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Theorem log2tlbnd 25535
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 25534. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13340 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2 elfznn0 12999 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 2re 11703 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4 3nn 11708 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
5 2nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
6 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7 nn0mulcl 11925 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
11 nnmulcl 11653 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
124, 10, 11sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
13 9nn 11727 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ
14 nnexpcl 13442 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1513, 6, 14sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1612, 15nnmulcld 11682 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
17 nndivre 11670 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
183, 16, 17sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
1918recnd 10662 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
202, 19sylan2 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
211, 20fsumcl 15086 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
22 eqid 2801 . . . . 5 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
23 nn0z 11997 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
24 eluznn0 12309 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
2625oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
2726oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
28 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (9↑𝑘) = (9↑𝑛))
2927, 28oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) = ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
3029oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
31 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
32 ovex 7172 . . . . . . 7 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6749 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
3424, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
3524, 18syldan 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
3631log2cnv 25534 . . . . . . 7 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)
37 seqex 13370 . . . . . . . 8 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ V
38 fvex 6662 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ V
3937, 38breldm 5745 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
4036, 39mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
41 nn0uz 12272 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
4333adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
4443, 19eqeltrd 2893 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
4541, 42, 44iserex 15009 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ))
4640, 45mpbid 235 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
4722, 23, 34, 35, 46isumrecl 15116 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4847recnd 10662 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
49 0zd 11985 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
5036a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2))
5141, 49, 43, 19, 50isumclim 15108 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (log‘2))
5241, 22, 42, 43, 19, 40isumsplit 15191 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
5351, 52eqtr3d 2838 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘2) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
5421, 48, 53mvrladdd 11046 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
553a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
56 0le2 11731 . . . . . . 7 0 ≤ 2
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
5816nnred 11644 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
5916nngt0d 11678 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
60 divge0 11502 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6155, 57, 58, 59, 60syl22anc 837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6224, 61syldan 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6322, 23, 34, 35, 46, 62isumge0 15117 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
64 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 9)↑𝑘) = ((1 / 9)↑𝑛))
6564oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
66 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))
67 ovex 7172 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) ∈ V
6865, 66, 67fvmpt 6749 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
6968adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
70 9cn 11729 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ∈ ℂ)
7213nnne0i 11669 . . . . . . . . . . 11 9 ≠ 0
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ≠ 0)
74 nn0z 11997 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
7574adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
7671, 73, 75exprecd 13518 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) = (1 / (9↑𝑛)))
7776oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
78 nn0mulcl 11925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
795, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
80 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
82 nnmulcl 11653 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
834, 81, 82sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
84 nndivre 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
853, 83, 84sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
8685recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
8786adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
8815nncnd 11645 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℂ)
8915nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ≠ 0)
9087, 88, 89divrecd 11412 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
91 2cnd 11707 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
9283adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
9392nncnd 11645 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
9492nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≠ 0)
9591, 93, 88, 94, 89divdiv1d 11440 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9677, 90, 953eqtr2d 2842 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9769, 96eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9824, 97syldan 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9992, 15nnmulcld 11682 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
100 nndivre 11670 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
1013, 99, 100sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10224, 101syldan 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10379adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
104103nn0red 11948 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1055, 24, 7sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
106105nn0red 11948 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
107 1red 10635 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
108 eluzle 12248 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
109108adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑛)
110 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
111110adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11224nn0red 11948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
114 2pos 11732 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 2)
116 lemul2 11486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
117111, 112, 113, 115, 116syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
118109, 117mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛))
119104, 106, 107, 118leadd1dd 11247 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
12081adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
121120nnred 11644 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
12224, 10syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
123122nnred 11644 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
124 3re 11709 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 3 ∈ ℝ)
126 3pos 11734 . . . . . . . . . 10 0 < 3
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 3)
128 lemul2 11486 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
129121, 123, 125, 127, 128syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130119, 129mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
13183adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
132131nnred 11644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
13324, 12syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
134133nnred 11644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
13513, 24, 14sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
136135nnred 11644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℝ)
137135nngt0d 11678 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (9↑𝑛))
138 lemul1 11485 . . . . . . . 8 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((9↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (9↑𝑛))) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
139132, 134, 136, 137, 138syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
140130, 139mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
14124, 99syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
142141nnred 11644 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
143141nngt0d 11678 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))
14424, 58syldan 594 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
14524, 59syldan 594 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
146 lediv2 11523 . . . . . . 7 (((((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
147142, 143, 144, 145, 113, 115, 146syl222anc 1383 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
148140, 147mpbid 235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
