Theorem 83prm 17170

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12576	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12372	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12778	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12571	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12895	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12890	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12796	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12787	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12796	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 11295	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12357	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 17110	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12575	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12366	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12459	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12452	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12374	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12868	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12436	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12465	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12471	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 17111	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12382	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 12561	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 11294	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12442	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12836	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12479	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 12304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 12303	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 11298	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 12892	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 12796	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 12379	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 12561	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 12384	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 12863	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 12418	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 12841	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 12819	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 12893	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 12796	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 12565	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 12438	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 11482	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 12448	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 12869	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 12435	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 12819	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 12480	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 12786	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 12391	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 12577	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 12882	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 11482	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 12819	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 12891	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 12796	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 12376	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 12460	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 12847	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 12894	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 12464	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 12787	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 17167	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  bpos1  27345