Theorem 9fppr8 48834

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12438	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12730	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12441	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12720	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12427	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12442	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12548	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11433	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12971	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12728	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12729	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12423	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11433	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12971	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16863	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3063	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2852	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 337	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12476	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48833	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48825	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 261	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  8c8 12403  9c9 12404  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965   mod cmo 14009  ↑cexp 14204  ℙcprime 16846   FPPr cfppr 48821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-prm 16847  df-fppr 48822

This theorem is used by: (None)