MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2tlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2tlbnd 26895
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 26894. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13970 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 elfznn0 13626 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3 2re 12316 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
4 3nn 12321 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12519 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
6 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
7 nn0mulcl 12538 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
85, 6, 7sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
9 nn0p1nn 12541 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
11 nnmulcl 12266 . . . . . . . . 9 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
124, 10, 11sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
13 9nn 12340 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„•
14 nnexpcl 14071 . . . . . . . . 9 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1513, 6, 14sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1612, 15nnmulcld 12295 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
17 nndivre 12283 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
183, 16, 17sylancr 585 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1918recnd 11272 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
202, 19sylan2 591 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
211, 20fsumcl 15711 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
22 eqid 2725 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
23 nn0z 12613 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24 eluznn0 12931 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
25 oveq2 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘›))
2625oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
2726oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
28 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (9โ†‘๐‘˜) = (9โ†‘๐‘›))
2927, 28oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)) = ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
3029oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
31 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))
32 ovex 7449 . . . . . . 7 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
3330, 31, 32fvmpt 7000 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3424, 33syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3524, 18syldan 589 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
3631log2cnv 26894 . . . . . . 7 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2)
37 seqex 14000 . . . . . . . 8 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ V
38 fvex 6905 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ V
3937, 38breldm 5905 . . . . . . 7 (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2) โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39mp1i 13 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
41 nn0uz 12894 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
42 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4333adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
4443, 19eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4541, 42, 44iserex 15635 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ ))
4640, 45mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4722, 23, 34, 35, 46isumrecl 15743 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
4847recnd 11272 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
49 0zd 12600 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
5036a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2))
5141, 49, 43, 19, 50isumclim 15735 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (logโ€˜2))
5241, 22, 42, 43, 19, 40isumsplit 15818 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5351, 52eqtr3d 2767 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜2) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5421, 48, 53mvrladdd 11657 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
553a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
56 0le2 12344 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
5756a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค 2)
5816nnred 12257 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
5916nngt0d 12291 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
60 divge0 12113 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6155, 57, 58, 59, 60syl22anc 837 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6224, 61syldan 589 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6322, 23, 34, 35, 46, 62isumge0 15744 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
64 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
6564oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
66 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))
67 ovex 7449 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
6865, 66, 67fvmpt 7000 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
6968adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
70 9cn 12342 . . . . . . . . . . 11 9 โˆˆ โ„‚
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
7213nnne0i 12282 . . . . . . . . . . 11 9 โ‰  0
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โ‰  0)
74 nn0z 12613 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7574adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7671, 73, 75exprecd 14150 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) = (1 / (9โ†‘๐‘›)))
7776oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
78 nn0mulcl 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
795, 78mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
80 nn0p1nn 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
82 nnmulcl 12266 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
834, 81, 82sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
84 nndivre 12283 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
853, 83, 84sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
8685recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8786adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8815nncnd 12258 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
8915nnne0d 12292 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โ‰  0)
9087, 88, 89divrecd 12023 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
91 2cnd 12320 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9283adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
9392nncnd 12258 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
9492nnne0d 12292 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰  0)
9591, 93, 88, 94, 89divdiv1d 12051 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9677, 90, 953eqtr2d 2771 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9769, 96eqtrd 2765 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9824, 97syldan 589 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9992, 15nnmulcld 12295 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
100 nndivre 12283 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1013, 99, 100sylancr 585 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10224, 101syldan 589 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10379adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
104103nn0red 12563 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1055, 24, 7sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
106105nn0red 12563 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
107 1red 11245 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
108 eluzle 12865 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
109108adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
110 nn0re 12511 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
111110adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
11224nn0red 12563 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
1133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
114 2pos 12345 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 2)
116 lemul2 12097 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
117111, 112, 113, 115, 116syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
118109, 117mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
119104, 106, 107, 118leadd1dd 11858 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1))
12081adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
121120nnred 12257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
12224, 10syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
123122nnred 12257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„)
124 3re 12322 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
126 3pos 12347 . . . . . . . . . 10 0 < 3
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 3)
128 lemul2 12097 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
129121, 123, 125, 127, 128syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
130119, 129mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
13183adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
132131nnred 12257 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
13324, 12syldan 589 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
134133nnred 12257 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
13513, 24, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
136135nnred 12257 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
137135nngt0d 12291 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < (9โ†‘๐‘›))
138 lemul1 12096 . . . . . . . 8 (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (9โ†‘๐‘›))) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
139132, 134, 136, 137, 138syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
140130, 139mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14124, 99syldan 589 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
142141nnred 12257 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
143141nngt0d 12291 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14424, 58syldan 589 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
