Theorem 9fppr8 47847

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12220	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12506	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12496	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12209	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12224	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12323	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11236	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12738	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12504	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12505	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12199	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12205	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12292	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11236	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12738	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16599	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3033	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2822	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12254	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 47846	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 47838	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 258	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  8c8 12186  9c9 12187  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732   mod cmo 13773  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582   FPPr cfppr 47834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-fppr 47835

This theorem is referenced by: (None)