Theorem 83prm 16752

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12186	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 11982	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12386	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12181	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12503	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11998	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12498	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12404	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12395	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12505	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12404	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 11978	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 10911	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 11967	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 16692	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12180	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12185	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 11976	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12069	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12062	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 12175	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12476	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12046	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12426	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12419	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12075	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12081	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 16693	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 11995	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 11992	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 12171	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 10910	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12052	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12444	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12419	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12089	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 11914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 10914	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12500	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 12404	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 11989	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 12171	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 11994	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 10911	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12471	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 12028	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12449	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 12427	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12501	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 12404	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 10911	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 12048	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 11097	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 12058	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12477	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 12045	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 12427	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 12090	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 12394	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 12001	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 12187	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12490	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 11097	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 12427	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12499	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 12404	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 11986	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 10915	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 12070	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12455	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12502	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 12074	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 12395	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 16749	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  bpos1  26336