MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 17002
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 12443 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 12239 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12645 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 12640 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12438 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12436 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12762 . . 3 3 < 10
9 8nn 12255 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12757 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 12663 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12654 . 2 83 < 841
13 1lt10 12764 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 12663 . 2 1 < 83
15 2cn 12235 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 11167 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 12224 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 16942 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 12437 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 12442 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 12640 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 12233 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2737 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 12647 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 12326 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7374 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 12319 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2765 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 12432 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 12241 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12735 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 11171 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 12303 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 12685 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 12678 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 12332 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 16301 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 12338 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 16943 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 12252 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 12640 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 12249 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 12428 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2737 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 12647 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 11166 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7374 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 12309 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2765 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7372 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12703 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2765 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 12678 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 12346 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 16301 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 12171 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 12645 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 12170 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 11170 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7372 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2765 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12759 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 12663 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 16301 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 12645 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 12246 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 12428 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2737 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 12647 . . . 4 5 = 05
74 6cn 12251 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12730 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 11171 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 12285 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12708 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 12686 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 12677 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12760 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 12663 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 16301 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 12645 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 12645 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2737 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2737 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 12432 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 12305 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 11354 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 12315 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12736 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 12686 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 12677 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 12347 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 12653 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 16301 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 12258 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 12645 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 12444 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2737 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 12647 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12749 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 11354 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 12686 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 12677 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12758 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 12663 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 16301 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 12645 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 12243 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 12645 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2737 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2737 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 11171 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7374 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2765 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 12327 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7372 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12714 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2765 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 12677 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12761 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 12331 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 12654 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 16301 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16999 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  bpos1  26647
  Copyright terms: Public domain W3C validator