Theorem 9fppr8 48425

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12336	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12628	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12618	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12325	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12340	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12446	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11333	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12868	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12626	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12627	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11333	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12868	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1358	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16746	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3071	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2860	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 337	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12374	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48424	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48416	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 261	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   · cmul 11105   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  8c8 12301  9c9 12302  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862   mod cmo 13902  ↑cexp 14097  ℙcprime 16729   FPPr cfppr 48412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-prm 16730  df-fppr 48413

This theorem is referenced by: (None)