Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  9fppr8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9fppr8 46015
Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
9fppr8 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8
StepHypRef Expression
1 8nn 12253 . 2 8 ∈ ℕ
2 4z 12542 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 9nn 12256 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
43nnzi 12532 . . . . 5 9 ∈ ℤ
5 4re 12242 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
6 9re 12257 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
7 4lt9 12361 . . . . . 6 4 < 9
85, 6, 7ltleii 11283 . . . . 5 4 ≤ 9
9 eluz2 12774 . . . . 5 (9 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
102, 4, 8, 9mpbir3an 1342 . . . 4 9 ∈ (ℤ‘4)
11 2z 12540 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
12 3z 12541 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
13 2re 12232 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
14 3re 12238 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
15 2lt3 12330 . . . . . . . 8 2 < 3
1613, 14, 15ltleii 11283 . . . . . . 7 2 ≤ 3
17 eluz2 12774 . . . . . . 7 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
1811, 12, 16, 17mpbir3an 1342 . . . . . 6 3 ∈ (ℤ‘2)
19 nprm 16569 . . . . . 6 ((3 ∈ (ℤ‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
2018, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21 df-nel 3047 . . . . . 6 (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22 3t3e9 12325 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
2322eqcomi 2742 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
2423eleq1i 2825 . . . . . 6 (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
2521, 24xchbinx 334 . . . . 5 (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
2620, 25mpbir 230 . . . 4 9 ∉ ℙ
27 9m1e8 12292 . . . . . . 7 (9 − 1) = 8
2827oveq2i 7369 . . . . . 6 (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
2928oveq1i 7368 . . . . 5 ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30 8exp8mod9 46014 . . . . 5 ((8↑8) mod 9) = 1
3129, 30eqtri 2761 . . . 4 ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
3210, 26, 313pm3.2i 1340 . . 3 (9 ∈ (ℤ‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33 fpprel 46006 . . 3 (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
3432, 33mpbiri 258 . 2 (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
351, 34ax-mp 5 1 9 ∈ ( FPPr ‘8)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3046   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   · cmul 11061  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  8c8 12219  9c9 12220  cz 12504  cuz 12768   mod cmo 13780  cexp 13973  cprime 16552   FPPr cfppr 46002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553  df-fppr 46003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator