Theorem 83prm 17200

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12538	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12331	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12746	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12534	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12533	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12531	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12865	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12347	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12860	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12765	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12756	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12867	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12765	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12327	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 11225	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12315	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 17140	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12532	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12537	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12325	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12530	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12749	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12417	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12410	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31		7cn 12346	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12333	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12837	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12394	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12787	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12780	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12425	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12432	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 17141	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12344	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12341	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45		6nn0 12536	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12749	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 11224	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 11169	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12400	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12805	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12780	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12440	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		11nn 12747	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
61		1nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	7, 61	decnncl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	62	nncni 12254	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
64	63, 31	mulcomi 11228	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
65	64	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
66	65, 57	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
67		6lt10 12862	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
68	61, 7, 45, 67	declti 12765	. . 3 ⊢ 6 < ;11
69	60, 20, 44, 66, 68	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
70	7, 2	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
71		5nn 12338	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
72		5nn0 12535	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
73		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
74	72	dec0h 12749	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
75		6cn 12343	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
76	75	mullidi 11225	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
77	76, 27	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
78	77, 29	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
79		6t3e18 12832	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
80	75, 32, 79	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
81		1p1e2 12375	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
82		8p5e13 12810	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
83	7, 1, 72, 80, 81, 6, 82	decaddci 12788	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
84	7, 6, 23, 72, 73, 74, 45, 6, 19, 78, 83	decmac 12779	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
85		5lt10 12863	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
86	61, 6, 72, 85	declti 12765	. . 3 ⊢ 5 < ;13
87	70, 45, 71, 84, 86	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
88	7, 42	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
89	7, 71	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
90		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
91		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
92		4cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
93	92	mullidi 11225	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
94		3p1e4 12396	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
95	32, 49, 94	addcomli 11413	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
96	93, 95	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
97		4p4e8 12406	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
98	96, 97	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
99		7t4e28 12838	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
100		2p1e3 12393	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
101	19, 1, 72, 99, 100, 6, 82	decaddci 12788	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
102	7, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 101	decmac 12779	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
103		5lt7 12441	. . . 4 ⊢ 5 < 7
104	7, 72, 42, 103	declt 12755	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
105	88, 4, 89, 102, 104	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
106		9nn 12350	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
107	7, 106	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
108		9nn0 12539	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
109		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
110	20	dec0h 12749	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
111	92	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
112	93, 111	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
113	112, 97	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
114		9t4e36 12851	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
115	31, 75, 55	addcomli 11413	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
116	6, 45, 20, 114, 94, 6, 115	decaddci 12788	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
117	7, 108, 23, 20, 109, 110, 4, 6, 4, 113, 116	decmac 12779	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
118		7lt10 12861	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
119	61, 108, 20, 118	declti 12765	. . 3 ⊢ 7 < ;19
120	107, 4, 42, 117, 119	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
121	19, 2	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
122		4nn 12335	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
123	7, 122	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
124		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
125		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
126		2t3e6 12418	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
127	126, 81	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
128	127, 29	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
129		3t3e9 12419	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
130	129	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
131		9p4e13 12816	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
132	130, 131	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
133	19, 6, 7, 4, 124, 125, 6, 6, 7, 128, 132	decmac 12779	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
134		4lt10 12864	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
135		1lt2 12424	. . . 4 ⊢ 1 < 2
136	7, 19, 4, 6, 134, 135	decltc 12756	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
137	121, 6, 123, 133, 136	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
138	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 69, 87, 105, 120, 137	prmlem2 17197	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12722  ℙcprime 16746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-prm 16747

This theorem is used by:  bpos1  27476