Theorem 3lexlogpow2ineq2 42912

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12518	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14191	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12372	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12376	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11373	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 42827	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14191	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12346	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12024	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13085	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2t4e8 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
37		8lt9 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
39	36, 38	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
40	31, 33, 34, 39	ltdiv1dd 13145	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
41	28, 40	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
42		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
43		3t3e9 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
44	42, 43	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
46		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
47		2t2e4 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
48	46, 47	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
50	45, 49	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
51	5	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
52	3	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
53	9	gt0ne0d 11805	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
54	51, 52, 51, 52, 53, 53	divmuldivd 12059	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
55	54	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
56	50, 55	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
57	6	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
58		sqval 14180	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	58	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
61	56, 60	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
62	41, 61	breqtrd 5135	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
63		3lexlogpow2ineq1 42911	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
65	64	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
66		2nn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
68		3rp 13050	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
70	69	rphalfcld 13100	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
71	5, 3, 11, 9	divgt0d 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
72	22, 6, 17, 71, 65	lttrd 11398	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
73	17, 72	elrpd 13085	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
74		rpexpmord 14234	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
75	67, 70, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
76	65, 75	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
77	3, 7, 18, 62, 76	lttrd 11398	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
78		5re 12355	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
80	22, 11	gtned 11372	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
81	79, 5, 80	redivcld 12070	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
82	67	nnnn0d 12592	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
83	81, 82	reexpcld 14229	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
84	64	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
85		5nn 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
87	86	nnrpd 13086	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
88	87, 69	rpdivcld 13105	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
89		rpexpmord 14234	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
90	67, 73, 88, 89	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
91	84, 90	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
92	81	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
93	92	sqvald 14209	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
94	79	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
95	94, 51, 94, 51, 80, 80	divmuldivd 12059	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
96		5t5e25 12847	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
98	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
99	97, 98	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
100		2nn0 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101		5nn0 12551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
102		7nn 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
103		5lt7 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
104	100, 101, 102, 103	declt 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
105		9cn 12368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
106		3cn 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
107		9t3e27 12867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	105, 106, 107	mulcomli 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
109	104, 108	breqtrri 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
111	100, 85	decnncl 12763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
113	112	nnred 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
114		9nn 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
116	115	nnrpd 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
117	113, 5, 116	ltdivmul2d 13140	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
118	110, 117	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
119	99, 118	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
120	95, 119	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
121	93, 120	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
122	18, 83, 5, 91, 121	lttrd 11398	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
123	77, 122	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
124	1, 123	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   < clt 11270   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  ;cdc 12739  ℝ⁺crp 13044  ↑cexp 14127   log_b clogb 26999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792  df-logb 27000

This theorem is used by:  aks4d1p1  42929  aks6d1c7lem1  43033