Theorem 3lexlogpow2ineq2 42772

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1572	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12320	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12490	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14160	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12344	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12348	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11345	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 42687	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14160	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12318	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11345	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 11996	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13056	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2cn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		4t2e8 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
37	20, 35, 36	mulcomli 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
39		8lt9 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
41	38, 40	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
42	31, 33, 34, 41	ltdiv1dd 13116	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
43	28, 42	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
44		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
45		3t3e9 12407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
46	44, 45	eqtr4i 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
48		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
49		2t2e4 12403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
50	48, 49	eqtr4i 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
52	47, 51	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
53	5	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
54	3	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
55	9	gt0ne0d 11777	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
56	53, 54, 53, 54, 55, 55	divmuldivd 12031	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
58	52, 57	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	6	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60		sqval 14149	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
61	60	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
62	59, 61	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
63	58, 62	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
64	43, 63	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65		3lexlogpow2ineq1 42771	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
67	66	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68		2nn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70		3rp 13021	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
72	71	rphalfcld 13071	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
73	5, 3, 11, 9	divgt0d 12149	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
74	22, 6, 17, 73, 67	lttrd 11370	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
75	17, 74	elrpd 13056	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76		rpexpmord 14203	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
77	69, 72, 75, 76	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
78	67, 77	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
79	3, 7, 18, 64, 78	lttrd 11370	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80		5re 12327	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
82	22, 11	gtned 11344	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
83	81, 5, 82	redivcld 12042	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
84	69	nnnn0d 12564	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
85	83, 84	reexpcld 14198	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
86	66	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87		5nn 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 13057	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
90	89, 71	rpdivcld 13076	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91		rpexpmord 14203	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
92	69, 75, 90, 91	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
93	86, 92	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
94	83	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
95	94	sqvald 14178	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
96	81	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
97	96, 53, 96, 53, 82, 82	divmuldivd 12031	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98		5t5e25 12818	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
100	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
101	99, 100	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
102		2nn0 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
103		5nn0 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
104		7nn 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
105		5lt7 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
106	102, 103, 104, 105	declt 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
107		9cn 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
108		3cn 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		9t3e27 12838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
110	107, 108, 109	mulcomli 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
111	106, 110	breqtrri 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
113	102, 87	decnncl 12734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
115	114	nnred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
116		9nn 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118	117	nnrpd 13057	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119	115, 5, 118	ltdivmul2d 13111	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
120	112, 119	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
121	101, 120	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
122	97, 121	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
123	95, 122	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
124	18, 85, 5, 93, 123	lttrd 11370	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
125	79, 124	jca 520	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
126	1, 125	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  7c7 12299  8c8 12300  9c9 12301  ;cdc 12710  ℝ⁺crp 13015  ↑cexp 14096   log_b clogb 26905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698  df-logb 26906

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42789  aks6d1c7lem1  42893