Theorem 83prm 17294

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 12622	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 12415	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12831	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 12618	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12617	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12615	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12950	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12431	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 12945	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 12850	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12841	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 12952	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 12850	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 12411	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 11307	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 12399	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 17234	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 12616	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 12621	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 12409	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 12614	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 12501	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 12494	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31		7cn 12430	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 12417	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 12922	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 12478	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 12865	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 12509	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 12516	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 17235	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 12428	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 12425	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45		6nn0 12620	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 11306	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 11251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 12484	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 12890	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 12865	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 12524	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		11nn 12832	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
61		1nn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	7, 61	decnncl 12831	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	62	nncni 12338	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
64	63, 31	mulcomi 11310	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
65	64	oveq1i 7428	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
66	65, 57	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
67		6lt10 12947	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
68	61, 7, 45, 67	declti 12850	. . 3 ⊢ 6 < ;11
69	60, 20, 44, 66, 68	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
70	7, 2	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
71		5nn 12422	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
72		5nn0 12619	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
73		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
74	72	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
75		6cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
76	75	mullidi 11307	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
77	76, 27	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
78	77, 29	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
79		6t3e18 12917	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
80	75, 32, 79	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
81		1p1e2 12459	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
82		8p5e13 12895	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
83	7, 1, 72, 80, 81, 6, 82	decaddci 12873	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
84	7, 6, 23, 72, 73, 74, 45, 6, 19, 78, 83	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
85		5lt10 12948	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
86	61, 6, 72, 85	declti 12850	. . 3 ⊢ 5 < ;13
87	70, 45, 71, 84, 86	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
88	7, 42	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
89	7, 71	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
90		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
91		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
92		4cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
93	92	mullidi 11307	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
94		3p1e4 12480	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
95	32, 49, 94	addcomli 11495	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
96	93, 95	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
97		4p4e8 12490	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
98	96, 97	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
99		7t4e28 12923	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
100		2p1e3 12477	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
101	19, 1, 72, 99, 100, 6, 82	decaddci 12873	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
102	7, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 101	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
103		5lt7 12525	. . . 4 ⊢ 5 < 7
104	7, 72, 42, 103	declt 12840	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
105	88, 4, 89, 102, 104	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
106		9nn 12434	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
107	7, 106	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
108		9nn0 12623	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
109		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
110	20	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
111	92	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
112	93, 111	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
113	112, 97	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
114		9t4e36 12936	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
115	31, 75, 55	addcomli 11495	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
116	6, 45, 20, 114, 94, 6, 115	decaddci 12873	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
117	7, 108, 23, 20, 109, 110, 4, 6, 4, 113, 116	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
118		7lt10 12946	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
119	61, 108, 20, 118	declti 12850	. . 3 ⊢ 7 < ;19
120	107, 4, 42, 117, 119	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
121	19, 2	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
122		4nn 12419	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
123	7, 122	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
124		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
125		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
126		2t3e6 12502	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
127	126, 81	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
128	127, 29	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
129		3t3e9 12503	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
130	129	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
131		9p4e13 12901	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
132	130, 131	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
133	19, 6, 7, 4, 124, 125, 6, 6, 7, 128, 132	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
134		4lt10 12949	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
135		1lt2 12508	. . . 4 ⊢ 1 < 2
136	7, 19, 4, 6, 134, 135	decltc 12841	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
137	121, 6, 123, 133, 136	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
138	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 69, 87, 105, 120, 137	prmlem2 17291	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by:  bpos1  27603