MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 17092
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 12526 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 12322 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12728 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 12522 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 12723 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12521 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12519 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12845 . . 3 3 < 10
9 8nn 12338 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 12840 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 12746 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12737 . 2 83 < 841
13 1lt10 12847 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 12746 . 2 1 < 83
15 2cn 12318 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mullidi 11250 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 12307 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 17032 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 12520 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 12525 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 12723 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 12316 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 12518 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2728 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 12730 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 12409 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addlidi 11433 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 7432 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 12402 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2756 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 12515 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 12324 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 12818 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 11254 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 12386 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 12768 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 12761 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 12415 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 16389 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 12421 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 17033 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 12335 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 12723 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 12332 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 12511 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2728 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 12730 . . . 4 6 = 06
4831mulridi 11249 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addlidi 11433 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 7432 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 12392 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2756 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 7430 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 12786 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2756 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 12761 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 12429 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 16389 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 12254 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 12728 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 12253 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 11253 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 7430 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2756 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 12842 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 12746 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 16389 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 12728 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 12329 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 12511 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2728 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 12730 . . . 4 5 = 05
74 6cn 12334 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mullidi 11250 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 7432 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2756 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 12813 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 11254 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 12368 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 12791 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 12769 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 12760 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 12843 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 12746 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 16389 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 12728 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 12728 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2728 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2728 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 12515 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mullidi 11250 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 12388 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 11437 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 7432 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 12398 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2756 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 12819 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 12385 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 12769 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 12760 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 12430 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 12736 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 16389 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 12341 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 12728 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 12527 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2728 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 12730 . . . 4 7 = 07
11091addlidi 11433 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 7432 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2756 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 12832 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 11437 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 12769 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 12760 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 12841 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 12746 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 16389 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 12728 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 12326 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 12728 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2728 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2728 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 11254 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 7432 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2756 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 12410 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 7430 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 12797 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2756 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 12760 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 12844 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 12414 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 12737 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 16389 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 17089 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  7c7 12303  8c8 12304  9c9 12305  cdc 12708  cprime 16642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643
This theorem is referenced by:  bpos1  27229
  Copyright terms: Public domain W3C validator