Theorem 83prm 16273

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 11757	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 11553	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11956	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 11753	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 11951	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11752	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11750	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12074	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11569	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12069	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 11974	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11965	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12076	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 11974	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 11549	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 10481	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 11538	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 16216	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 11751	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 11756	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 11951	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 11547	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 11749	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 11958	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 11640	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 10664	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 11633	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 11746	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 11555	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12047	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 10485	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 11617	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11996	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11989	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 11646	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 11652	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 16217	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 11566	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 11951	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 11563	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 11742	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 11958	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 10480	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 10430	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10664	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 11623	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7017	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12015	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11989	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 11660	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 11486	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 11485	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 10484	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7017	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2817	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12071	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 11974	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 11560	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 11742	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 11958	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 11565	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 10481	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12042	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 10485	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 11599	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12020	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11997	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11988	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12072	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 11974	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 11746	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 10481	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 11619	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 10668	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 11629	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12048	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 11616	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11997	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11988	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 11661	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 11964	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 11572	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 11758	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 11958	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 10664	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12061	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 10668	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11997	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11988	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12070	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 11974	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 11557	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 11956	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 10485	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7019	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 11641	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7017	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12026	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2817	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11988	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12073	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 11645	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 11965	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 15584	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 16270	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  2c2 11529  3c3 11530  4c4 11531  5c5 11532  6c6 11533  7c7 11534  8c8 11535  9c9 11536  ;cdc 11936  ℙcprime 15832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-prm 15833

This theorem is referenced by:  bpos1  25529