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Theorem log2tlbnd 25209
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 25208. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
2 elfznn0 12854 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 2re 11565 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
4 3nn 11570 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
5 2nn0 11768 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
6 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7 nn0mulcl 11787 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11790 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
11 nnmulcl 11515 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
124, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
13 9nn 11589 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ
14 nnexpcl 13296 . . . . . . . . 9 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1513, 6, 14sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1612, 15nnmulcld 11544 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
17 nndivre 11532 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
183, 16, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
1918recnd 10522 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
202, 19sylan2 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
211, 20fsumcl 14927 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
22 eqid 2797 . . . . 5 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
23 nn0z 11859 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
24 eluznn0 12170 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
25 oveq2 7031 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
2625oveq1d 7038 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
2726oveq2d 7039 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
28 oveq2 7031 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (9↑𝑘) = (9↑𝑛))
2927, 28oveq12d 7041 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) = ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
3029oveq2d 7039 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
31 eqid 2797 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
32 ovex 7055 . . . . . . 7 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6642 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
3424, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
3524, 18syldan 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
3631log2cnv 25208 . . . . . . 7 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)
37 seqex 13225 . . . . . . . 8 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ V
38 fvex 6558 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ V
3937, 38breldm 5670 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
4036, 39mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
41 nn0uz 12133 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
4333adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
4443, 19eqeltrd 2885 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
4541, 42, 44iserex 14851 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ))
4640, 45mpbid 233 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
4722, 23, 34, 35, 46isumrecl 14957 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
4847recnd 10522 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
49 0zd 11847 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
5036a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2))
5141, 49, 43, 19, 50isumclim 14949 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (log‘2))
5241, 22, 42, 43, 19, 40isumsplit 15032 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
5351, 52eqtr3d 2835 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘2) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
5421, 48, 53mvrladdd 10907 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
553a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
56 0le2 11593 . . . . . . 7 0 ≤ 2
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
5816nnred 11507 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
5916nngt0d 11540 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
60 divge0 11363 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6155, 57, 58, 59, 60syl22anc 835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6224, 61syldan 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6322, 23, 34, 35, 46, 62isumge0 14958 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
64 oveq2 7031 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 9)↑𝑘) = ((1 / 9)↑𝑛))
6564oveq2d 7039 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
66 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))
67 ovex 7055 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) ∈ V
6865, 66, 67fvmpt 6642 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
6968adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
70 9cn 11591 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ∈ ℂ)
7213nnne0i 11531 . . . . . . . . . . 11 9 ≠ 0
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ≠ 0)
74 nn0z 11859 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
7671, 73, 75exprecd 13372 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) = (1 / (9↑𝑛)))
7776oveq2d 7039 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
78 nn0mulcl 11787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
795, 78mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
80 nn0p1nn 11790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
82 nnmulcl 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
834, 81, 82sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
84 nndivre 11532 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
853, 83, 84sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
8685recnd 10522 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
8786adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
8815nncnd 11508 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℂ)
8915nnne0d 11541 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ≠ 0)
9087, 88, 89divrecd 11273 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
91 2cnd 11569 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
9283adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
9392nncnd 11508 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
9492nnne0d 11541 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≠ 0)
9591, 93, 88, 94, 89divdiv1d 11301 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9677, 90, 953eqtr2d 2839 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9769, 96eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9824, 97syldan 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9992, 15nnmulcld 11544 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
100 nndivre 11532 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
1013, 99, 100sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10224, 101syldan 591 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10379adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
104103nn0red 11810 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1055, 24, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
106105nn0red 11810 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
107 1red 10495 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
108 eluzle 12110 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
109108adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑛)
110 nn0re 11760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11224nn0red 11810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
114 2pos 11594 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 2)
116 lemul2 11347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
117111, 112, 113, 115, 116syl112anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
118109, 117mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛))
119104, 106, 107, 118leadd1dd 11108 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
12081adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
121120nnred 11507 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
12224, 10syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
123122nnred 11507 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
124 3re 11571 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 3 ∈ ℝ)
126 3pos 11596 . . . . . . . . . 10 0 < 3
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 3)
128 lemul2 11347 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
129121, 123, 125, 127, 128syl112anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130119, 129mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
13183adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
132131nnred 11507 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
13324, 12syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
134133nnred 11507 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
13513, 24, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
136135nnred 11507 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℝ)
137135nngt0d 11540 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (9↑𝑛))
138 lemul1 11346 . . . . . . . 8 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((9↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (9↑𝑛))) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
139132, 134, 136, 137, 138syl112anc 1367 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
140130, 139mpbid 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
14124, 99syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
142141nnred 11507 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
143141nngt0d 11540 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))
14424, 58syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
14524, 59syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
146 lediv2 11384 . . . . . . 7 (((((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
147142, 143, 144, 145, 113, 115, 146syl222anc 1379 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
148140, 147mpbid 233 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
149 9re 11590 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
