MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 16061
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 11602 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 11392 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11799 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 11598 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 11794 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11597 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11595 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11916 . . 3 3 < 10
9 8nn 11413 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 11911 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 11817 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11808 . 2 83 < 841
13 1lt10 11918 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 11817 . 2 1 < 83
15 2cn 11388 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 10340 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 11377 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 16004 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 11596 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 11601 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 11794 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 11386 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 11594 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2817 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 11801 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 11485 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 6896 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 11478 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2839 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 11591 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 11394 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 11889 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 11463 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11839 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11832 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 11491 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 15375 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 11497 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 16005 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 11409 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 11794 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 11405 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 11587 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2817 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 11801 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 10339 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 10289 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 6896 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 11468 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2839 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 6894 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 11857 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2839 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11832 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 11505 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 15375 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 11328 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 11799 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 11326 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 10343 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 6894 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2839 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 11913 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 11817 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 15375 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 11799 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 11401 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 11587 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2817 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 11801 . . . 4 5 = 05
74 6cn 11407 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 11884 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 11445 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 11862 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11840 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11831 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 11914 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 11817 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 15375 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 11799 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 11799 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2817 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2817 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 11591 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 11464 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 10523 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 11474 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 11890 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 11462 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11840 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11831 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 11506 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 11807 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 15375 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 11417 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 11799 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 11603 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2817 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 11801 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 11903 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 10523 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11840 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11831 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 11912 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 11817 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 15375 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 11799 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 11397 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 11799 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2817 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2817 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 10344 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 6896 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2839 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 11486 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 6894 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 11868 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2839 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11831 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 11915 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 11490 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11808 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 15375 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16058 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779  cprime 15623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624
This theorem is referenced by:  bpos1  25245
  Copyright terms: Public domain W3C validator