149 9re 11728 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
150149, 72rereccli 11398 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) ∈ ℝ
151150recni 10648 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) ∈ ℂ
152151a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 / 9) ∈ ℂ)
153 0re 10636 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
154 9pos 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
155149, 154recgt0ii 11539 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
156153, 150, 155ltleii 10756 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 9)
157 absid 14652 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 9)) → (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9))
158150, 156, 157mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9)
159 1lt9 11835 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
160 recgt1i 11530 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 ∈ ℝ ∧ 1 < 9) → (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1))
161149, 159, 160mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1)
162161simpri 489 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
163158, 162eqbrtri 5054 . . . . . . . . . 10 (abs‘(1 / 9)) < 1
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(1 / 9)) < 1)
165 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))
166 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)↑𝑛) ∈ V
16764, 165, 166fvmpt 6749 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
16824, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
169152, 164, 42, 168geolim2 15223 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))))
17070a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ∈ ℂ)
17172a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ≠ 0)
172170, 171, 23exprecd 13518 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / 9)↑𝑁) = (1 / (9↑𝑁)))
17370, 72dividi 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
174173oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (1 − (1 / 9))
175 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
17670, 72pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
177 divsubdir 11327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9)))
17870, 175, 176, 177mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9))
179 9m1e8 11763 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 − 1) = 8
180179oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = (8 / 9)
181178, 180eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (8 / 9)
182174, 181eqtr3i 2826 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 9)) = (8 / 9)
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 − (1 / 9)) = (8 / 9))
184172, 183oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)))
185175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
186 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
18713, 186mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
188187nncnd 11645 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℂ)
189 8cn 11726 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
190189, 70, 72divcli 11375 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ∈ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ∈ ℂ)
192187nnne0d 11679 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ≠ 0)
193 8nn 11724 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
194193nnne0i 11669 . . . . . . . . . . . 12 8 ≠ 0
195189, 70, 194, 72divne0i 11381 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ≠ 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ≠ 0)
197185, 188, 191, 192, 196divdiv32d 11434 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)))
198 recdiv 11339 . . . . . . . . . . . 12 (((8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0) ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
199189, 194, 70, 72, 198mp4an 692 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
200199oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = ((9 / 8) / (9↑𝑁))
201189a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
202194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ≠ 0)
203170, 201, 188, 202, 192divdiv1d 11440 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((9 / 8) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
204200, 203syl5eq 2848 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
205184, 197, 2043eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
206169, 205breqtrd 5059 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (9 / (8 · (9↑𝑁))))
207 expcl 13447 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
208151, 24, 207sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
209168, 208eqeltrd 2893 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
21024, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
211168oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
212210, 211eqtr4d 2839 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)))
21322, 23, 86, 206, 209, 212isermulc2 15010 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
214 seqex 13370 . . . . . . 7 seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ V
215 ovex 7172 . . . . . . 7 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) ∈ V
216214, 215breldm 5745 . . . . . 6 (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
217213, 216syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
21822, 23, 34, 35, 98, 102, 148, 46, 217isumle 15195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
219102recnd 10662 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
220 3cn 11710 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
221 4cn 11714 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
222 2cn 11704 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
223 4ne0 11737 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
224 3ne0 11735 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
225 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
226220, 221, 222, 220, 223, 224, 225divdivdivi 11396 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 · 3) / (4 · 2))
227 3t3e9 11796 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 3) = 9
228 4t2e8 11797 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
229227, 228oveq12i 7151 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 3) / (4 · 2)) = (9 / 8)
230226, 229eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
231230oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) · (9 / 8))
232220, 221, 223divcli 11375 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) ∈ ℂ
233222, 220, 224divcli 11375 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ∈ ℂ
234222, 220, 225, 224divne0i 11381 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ≠ 0
235232, 233, 234divcan2i 11376 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
236231, 235eqtr3i 2826 . . . . . . . 8 ((2 / 3) · (9 / 8)) = (3 / 4)
237236oveq1i 7149 . . . . . . 7 (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))
238 2cnd 11707 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
239220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
24081nncnd 11645 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
241224a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
24281nnne0d 11679 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
243238, 239, 240, 241, 242divdiv1d 11440 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))))
244243, 203oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
245233a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / 3) ∈ ℂ)
24670, 189, 194divcli 11375 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) ∈ ℂ
247246a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9 / 8) ∈ ℂ)
248245, 240, 247, 188, 242, 192divmuldivd 11450 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
249244, 248eqtr3d 2838 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
250221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
251250, 240, 188mulassd 10657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
252251oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
25381, 187nnmulcld 11682 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
254253nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ)
255223a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
256253nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ≠ 0)
257239, 250, 254, 255, 256divdiv1d 11440 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
258252, 257eqtr4d 2839 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
259237, 249, 2583eqtr4a 2862 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
260213, 259breqtrd 5059 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
26122, 23, 98, 219, 260isumclim 15108 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
262218, 261breqtrd 5059 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
263 4nn 11712 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
264 nnmulcl 11653 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
265263, 81, 264sylancr 590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
266265, 187nnmulcld 11682 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
267 nndivre 11670 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
268124, 266, 267sylancr 590 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
269 elicc2 12794 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ) → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
270153, 268, 269sylancr 590 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
27147, 63, 262, 270mpbir3and 1339 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
27254, 271eqeltrd 2893 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  8c8 11690  9c9 11691  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  seqcseq 13368  cexp 13429  abscabs 14589  cli 14837  Σcsu 15038  logclog 25150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-ulm 24976  df-log 25152  df-atan 25457
This theorem is referenced by:  log2ub  25539
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