MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 16273
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 11757 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 11553 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11956 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 11753 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 11951 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11752 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11750 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12074 . . 3 3 < 10
9 8nn 11569 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12069 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 11974 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11965 . 2 83 < 841
13 1lt10 12076 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 11974 . 2 1 < 83
15 2cn 11549 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 10481 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 11538 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 16216 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 11751 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 11756 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 11951 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 11547 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 11749 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2793 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 11958 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 11640 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 10664 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7019 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 11633 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2817 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 11746 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 11555 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12047 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 10485 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 11617 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11996 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11989 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 11646 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 15584 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 11652 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 16217 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 11566 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 11951 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 11563 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 11742 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2793 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 11958 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 10480 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 10430 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 10664 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7019 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 11623 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2817 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7017 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12015 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2817 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11989 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 11660 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 15584 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 11486 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 11956 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 11485 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 10484 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7017 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2817 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12071 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 11974 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 15584 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 11956 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 11560 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 11742 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2793 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 11958 . . . 4 5 = 05
74 6cn 11565 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 10481 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7019 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2817 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12042 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 10485 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 11599 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12020 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11997 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11988 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12072 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 11974 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 15584 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 11956 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 11956 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2793 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2793 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 11746 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 10481 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 11619 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 10668 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7019 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 11629 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2817 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12048 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 11616 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11997 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11988 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 11661 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 11964 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 15584 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 11572 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 11956 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 11758 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2793 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 11958 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 10664 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7019 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2817 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12061 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 10668 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11997 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11988 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12070 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 11974 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 15584 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 11956 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 11557 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 11956 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2793 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2793 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 10485 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7019 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2817 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 11641 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7017 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12026 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2817 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11988 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12073 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 11645 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11965 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 15584 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16270 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2079  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  2c2 11529  3c3 11530  4c4 11531  5c5 11532  6c6 11533  7c7 11534  8c8 11535  9c9 11536  cdc 11936  cprime 15832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-prm 15833
This theorem is referenced by:  bpos1  25529
  Copyright terms: Public domain W3C validator