MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2tlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2tlbnd 26311
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 26310. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 elfznn0 13541 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3 2re 12234 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
4 3nn 12239 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12437 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
6 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
7 nn0mulcl 12456 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
85, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
9 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
11 nnmulcl 12184 . . . . . . . . 9 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
124, 10, 11sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
13 9nn 12258 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„•
14 nnexpcl 13987 . . . . . . . . 9 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1513, 6, 14sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1612, 15nnmulcld 12213 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
17 nndivre 12201 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
183, 16, 17sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1918recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
202, 19sylan2 594 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
211, 20fsumcl 15625 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
22 eqid 2737 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
23 nn0z 12531 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24 eluznn0 12849 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
25 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘›))
2625oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
2726oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
28 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (9โ†‘๐‘˜) = (9โ†‘๐‘›))
2927, 28oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)) = ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
3029oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
31 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))
32 ovex 7395 . . . . . . 7 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
3330, 31, 32fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3424, 33syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3524, 18syldan 592 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
3631log2cnv 26310 . . . . . . 7 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2)
37 seqex 13915 . . . . . . . 8 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ V
38 fvex 6860 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ V
3937, 38breldm 5869 . . . . . . 7 (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2) โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39mp1i 13 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
41 nn0uz 12812 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
42 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4333adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
4443, 19eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4541, 42, 44iserex 15548 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ ))
4640, 45mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4722, 23, 34, 35, 46isumrecl 15657 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
4847recnd 11190 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
49 0zd 12518 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
5036a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2))
5141, 49, 43, 19, 50isumclim 15649 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (logโ€˜2))
5241, 22, 42, 43, 19, 40isumsplit 15732 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5351, 52eqtr3d 2779 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜2) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5421, 48, 53mvrladdd 11575 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
553a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
56 0le2 12262 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
5756a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค 2)
5816nnred 12175 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
5916nngt0d 12209 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
60 divge0 12031 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6155, 57, 58, 59, 60syl22anc 838 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6224, 61syldan 592 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6322, 23, 34, 35, 46, 62isumge0 15658 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
64 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
6564oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
66 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))
67 ovex 7395 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
6865, 66, 67fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
6968adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
70 9cn 12260 . . . . . . . . . . 11 9 โˆˆ โ„‚
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
7213nnne0i 12200 . . . . . . . . . . 11 9 โ‰  0
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โ‰  0)
74 nn0z 12531 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7574adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7671, 73, 75exprecd 14066 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) = (1 / (9โ†‘๐‘›)))
7776oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
78 nn0mulcl 12456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
795, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
80 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
82 nnmulcl 12184 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
834, 81, 82sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
84 nndivre 12201 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
853, 83, 84sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
8685recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8786adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8815nncnd 12176 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
8915nnne0d 12210 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โ‰  0)
9087, 88, 89divrecd 11941 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
91 2cnd 12238 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9283adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
9392nncnd 12176 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
9492nnne0d 12210 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰  0)
9591, 93, 88, 94, 89divdiv1d 11969 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9677, 90, 953eqtr2d 2783 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9769, 96eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9824, 97syldan 592 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9992, 15nnmulcld 12213 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
100 nndivre 12201 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1013, 99, 100sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10224, 101syldan 592 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10379adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
104103nn0red 12481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1055, 24, 7sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
106105nn0red 12481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
107 1red 11163 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
108 eluzle 12783 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
109108adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
110 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
111110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
11224nn0red 12481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
1133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
114 2pos 12263 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 2)
116 lemul2 12015 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
117111, 112, 113, 115, 116syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
118109, 117mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
119104, 106, 107, 118leadd1dd 11776 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1))
12081adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
121120nnred 12175 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
12224, 10syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
123122nnred 12175 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„)
124 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
126 3pos 12265 . . . . . . . . . 10 0 < 3
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 3)
128 lemul2 12015 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
129121, 123, 125, 127, 128syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
130119, 129mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
13183adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
132131nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
13324, 12syldan 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
134133nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
13513, 24, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
136135nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
137135nngt0d 12209 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < (9โ†‘๐‘›))
138 lemul1 12014 . . . . . . . 8 (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (9โ†‘๐‘›))) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
139132, 134, 136, 137, 138syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
140130, 139mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14124, 99syldan 592 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
142141nnred 12175 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
143141nngt0d 12209 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14424, 58syldan 592 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
