MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2tlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2tlbnd 26832
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 26831. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
2 elfznn0 13600 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3 2re 12290 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
4 3nn 12295 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„•
5 2nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
6 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
7 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
85, 6, 7sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
9 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
11 nnmulcl 12240 . . . . . . . . 9 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
124, 10, 11sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
13 9nn 12314 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„•
14 nnexpcl 14045 . . . . . . . . 9 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1513, 6, 14sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
1612, 15nnmulcld 12269 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
17 nndivre 12257 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
183, 16, 17sylancr 586 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1918recnd 11246 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
202, 19sylan2 592 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
211, 20fsumcl 15685 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
22 eqid 2726 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)
23 nn0z 12587 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24 eluznn0 12905 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
25 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘›))
2625oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
28 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (9โ†‘๐‘˜) = (9โ†‘๐‘›))
2927, 28oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)) = ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
3029oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
31 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))
32 ovex 7438 . . . . . . 7 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
3330, 31, 32fvmpt 6992 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3424, 33syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
3524, 18syldan 590 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
3631log2cnv 26831 . . . . . . 7 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2)
37 seqex 13974 . . . . . . . 8 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ V
38 fvex 6898 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ V
3937, 38breldm 5902 . . . . . . 7 (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2) โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4036, 39mp1i 13 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
41 nn0uz 12868 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
42 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4333adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
4443, 19eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4541, 42, 44iserex 15609 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ ))
4640, 45mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โˆˆ dom โ‡ )
4722, 23, 34, 35, 46isumrecl 15717 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
4847recnd 11246 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
49 0zd 12574 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
5036a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘˜))))) โ‡ (logโ€˜2))
5141, 49, 43, 19, 50isumclim 15709 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (logโ€˜2))
5241, 22, 42, 43, 19, 40isumsplit 15792 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5351, 52eqtr3d 2768 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜2) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
5421, 48, 53mvrladdd 11631 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
553a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
56 0le2 12318 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
5756a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค 2)
5816nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
5916nngt0d 12265 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
60 divge0 12087 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6155, 57, 58, 59, 60syl22anc 836 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6224, 61syldan 590 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
6322, 23, 34, 35, 46, 62isumge0 15718 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
64 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
6564oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
66 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))
67 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) โˆˆ V
6865, 66, 67fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
6968adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
70 9cn 12316 . . . . . . . . . . 11 9 โˆˆ โ„‚
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
7213nnne0i 12256 . . . . . . . . . . 11 9 โ‰  0
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 9 โ‰  0)
74 nn0z 12587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7574adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7671, 73, 75exprecd 14124 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) = (1 / (9โ†‘๐‘›)))
7776oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
78 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
795, 78mpan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
80 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
82 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
834, 81, 82sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
84 nndivre 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
853, 83, 84sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„)
8685recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
8815nncnd 12232 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
8915nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โ‰  0)
9087, 88, 89divrecd 11997 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (1 / (9โ†‘๐‘›))))
91 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9283adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
9392nncnd 12232 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
9492nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰  0)
9591, 93, 88, 94, 89divdiv1d 12025 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) / (9โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9677, 90, 953eqtr2d 2772 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9769, 96eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9824, 97syldan 590 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
9992, 15nnmulcld 12269 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
100 nndivre 12257 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
1013, 99, 100sylancr 586 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10224, 101syldan 590 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„)
10379adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
104103nn0red 12537 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
1055, 24, 7sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