150149, 72rereccli 11259 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) ∈ ℝ
151150recni 10508 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) ∈ ℂ
152151a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 / 9) ∈ ℂ)
153 0re 10496 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
154 9pos 11604 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
155149, 154recgt0ii 11400 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
156153, 150, 155ltleii 10616 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 9)
157 absid 14494 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 9)) → (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9))
158150, 156, 157mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9)
159 1lt9 11697 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
160 recgt1i 11391 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 ∈ ℝ ∧ 1 < 9) → (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1))
161149, 159, 160mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1)
162161simpri 486 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
163158, 162eqbrtri 4989 . . . . . . . . . 10 (abs‘(1 / 9)) < 1
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(1 / 9)) < 1)
165 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))
166 ovex 7055 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)↑𝑛) ∈ V
16764, 165, 166fvmpt 6642 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
16824, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
169152, 164, 42, 168geolim2 15064 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))))
17070a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ∈ ℂ)
17172a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ≠ 0)
172170, 171, 23exprecd 13372 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / 9)↑𝑁) = (1 / (9↑𝑁)))
17370, 72dividi 11227 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
174173oveq1i 7033 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (1 − (1 / 9))
175 ax-1cn 10448 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
17670, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
177 divsubdir 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9)))
17870, 175, 176, 177mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9))
179 9m1e8 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 − 1) = 8
180179oveq1i 7033 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = (8 / 9)
181178, 180eqtr3i 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (8 / 9)
182174, 181eqtr3i 2823 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 9)) = (8 / 9)
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 − (1 / 9)) = (8 / 9))
184172, 183oveq12d 7041 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)))
185175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
186 nnexpcl 13296 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
18713, 186mpan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
188187nncnd 11508 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℂ)
189 8cn 11588 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℂ
190189, 70, 72divcli 11236 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ∈ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ∈ ℂ)
192187nnne0d 11541 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ≠ 0)
193 8nn 11586 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
194193nnne0i 11531 . . . . . . . . . . . 12 8 ≠ 0
195189, 70, 194, 72divne0i 11242 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ≠ 0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ≠ 0)
197185, 188, 191, 192, 196divdiv32d 11295 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)))
198 recdiv 11200 . . . . . . . . . . . 12 (((8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0) ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
199189, 194, 70, 72, 198mp4an 689 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
200199oveq1i 7033 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = ((9 / 8) / (9↑𝑁))
201189a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
202194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ≠ 0)
203170, 201, 188, 202, 192divdiv1d 11301 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((9 / 8) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
204200, 203syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
205184, 197, 2043eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
206169, 205breqtrd 4994 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (9 / (8 · (9↑𝑁))))
207 expcl 13301 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
208151, 24, 207sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
209168, 208eqeltrd 2885 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
21024, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
211168oveq2d 7039 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
212210, 211eqtr4d 2836 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)))
21322, 23, 86, 206, 209, 212isermulc2 14852 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
214 seqex 13225 . . . . . . 7 seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ V
215 ovex 7055 . . . . . . 7 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) ∈ V
216214, 215breldm 5670 . . . . . 6 (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
217213, 216syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
21822, 23, 34, 35, 98, 102, 148, 46, 217isumle 15036 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
219102recnd 10522 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
220 3cn 11572 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
221 4cn 11576 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
222 2cn 11566 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
223 4ne0 11599 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
224 3ne0 11597 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
225 2ne0 11595 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
226220, 221, 222, 220, 223, 224, 225divdivdivi 11257 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 · 3) / (4 · 2))
227 3t3e9 11658 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 3) = 9
228 4t2e8 11659 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
229227, 228oveq12i 7035 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 3) / (4 · 2)) = (9 / 8)
230226, 229eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
231230oveq2i 7034 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) · (9 / 8))
232220, 221, 223divcli 11236 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) ∈ ℂ
233222, 220, 224divcli 11236 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ∈ ℂ
234222, 220, 225, 224divne0i 11242 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ≠ 0
235232, 233, 234divcan2i 11237 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
236231, 235eqtr3i 2823 . . . . . . . 8 ((2 / 3) · (9 / 8)) = (3 / 4)
237236oveq1i 7033 . . . . . . 7 (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))
238 2cnd 11569 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
239220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
24081nncnd 11508 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
241224a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
24281nnne0d 11541 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
243238, 239, 240, 241, 242divdiv1d 11301 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))))
244243, 203oveq12d 7041 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
245233a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / 3) ∈ ℂ)
24670, 189, 194divcli 11236 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) ∈ ℂ
247246a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9 / 8) ∈ ℂ)
248245, 240, 247, 188, 242, 192divmuldivd 11311 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
249244, 248eqtr3d 2835 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
250221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
251250, 240, 188mulassd 10517 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
252251oveq2d 7039 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
25381, 187nnmulcld 11544 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
254253nncnd 11508 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ)
255223a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
256253nnne0d 11541 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ≠ 0)
257239, 250, 254, 255, 256divdiv1d 11301 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
258252, 257eqtr4d 2836 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
259237, 249, 2583eqtr4a 2859 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
260213, 259breqtrd 4994 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
26122, 23, 98, 219, 260isumclim 14949 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
262218, 261breqtrd 4994 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
263 4nn 11574 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
264 nnmulcl 11515 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
265263, 81, 264sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
266265, 187nnmulcld 11544 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
267 nndivre 11532 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
268124, 266, 267sylancr 587 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
269 elicc2 12655 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ) → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
270153, 268, 269sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
27147, 63, 262, 270mpbir3and 1335 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
27254, 271eqeltrd 2885 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  8c8 11552  9c9 11553  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  [,]cicc 12595  ...cfz 12746  seqcseq 13223  cexp 13283  abscabs 14431  cli 14679  Σcsu 14880  logclog 24823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-tan 15262  df-pi 15263  df-dvds 15445  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-ulm 24652  df-log 24825  df-atan 25130
This theorem is referenced by:  log2ub  25213
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