14524, 59syldan 592 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
146 lediv2 12052 . . . . . . 7 (((((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
147142, 143, 144, 145, 113, 115, 146syl222anc 1387 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
148140, 147mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
149 9re 12259 . . . . . . . . . . . 12 9 โˆˆ โ„
150149, 72rereccli 11927 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) โˆˆ โ„
151150recni 11176 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) โˆˆ โ„‚
152151a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 9) โˆˆ โ„‚)
153 0re 11164 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
154 9pos 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
155149, 154recgt0ii 12068 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
156153, 150, 155ltleii 11285 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค (1 / 9)
157 absid 15188 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 9)) โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9))
158150, 156, 157mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9)
159 1lt9 12366 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
160 recgt1i 12059 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 9) โ†’ (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1))
161149, 159, 160mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1)
162161simpri 487 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
163158, 162eqbrtri 5131 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜(1 / 9)) < 1
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) < 1)
165 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))
166 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ V
16764, 165, 166fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
16824, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
169152, 164, 42, 168geolim2 15763 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))))
17070a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
17172a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โ‰  0)
172170, 171, 23exprecd 14066 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘) = (1 / (9โ†‘๐‘)))
17370, 72dividi 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
174173oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (1 โˆ’ (1 / 9))
175 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
17670, 72pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)
177 divsubdir 11856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)))
17870, 175, 176, 177mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9))
179 9m1e8 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆ’ 1) = 8
180179oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = (8 / 9)
181178, 180eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
182174, 181eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9))
184172, 183oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)))
185175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
186 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . 12 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
18713, 186mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
188187nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
189 8cn 12257 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
190189, 70, 72divcli 11904 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โˆˆ โ„‚
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โˆˆ โ„‚)
192187nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โ‰  0)
193 8nn 12255 . . . . . . . . . . . . 13 8 โˆˆ โ„•
194193nnne0i 12200 . . . . . . . . . . . 12 8 โ‰  0
195189, 70, 194, 72divne0i 11910 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โ‰  0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โ‰  0)
197185, 188, 191, 192, 196divdiv32d 11963 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)))
198 recdiv 11868 . . . . . . . . . . . 12 (((8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0) โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
199189, 194, 70, 72, 198mp4an 692 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
200199oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))
201189a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
202194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โ‰  0)
203170, 201, 188, 202, 192divdiv1d 11969 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
204200, 203eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
205184, 197, 2043eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
206169, 205breqtrd 5136 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
207 expcl 13992 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
208151, 24, 207sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
209168, 208eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
21024, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
211168oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
212210, 211eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)))
21322, 23, 86, 206, 209, 212isermulc2 15549 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
214 seqex 13915 . . . . . . 7 seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ V
215 ovex 7395 . . . . . . 7 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โˆˆ V
216214, 215breldm 5869 . . . . . 6 (seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
217213, 216syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
21822, 23, 34, 35, 98, 102, 148, 46, 217isumle 15736 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
219102recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
220 3cn 12241 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
221 4cn 12245 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„‚
222 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
223 4ne0 12268 . . . . . . . . . . . 12 4 โ‰  0
224 3ne0 12266 . . . . . . . . . . . 12 3 โ‰  0
225 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
226220, 221, 222, 220, 223, 224, 225divdivdivi 11925 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 ยท 3) / (4 ยท 2))
227 3t3e9 12327 . . . . . . . . . . . 12 (3 ยท 3) = 9
228 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
229227, 228oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((3 ยท 3) / (4 ยท 2)) = (9 / 8)
230226, 229eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
231230oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) ยท (9 / 8))
232220, 221, 223divcli 11904 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) โˆˆ โ„‚
233222, 220, 224divcli 11904 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โˆˆ โ„‚
234222, 220, 225, 224divne0i 11910 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โ‰  0
235232, 233, 234divcan2i 11905 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
236231, 235eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 ((2 / 3) ยท (9 / 8)) = (3 / 4)
237236oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))
238 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
239220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
24081nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
241224a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โ‰  0)
24281nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
243238, 239, 240, 241, 242divdiv1d 11969 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))))
244243, 203oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
245233a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / 3) โˆˆ โ„‚)
24670, 189, 194divcli 11904 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) โˆˆ โ„‚
247246a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9 / 8) โˆˆ โ„‚)
248245, 240, 247, 188, 242, 192divmuldivd 11979 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
249244, 248eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
250221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
251250, 240, 188mulassd 11185 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) = (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
252251oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
25381, 187nnmulcld 12213 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
254253nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
255223a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โ‰  0)
256253nnne0d 12210 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โ‰  0)
257239, 250, 254, 255, 256divdiv1d 11969 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
258252, 257eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
259237, 249, 2583eqtr4a 2803 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
260213, 259breqtrd 5136 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
26122, 23, 98, 219, 260isumclim 15649 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
262218, 261breqtrd 5136 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
263 4nn 12243 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
264 nnmulcl 12184 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
265263, 81, 264sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
266265, 187nnmulcld 12213 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
267 nndivre 12201 . . . . 5 ((3 โˆˆ โ„ โˆง ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
268124, 266, 267sylancr 588 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
269 elicc2 13336 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
270153, 268, 269sylancr 588 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
27147, 63, 262, 270mpbir3and 1343 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
27254, 271eqeltrd 2838 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  8c8 12221  9c9 12222  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-atan 26233
This theorem is referenced by:  log2ub  26315
  Copyright terms: Public domain W3C validator