106105nn0red 12537 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
107 1red 11219 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
108 eluzle 12839 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
109108adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘›)
110 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
11224nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
1133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
114 2pos 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 2)
116 lemul2 12071 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
117111, 112, 113, 115, 116syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
118109, 117mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
119104, 106, 107, 118leadd1dd 11832 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1))
12081adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
121120nnred 12231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
12224, 10syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
123122nnred 12231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„)
124 3re 12296 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
126 3pos 12321 . . . . . . . . . 10 0 < 3
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < 3)
128 lemul2 12071 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
129121, 123, 125, 127, 128syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1))))
130119, 129mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
13183adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
132131nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„)
13324, 12syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„•)
134133nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
13513, 24, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
136135nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
137135nngt0d 12265 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < (9โ†‘๐‘›))
138 lemul1 12070 . . . . . . . 8 (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((9โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (9โ†‘๐‘›))) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
139132, 134, 136, 137, 138syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ‰ค (3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†” ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
140130, 139mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14124, 99syldan 590 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„•)
142141nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
143141nngt0d 12265 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
14424, 58syldan 590 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
14524, 59syldan 590 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))
146 lediv2 12108 . . . . . . 7 (((((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
147142, 143, 144, 145, 113, 115, 146syl222anc 1383 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ‰ค ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)) โ†” (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))))
148140, 147mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
149 9re 12315 . . . . . . . . . . . 12 9 โˆˆ โ„
150149, 72rereccli 11983 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) โˆˆ โ„
151150recni 11232 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) โˆˆ โ„‚
152151a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 9) โˆˆ โ„‚)
153 0re 11220 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
154 9pos 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
155149, 154recgt0ii 12124 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
156153, 150, 155ltleii 11341 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค (1 / 9)
157 absid 15249 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / 9)) โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9))
158150, 156, 157mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜(1 / 9)) = (1 / 9)
159 1lt9 12422 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
160 recgt1i 12115 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 9) โ†’ (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1))
161149, 159, 160mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) โˆง (1 / 9) < 1)
162161simpri 485 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
163158, 162eqbrtri 5162 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜(1 / 9)) < 1
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (absโ€˜(1 / 9)) < 1)
165 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))
166 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ V
16764, 165, 166fvmpt 6992 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
16824, 167syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) = ((1 / 9)โ†‘๐‘›))
169152, 164, 42, 168geolim2 15823 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))))
17070a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
17172a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 9 โ‰  0)
172170, 171, 23exprecd 14124 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘) = (1 / (9โ†‘๐‘)))
17370, 72dividi 11951 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
174173oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (1 โˆ’ (1 / 9))
175 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
17670, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)
177 divsubdir 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)))
17870, 175, 176, 177mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9))
179 9m1e8 12350 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 โˆ’ 1) = 8
180179oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 โˆ’ 1) / 9) = (8 / 9)
181178, 180eqtr3i 2756 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
182174, 181eqtr3i 2756 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9)
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โˆ’ (1 / 9)) = (8 / 9))
184172, 183oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)))
185175a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
186 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((9 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
18713, 186mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
188187nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
189 8cn 12313 . . . . . . . . . . . 12 8 โˆˆ โ„‚
190189, 70, 72divcli 11960 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โˆˆ โ„‚
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โˆˆ โ„‚)
192187nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9โ†‘๐‘) โ‰  0)
193 8nn 12311 . . . . . . . . . . . . 13 8 โˆˆ โ„•
194193nnne0i 12256 . . . . . . . . . . . 12 8 โ‰  0
195189, 70, 194, 72divne0i 11966 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) โ‰  0
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (8 / 9) โ‰  0)
197185, 188, 191, 192, 196divdiv32d 12019 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (9โ†‘๐‘)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)))
198 recdiv 11924 . . . . . . . . . . . 12 (((8 โˆˆ โ„‚ โˆง 8 โ‰  0) โˆง (9 โˆˆ โ„‚ โˆง 9 โ‰  0)) โ†’ (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
199189, 194, 70, 72, 198mp4an 690 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
200199oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))
201189a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
