Theorem 9fppr8 48974

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12448	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12740	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12451	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12730	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12437	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12452	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12558	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11443	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12981	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12738	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12739	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12427	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11443	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12981	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16875	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3065	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2854	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 337	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12486	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7438	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7437	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 48973	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 48965	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 261	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3064   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1c1 11211   · cmul 11215   ≤ cle 11354   − cmin 11551  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  4c4 12409  8c8 12413  9c9 12414  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975   mod cmo 14019  ↑cexp 14214  ℙcprime 16858   FPPr cfppr 48961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-prm 16859  df-fppr 48962

This theorem is used by: (None)