Theorem 83prm 17179

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12523	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12316	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12731	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12518	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12332	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12845	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12750	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12741	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12852	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12750	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 11210	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12300	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 17119	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12517	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12522	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12310	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12515	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12402	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12395	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 12512	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12318	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12822	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12379	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12772	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12765	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12410	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12417	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 17120	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12329	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12326	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 12508	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 11209	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 11154	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12385	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12790	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12765	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12425	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 12240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 12239	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 11213	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7418	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12847	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 12750	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 12323	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 12508	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 12328	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mullidi 11210	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12817	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 12360	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12795	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 12773	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12848	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 12750	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mullidi 11210	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 12381	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 11398	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 12391	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12823	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 12378	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 12773	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 12426	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 12740	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 12335	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 12524	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12836	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 11398	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 12773	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12846	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 12750	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 12320	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 11214	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 12404	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12801	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12849	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 12409	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 12741	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 17176	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12707  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726

This theorem is referenced by:  bpos1  27409