Theorem 9fppr8 47077

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12338	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12627	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12341	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12617	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12327	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12342	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12446	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11368	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12859	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12625	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12626	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12859	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1339	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16659	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3044	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2737	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2820	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12377	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 47076	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1337	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 47068	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 258	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3043   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   · cmul 11144   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℕcn 12243  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  8c8 12304  9c9 12305  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853   mod cmo 13867  ↑cexp 14059  ℙcprime 16642   FPPr cfppr 47064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643  df-fppr 47065

This theorem is referenced by: (None)