202194a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 8 โ‰  0)
203170, 201, 188, 202, 192divdiv1d 12025 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
204200, 203eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / (8 / 9)) / (9โ†‘๐‘)) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
205184, 197, 2043eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((1 / 9)โ†‘๐‘) / (1 โˆ’ (1 / 9))) = (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
206169, 205breqtrd 5167 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))) โ‡ (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘))))
207 expcl 14050 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
208151, 24, 207sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((1 / 9)โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
209168, 208eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
21024, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
211168oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘›)))
212210, 211eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))โ€˜๐‘›) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 9)โ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘›)))
21322, 23, 86, 206, 209, 212isermulc2 15610 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
214 seqex 13974 . . . . . . 7 seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ V
215 ovex 7438 . . . . . . 7 ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โˆˆ V
216214, 215breldm 5902 . . . . . 6 (seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
217213, 216syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โˆˆ dom โ‡ )
21822, 23, 34, 35, 98, 102, 148, 46, 217isumle 15796 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))))
219102recnd 11246 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
220 3cn 12297 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
221 4cn 12301 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„‚
222 2cn 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
223 4ne0 12324 . . . . . . . . . . . 12 4 โ‰  0
224 3ne0 12322 . . . . . . . . . . . 12 3 โ‰  0
225 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
226220, 221, 222, 220, 223, 224, 225divdivdivi 11981 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 ยท 3) / (4 ยท 2))
227 3t3e9 12383 . . . . . . . . . . . 12 (3 ยท 3) = 9
228 4t2e8 12384 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
229227, 228oveq12i 7417 . . . . . . . . . . 11 ((3 ยท 3) / (4 ยท 2)) = (9 / 8)
230226, 229eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
231230oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) ยท (9 / 8))
232220, 221, 223divcli 11960 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) โˆˆ โ„‚
233222, 220, 224divcli 11960 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โˆˆ โ„‚
234222, 220, 225, 224divne0i 11966 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) โ‰  0
235232, 233, 234divcan2i 11961 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) ยท ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
236231, 235eqtr3i 2756 . . . . . . . 8 ((2 / 3) ยท (9 / 8)) = (3 / 4)
237236oveq1i 7415 . . . . . . 7 (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))
238 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
239220a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
24081nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
241224a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 โ‰  0)
24281nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โ‰  0)
243238, 239, 240, 241, 242divdiv1d 12025 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) = (2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))))
244243, 203oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))))
245233a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 / 3) โˆˆ โ„‚)
24670, 189, 194divcli 11960 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) โˆˆ โ„‚
247246a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (9 / 8) โˆˆ โ„‚)
248245, 240, 247, 188, 242, 192divmuldivd 12035 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 / 3) / ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท ((9 / 8) / (9โ†‘๐‘))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
249244, 248eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (((2 / 3) ยท (9 / 8)) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
250221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
251250, 240, 188mulassd 11241 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) = (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
252251oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
25381, 187nnmulcld 12269 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
254253nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
255223a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 4 โ‰  0)
256253nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)) โ‰  0)
257239, 250, 254, 255, 256divdiv1d 12025 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))) = (3 / (4 ยท (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘)))))
258252, 257eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) = ((3 / 4) / (((2 ยท ๐‘) + 1) ยท (9โ†‘๐‘))))
259237, 249, 2583eqtr4a 2792 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท (9 / (8 ยท (9โ†‘๐‘)))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
260213, 259breqtrd 5167 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ seq๐‘( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2 / (3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1))) ยท ((1 / 9)โ†‘๐‘˜)))) โ‡ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
26122, 23, 98, 219, 260isumclim 15709 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) = (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
262218, 261breqtrd 5167 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))
263 4nn 12299 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
264 nnmulcl 12240 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
265263, 81, 264sylancr 586 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„•)
266265, 187nnmulcld 12269 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
267 nndivre 12257 . . . . 5 ((3 โˆˆ โ„ โˆง ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•) โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
268124, 266, 267sylancr 586 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
269 elicc2 13395 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
270153, 268, 269sylancr 586 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))) โ†” (ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โ‰ค (3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘))))))
27147, 63, 262, 270mpbir3and 1339 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
27254, 271eqeltrd 2827 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((logโ€˜2) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(2 / ((3 ยท ((2 ยท ๐‘›) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘›)))) โˆˆ (0[,](3 / ((4 ยท ((2 ยท ๐‘) + 1)) ยท (9โ†‘๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  8c8 12277  9c9 12278  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  seqcseq 13972  โ†‘cexp 14032  abscabs 15187   โ‡ cli 15434  ฮฃcsu 15638  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-atan 26754
This theorem is referenced by:  log2ub  26836
  Copyright terms: Public domain W3C validator