Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq2 40067
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq2 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2
StepHypRef Expression
1 tru 1543 . 2
2 2re 12047 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 3re 12053 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
65rehalfcld 12220 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 13965 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 2pos 12076 . . . . . . 7 0 < 2
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 2)
10 3pos 12078 . . . . . . 7 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 3)
12 1red 10976 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13 1lt2 12144 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
1512, 14ltned 11111 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ≠ 2)
1615necomd 2999 . . . . . 6 (⊤ → 2 ≠ 1)
173, 9, 5, 11, 16relogbcld 39981 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
1817resqcld 13965 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19 2cnd 12051 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20 4cn 12058 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22 0red 10978 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23 4pos 12080 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 4)
2522, 24ltned 11111 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 4)
2625necomd 2999 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ≠ 0)
2719, 21, 26divcan4d 11757 . . . . . . 7 (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
2827eqcomd 2744 . . . . . 6 (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29 4re 12057 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
313, 30remulcld 11005 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32 9re 12072 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
3430, 24elrpd 12769 . . . . . . 7 (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35 2cn 12048 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 4t2e8 12141 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
3720, 35, 36mulcomli 10984 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 · 4) = 8)
39 8lt9 12172 . . . . . . . . 9 8 < 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 < 9)
4138, 40eqbrtrd 5096 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) < 9)
4231, 33, 34, 41ltdiv1dd 12829 . . . . . 6 (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
4328, 42eqbrtrd 5096 . . . . 5 (⊤ → 2 < (9 / 4))
44 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 9 = 9
45 3t3e9 12140 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4644, 45eqtr4i 2769 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4746a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 9 = (3 · 3))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 4 = 4
49 2t2e4 12137 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
5048, 49eqtr4i 2769 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 = (2 · 2))
5247, 51oveq12d 7293 . . . . . . 7 (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
535recnd 11003 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
543recnd 11003 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
559gt0ne0d 11539 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ≠ 0)
5653, 54, 53, 54, 55, 55divmuldivd 11792 . . . . . . . 8 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
5756eqcomd 2744 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
5852, 57eqtrd 2778 . . . . . 6 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
596recnd 11003 . . . . . . 7 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60 sqval 13835 . . . . . . . 8 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
6160eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6358, 62eqtrd 2778 . . . . 5 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
6443, 63breqtrd 5100 . . . 4 (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65 3lexlogpow2ineq1 40066 . . . . . . 7 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
6766simpld 495 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68 2nn 12046 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
6968a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70 3rp 12736 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
7271rphalfcld 12784 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
735, 3, 11, 9divgt0d 11910 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < (3 / 2))
7422, 6, 17, 73, 67lttrd 11136 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
7517, 74elrpd 12769 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76 rpexpmord 13886 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7769, 72, 75, 76syl3anc 1370 . . . . 5 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7867, 77mpbid 231 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
793, 7, 18, 64, 78lttrd 11136 . . 3 (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80 5re 12060 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
8222, 11gtned 11110 . . . . . 6 (⊤ → 3 ≠ 0)
8381, 5, 82redivcld 11803 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
8469nnnn0d 12293 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
8583, 84reexpcld 13881 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
8666simprd 496 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87 5nn 12059 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
8988nnrpd 12770 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
9089, 71rpdivcld 12789 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91 rpexpmord 13886 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9269, 75, 90, 91syl3anc 1370 . . . . 5 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9386, 92mpbid 231 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
9483recnd 11003 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
9594sqvald 13861 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
9681recnd 11003 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9796, 53, 96, 53, 82, 82divmuldivd 11792 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98 5t5e25 12540 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 5) = 25)
10045a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (3 · 3) = 9)
10199, 100oveq12d 7293 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (25 / 9))
102 2nn0 12250 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
103 5nn0 12253 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
104 7nn 12065 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ
105 5lt7 12160 . . . . . . . . . . 11 5 < 7
106102, 103, 104, 105declt 12465 . . . . . . . . . 10 25 < 27
107 9cn 12073 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
108 3cn 12054 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
109 9t3e27 12560 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
110107, 108, 109mulcomli 10984 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
111106, 110breqtrri 5101 . . . . . . . . 9 25 < (3 · 9)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 25 < (3 · 9))
113102, 87decnncl 12457 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 25 ∈ ℕ)
115114nnred 11988 . . . . . . . . 9 (⊤ → 25 ∈ ℝ)
116 9nn 12071 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118117nnrpd 12770 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119115, 5, 118ltdivmul2d 12824 . . . . . . . 8 (⊤ → ((25 / 9) < 3 ↔ 25 < (3 · 9)))
120112, 119mpbird 256 . . . . . . 7 (⊤ → (25 / 9) < 3)
121101, 120eqbrtrd 5096 . . . . . 6 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
12297, 121eqbrtrd 5096 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
12395, 122eqbrtrd 5096 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
12418, 85, 5, 93, 123lttrd 11136 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
12579, 124jca 512 . 2 (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
1261, 125ax-mp 5 1 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  cdc 12437  +crp 12730  cexp 13782   logb clogb 25914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40084
  Copyright terms: Public domain W3C validator