14524, 59syldan 589 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
146 lediv2 12134 . . . . . . 7 (((((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
147142, 143, 144, 145, 113, 115, 146syl222anc 1383 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
148140, 147mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
149 9re 12341 . . . . . . . . . . . 12 9 โˆˆ โ„
150149, 72rereccli 12009 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) โˆˆ โ„
151150recni 11258 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) โˆˆ โ„‚
152151a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 9) โˆˆ โ„‚)
153 0re 11246 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
154 9pos 12355 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
155149, 154recgt0ii 12150 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
156153, 150, 155ltleii 11367 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค (1 / 9)
157 absid 15275 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 9)) โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9))
158150, 156, 157mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9)
159 1lt9 12448 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
160 recgt1i 12141 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 9) โ†’ (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1))
161149, 159, 160mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1)
162161simpri 484 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
163158, 162eqbrtri 5164 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜(1 / 9)) < 1
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) < 1)
165 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))
166 ovex 7449 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ V
16764, 165, 166fvmpt 7000 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
16824, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
169152, 164, 42, 168geolim2 15849 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))))
17070a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
17172a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โ‰  0)
172170, 171, 23exprecd 14150 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘) = (1 / (9โ†‘๐‘)))
17370, 72dividi 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
174173oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (1 โˆ’ (1 / 9))
175 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
17670, 72pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)
177 divsubdir 11938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)))
17870, 175, 176, 177mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9))
179 9m1e8 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆ’ 1) = 8
180179oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = (8 / 9)
181178, 180eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
182174, 181eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9))
184172, 183oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)))
185175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
186 nnexpcl 14071 . . . . . . . . . . . 12 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
18713, 186mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
188187nncnd 12258 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
189 8cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
190189, 70, 72divcli 11986 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โˆˆ โ„‚
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โˆˆ โ„‚)
192187nnne0d 12292 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โ‰  0)
193 8nn 12337 . . . . . . . . . . . . 13 8 โˆˆ โ„•
194193nnne0i 12282 . . . . . . . . . . . 12 8 โ‰  0
195189, 70, 194, 72divne0i 11992 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โ‰  0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โ‰  0)
197185, 188, 191, 192, 196divdiv32d 12045 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)))
198 recdiv 11950 . . . . . . . . . . . 12 (((8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0) โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
199189, 194, 70, 72, 198mp4an 691 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
200199oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))
201189a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
202194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โ‰  0)
203170, 201, 188, 202, 192divdiv1d 12051 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
204200, 203eqtrid 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
205184, 197, 2043eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
206169, 205breqtrd 5169 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
207 expcl 14076 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
208151, 24, 207sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
209168, 208eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
21024, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
211168oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
212210, 211eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)))
21322, 23, 86, 206, 209, 212isermulc2 15636 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
214 seqex 14000 . . . . . . 7 seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ V
215 ovex 7449 . . . . . . 7 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โˆˆ V
216214, 215breldm 5905 . . . . . 6 (seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
217213, 216syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
21822, 23, 34, 35, 98, 102, 148, 46, 217isumle 15822 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
219102recnd 11272 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
220 3cn 12323 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
221 4cn 12327 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„‚
222 2cn 12317 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
223 4ne0 12350 . . . . . . . . . . . 12 4 โ‰  0
224 3ne0 12348 . . . . . . . . . . . 12 3 โ‰  0
225 2ne0 12346 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
226220, 221, 222, 220, 223, 224, 225divdivdivi 12007 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 ยท 3) / (4 ยท 2))
227 3t3e9 12409 . . . . . . . . . . . 12 (3 ยท 3) = 9
228 4t2e8 12410 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
229227, 228oveq12i 7428 . . . . . . . . . . 11 ((3 ยท 3) / (4 ยท 2)) = (9 / 8)
230226, 229eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
231230oveq2i 7427 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) ยท (9 / 8))
232220, 221, 223divcli 11986 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) โˆˆ โ„‚
233222, 220, 224divcli 11986 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โˆˆ โ„‚
234222, 220, 225, 224divne0i 11992 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โ‰  0
235232, 233, 234divcan2i 11987 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
236231, 235eqtr3i 2755 . . . . . . . 8 ((2 / 3) ยท (9 / 8)) = (3 / 4)
237236oveq1i 7426 . . . . . . 7 (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))
238 2cnd 12320 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
239220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
24081nncnd 12258 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
241224a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โ‰  0)
24281nnne0d 12292 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
243238, 239, 240, 241, 242divdiv1d 12051 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))))
244243, 203oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
245233a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / 3) โˆˆ โ„‚)
24670, 189, 194divcli 11986 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) โˆˆ โ„‚
247246a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9 / 8) โˆˆ โ„‚)
248245, 240, 247, 188, 242, 192divmuldivd 12061 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
249244, 248eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
250221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
251250, 240, 188mulassd 11267 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) = (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
252251oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
25381, 187nnmulcld 12295 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
254253nncnd 12258 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
255223a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โ‰  0)
256253nnne0d 12292 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โ‰  0)
257239, 250, 254, 255, 256divdiv1d 12051 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
258252, 257eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
259237, 249, 2583eqtr4a 2791 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
260213, 259breqtrd 5169 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
26122, 23, 98, 219, 260isumclim 15735 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
262218, 261breqtrd 5169 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
263 4nn 12325 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
264 nnmulcl 12266 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
265263, 81, 264sylancr 585 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
266265, 187nnmulcld 12295 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
267 nndivre 12283 . . . . 5 ((3 โˆˆ โ„ โˆง ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
268124, 266, 267sylancr 585 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
269 elicc2 13421 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
270153, 268, 269sylancr 585 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
27147, 63, 262, 270mpbir3and 1339 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
27254, 271eqeltrd 2825 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  8c8 12303  9c9 12304  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  seqcseq 13998  โ†‘cexp 14058  abscabs 15213   โ‡ cli 15460  ฮฃcsu 15664  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331  df-log 26508  df-atan 26817
This theorem is referenced by:  log2ub  26899
  Copyright terms: Public domain W3C validator