MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 17061
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 12494 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 12290 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12696 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 12490 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 12691 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12489 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12487 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12813 . . 3 3 < 10
9 8nn 12306 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12808 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 12714 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12705 . 2 83 < 841
13 1lt10 12815 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 12714 . 2 1 < 83
15 2cn 12286 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mullidi 11218 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 12275 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 17001 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 12488 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 12493 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 12691 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 12284 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 12486 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2724 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 12698 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 12377 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addlidi 11401 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7414 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 12370 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2752 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 12483 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 12292 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12786 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 11222 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 12354 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 12736 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 12729 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 12383 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 16358 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 12389 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 17002 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 12303 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 12691 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 12300 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 12479 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2724 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 12698 . . . 4 6 = 06
4831mulridi 11217 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 11165 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addlidi 11401 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7414 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 12360 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2752 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7412 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12754 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2752 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 12729 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 12397 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 16358 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 12222 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 12696 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 12221 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 11221 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7412 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2752 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12810 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 12714 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 16358 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 12696 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 12297 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 12479 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2724 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 12698 . . . 4 5 = 05
74 6cn 12302 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mullidi 11218 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7414 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2752 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12781 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 11222 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 12336 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12759 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 12737 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 12728 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12811 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 12714 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 16358 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 12696 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 12696 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2724 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2724 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 12483 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mullidi 11218 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 12356 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 11405 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7414 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 12366 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2752 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12787 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 12353 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 12737 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 12728 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 12398 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 12704 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 16358 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 12309 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 12696 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 12495 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2724 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 12698 . . . 4 7 = 07
11091addlidi 11401 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7414 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2752 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12800 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 11405 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 12737 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 12728 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12809 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 12714 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 16358 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 12696 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 12294 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 12696 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2724 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2724 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 11222 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7414 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2752 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 12378 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7412 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12765 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2752 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 12728 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12812 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 12382 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 12705 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 16358 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 17058 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  cdc 12676  cprime 16611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612
This theorem is referenced by:  bpos1  27157
  Copyright terms: Public domain W3C validator