Theorem 83prm 16824

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12256	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12052	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12457	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12252	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12574	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12569	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12475	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12466	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12576	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12475	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12048	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 10980	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12037	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 16764	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12255	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12046	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12139	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12132	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 12245	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12054	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12547	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12116	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12490	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12145	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12151	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 16765	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12065	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12062	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 12241	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 10979	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12122	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12515	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12490	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12159	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 10983	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12571	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 12475	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 12059	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 12241	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 12064	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12542	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 12098	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12520	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 12498	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12572	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 12475	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 12118	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 12128	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12548	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 12115	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 12498	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 12160	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 12465	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 12071	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 12257	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12561	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 11167	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 12498	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12570	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 12475	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 12056	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 10984	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 12140	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12526	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12573	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 12144	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 12466	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 16821	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  bpos1  26431