MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 16444
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 11908 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 11704 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12106 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 11904 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 12101 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11903 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11901 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12223 . . 3 3 < 10
9 8nn 11720 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12218 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 12124 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12115 . 2 83 < 841
13 1lt10 12225 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 12124 . 2 1 < 83
15 2cn 11700 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 10634 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 11689 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 16387 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 11902 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 11907 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 12101 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 11698 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2818 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 12108 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 11791 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7157 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 11784 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2841 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 11897 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 11706 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12196 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 10638 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 11768 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 12146 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 12139 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 11797 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 15751 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 11803 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 16388 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 11717 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 12101 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 11714 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 11893 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2818 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 12108 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 10633 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7157 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 11774 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2841 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7155 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12164 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2841 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 12139 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 11811 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 15751 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 11637 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 12106 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 11636 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 10637 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7155 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2841 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12220 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 12124 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 15751 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 12106 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 11711 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 11893 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2818 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 12108 . . . 4 5 = 05
74 6cn 11716 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7157 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2841 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12191 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 10638 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 11750 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12169 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 12147 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 12138 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12221 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 12124 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 15751 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 12106 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 12106 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2818 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2818 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 11897 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 10634 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 11770 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 10820 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7157 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 11780 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2841 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12197 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 11767 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 12147 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 12138 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 11812 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 12114 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 15751 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 11723 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 12106 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 11909 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2818 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 12108 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7157 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2841 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12210 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 10820 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 12147 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 12138 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12219 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 12124 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 15751 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 12106 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 11708 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 12106 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2818 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2818 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 10638 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7157 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2841 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 11792 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7155 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12175 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2841 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 12138 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12222 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 11796 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 12115 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 15751 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16441 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  bpos1  25786
  Copyright terms: Public domain W3C validator