Theorem 9fppr8 48360

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12314	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12606	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12317	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12596	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12303	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12318	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12424	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11307	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12846	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1356	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12604	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12605	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12299	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12392	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11307	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12846	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1356	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16723	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3063	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2854	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 336	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12352	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7408	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7407	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48359	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1354	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48351	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 260	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  1c1 11075   · cmul 11079   ≤ cle 11218   − cmin 11415  ℕcn 12211  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  8c8 12279  9c9 12280  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840   mod cmo 13880  ↑cexp 14075  ℙcprime 16706   FPPr cfppr 48347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-prm 16707  df-fppr 48348

This theorem is referenced by: (None)