Theorem 9fppr8 48236

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12268	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12553	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12271	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12543	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12257	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12272	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12371	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11261	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12786	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1348	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12551	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12552	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12253	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12786	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1348	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16649	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3039	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2830	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 335	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 232	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12302	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7367	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48235	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1346	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48227	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 259	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1c1 11031   · cmul 11035   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℕcn 12166  2c2 12228  3c3 12229  4c4 12230  8c8 12234  9c9 12235  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780   mod cmo 13820  ↑cexp 14015  ℙcprime 16632   FPPr cfppr 48223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16214  df-prm 16633  df-fppr 48224

This theorem is referenced by: (None)