Theorem 9fppr8 48562

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12353	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12645	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12356	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12635	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12342	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12357	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12463	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11350	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12886	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12643	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12644	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11350	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12886	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16770	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3067	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2856	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 337	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12391	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7430	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48561	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48553	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 261	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11118   · cmul 11122   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℕcn 12250  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  8c8 12318  9c9 12319  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880   mod cmo 13922  ↑cexp 14117  ℙcprime 16753   FPPr cfppr 48549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-prm 16754  df-fppr 48550

This theorem is used by: (None)