Theorem 9fppr8 47925

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12238	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12523	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12513	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12227	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12242	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12341	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11254	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12755	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12521	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12522	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12217	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12223	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11254	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12755	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16613	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3035	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12305	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2825	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12272	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 47924	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 47916	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 258	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3034   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   · cmul 11029   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  8c8 12204  9c9 12205  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749   mod cmo 13787  ↑cexp 13982  ℙcprime 16596   FPPr cfppr 47912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-prm 16597  df-fppr 47913

This theorem is referenced by: (None)