Theorem 83prm 17345

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12669	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12462	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12665	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12662	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12997	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12478	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12992	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12897	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12888	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12458	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 11353	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12446	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12663	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12548	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12541	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31		7cn 12477	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12464	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12969	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12525	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12556	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12563	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 17286	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12472	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12531	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12937	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12571	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		11nn 12879	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
61		1nn 12386	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	7, 61	decnncl 12878	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	62	nncni 12385	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
64	63, 31	mulcomi 11356	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
65	64	oveq1i 7461	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
66	65, 57	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
67		6lt10 12994	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
68	61, 7, 45, 67	declti 12897	. . 3 ⊢ 6 < ;11
69	60, 20, 44, 66, 68	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
70	7, 2	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
71		5nn 12469	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
72		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
73		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
74	72	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
75		6cn 12474	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
76	75	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
77	76, 27	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
78	77, 29	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
79		6t3e18 12964	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
80	75, 32, 79	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
81		1p1e2 12506	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
82		8p5e13 12942	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
83	7, 1, 72, 80, 81, 6, 82	decaddci 12920	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
84	7, 6, 23, 72, 73, 74, 45, 6, 19, 78, 83	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
85		5lt10 12995	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
86	61, 6, 72, 85	declti 12897	. . 3 ⊢ 5 < ;13
87	70, 45, 71, 84, 86	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
88	7, 42	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
89	7, 71	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
90		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
91		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
92		4cn 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
93	92	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
94		3p1e4 12527	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
95	32, 49, 94	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
96	93, 95	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
97		4p4e8 12537	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
98	96, 97	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
99		7t4e28 12970	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
100		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
101	19, 1, 72, 99, 100, 6, 82	decaddci 12920	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
102	7, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 101	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
103		5lt7 12572	. . . 4 ⊢ 5 < 7
104	7, 72, 42, 103	declt 12887	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
105	88, 4, 89, 102, 104	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
106		9nn 12481	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
107	7, 106	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
108		9nn0 12670	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
109		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
110	20	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
111	92	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
112	93, 111	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
113	112, 97	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
114		9t4e36 12983	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
115	31, 75, 55	addcomli 11541	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
116	6, 45, 20, 114, 94, 6, 115	decaddci 12920	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
117	7, 108, 23, 20, 109, 110, 4, 6, 4, 113, 116	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
118		7lt10 12993	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
119	61, 108, 20, 118	declti 12897	. . 3 ⊢ 7 < ;19
120	107, 4, 42, 117, 119	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
121	19, 2	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
122		4nn 12466	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
123	7, 122	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
124		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
125		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
126		2t3e6 12549	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
127	126, 81	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
128	127, 29	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
129		3t3e9 12550	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
130	129	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
131		9p4e13 12948	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
132	130, 131	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
133	19, 6, 7, 4, 124, 125, 6, 6, 7, 128, 132	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
134		4lt10 12996	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
135		1lt2 12555	. . . 4 ⊢ 1 < 2
136	7, 19, 4, 6, 134, 135	decltc 12888	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
137	121, 6, 123, 133, 136	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
138	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 69, 87, 105, 120, 137	prmlem2 17342	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  bpos1  27667