Theorem 9fppr8 47751

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12335	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12626	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12338	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12324	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12339	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12443	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11358	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12858	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12624	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12625	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12412	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11358	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16707	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3037	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2825	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12374	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 47750	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 47742	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 258	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   · cmul 11134   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  8c8 12301  9c9 12302  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   mod cmo 13886  ↑cexp 14079  ℙcprime 16690   FPPr cfppr 47738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691  df-fppr 47739

This theorem is referenced by: (None)