Theorem 9fppr8 46175

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12289	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12578	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12292	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12568	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12278	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12293	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12397	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11319	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12810	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12576	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12577	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12810	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1341	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16607	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3046	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2823	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 333	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12328	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7404	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7403	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 46174	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1339	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 46166	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 257	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3045   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  1c1 11093   · cmul 11097   ≤ cle 11231   − cmin 11426  ℕcn 12194  2c2 12249  3c3 12250  4c4 12251  8c8 12255  9c9 12256  ℤcz 12540  ℤ_≥cuz 12804   mod cmo 13816  ↑cexp 14009  ℙcprime 16590   FPPr cfppr 46162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-prm 16591  df-fppr 46163

This theorem is referenced by: (None)