MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 16987
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 12432 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 12228 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12634 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 12428 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 12629 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12427 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12425 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12751 . . 3 3 < 10
9 8nn 12244 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12746 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 12652 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12643 . 2 83 < 841
13 1lt10 12753 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 12652 . 2 1 < 83
15 2cn 12224 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 11156 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 12213 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 16927 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 12426 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 12431 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 12629 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 12222 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 12424 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2736 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 12636 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 12315 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 11339 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7365 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 12308 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2764 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 12421 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 12230 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12724 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 11160 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 12292 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 12674 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 12667 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 12321 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 16286 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 12327 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 16928 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 12241 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 12629 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 12238 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 12417 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2736 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 12636 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 11155 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 11105 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 11339 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7365 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 12298 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2764 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7363 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12692 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2764 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 12667 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 12335 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 16286 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 12160 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 12634 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 12159 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 11159 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7363 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2764 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12748 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 12652 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 16286 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 12634 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 12235 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 12417 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2736 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 12636 . . . 4 5 = 05
74 6cn 12240 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 11156 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7365 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12719 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 11160 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 12274 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12697 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 12675 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 12666 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12749 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 12652 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 16286 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 12634 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 12634 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2736 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2736 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 12421 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 11156 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 12294 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 11343 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7365 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 12304 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12725 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 12291 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 12675 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 12666 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 12336 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 12642 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 16286 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 12247 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 12634 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 12433 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2736 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 12636 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 11339 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7365 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12738 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 11343 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 12675 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 12666 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12747 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 12652 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 16286 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 12634 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 12232 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 12634 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2736 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2736 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 11160 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7365 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2764 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 12316 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7363 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12703 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2764 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 12666 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12750 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 12320 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 12643 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 16286 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16984 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7353  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  6c6 12208  7c7 12209  8c8 12210  9c9 12211  cdc 12614  cprime 16539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-dvds 16129  df-prm 16540
This theorem is referenced by:  bpos1  26615
  Copyright terms: Public domain W3C validator