . . . 5 (2 · 17) = 34
135134, 70deceq12i 12732 . . . 4 (2 · 17)(2 · 0) = 340
136127, 135eqtri 2754 . . 3 (2 · 170) = 340
1375, 6, 11, 12, 7, 7, 126, 136, 78mod2xi 17066 . 2 ((2↑340) mod 341) = (1 mod 341)
138 1re 11255 . . 3 1 ∈ ℝ
139 nnrp 13033 . . . 4 (341 ∈ ℕ → 341 ∈ ℝ+)
1405, 139ax-mp 5 . . 3 341 ∈ ℝ+
141 0le1 11778 . . 3 0 ≤ 1
142 4nn 12341 . . . . 5 4 ∈ ℕ
1431, 142decnncl 12743 . . . 4 34 ∈ ℕ
144 9re 12357 . . . . 5 9 ∈ ℝ
145 1lt9 12464 . . . . 5 1 < 9
146138, 144, 145ltleii 11378 . . . 4 1 ≤ 9
147143, 7, 7, 146decltdi 12762 . . 3 1 < 341
148 modid 13910 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 341)) → (1 mod 341) = 1)
149138, 140, 141, 147, 148mp4an 691 . 2 (1 mod 341) = 1
150137, 149eqtri 2754 1 ((2↑340) mod 341) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   < clt 11289  cle 11290  cn 12258  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  7c7 12318  8c8 12319  9c9 12320  cdc 12723  +crp 13022   mod cmo 13883  cexp 14075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076
This theorem is referenced by:  341fppr2  47342
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