Theorem 3lexlogpow2ineq2 43110

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1573	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12417	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12423	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12593	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14268	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12447	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12451	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11446	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 43025	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14268	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12099	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11339	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12442	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13161	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2t4e8 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
37		8lt9 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
39	36, 38	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
40	31, 33, 34, 39	ltdiv1dd 13221	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
41	28, 40	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
42		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
43		3t3e9 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
44	42, 43	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
46		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
47		2t2e4 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
48	46, 47	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
50	45, 49	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
51	5	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
52	3	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
53	9	gt0ne0d 11880	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
54	51, 52, 51, 52, 53, 53	divmuldivd 12134	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
55	54	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
56	50, 55	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
57	6	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
58		sqval 14257	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	58	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
61	56, 60	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
62	41, 61	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
63		3lexlogpow2ineq1 43109	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
65	64	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
66		2nn 12416	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
68		3rp 13126	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
70	69	rphalfcld 13176	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
71	5, 3, 11, 9	divgt0d 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
72	22, 6, 17, 71, 65	lttrd 11471	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
73	17, 72	elrpd 13161	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
74		rpexpmord 14311	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
75	67, 70, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
76	65, 75	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
77	3, 7, 18, 62, 76	lttrd 11471	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
78		5re 12430	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
80	22, 11	gtned 11445	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
81	79, 5, 80	redivcld 12145	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
82	67	nnnn0d 12667	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
83	81, 82	reexpcld 14306	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
84	64	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
85		5nn 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
87	86	nnrpd 13162	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
88	87, 69	rpdivcld 13181	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
89		rpexpmord 14311	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
90	67, 73, 88, 89	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
91	84, 90	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
92	81	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
93	92	sqvald 14286	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
94	79	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
95	94, 51, 94, 51, 80, 80	divmuldivd 12134	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
96		5t5e25 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
98	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
99	97, 98	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
100		2nn0 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101		5nn0 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
102		7nn 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
103		5lt7 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
104	100, 101, 102, 103	declt 12847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
105		9cn 12443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
106		3cn 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
107		9t3e27 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	105, 106, 107	mulcomli 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
109	104, 108	breqtrri 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
111	100, 85	decnncl 12838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
113	112	nnred 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
114		9nn 12441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
116	115	nnrpd 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
117	113, 5, 116	ltdivmul2d 13216	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
118	110, 117	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
119	99, 118	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
120	95, 119	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
121	93, 120	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
122	18, 83, 5, 91, 121	lttrd 11471	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
123	77, 122	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
124	1, 123	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  7c7 12402  8c8 12403  9c9 12404  ;cdc 12814  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204   log_b clogb 27092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093

This theorem is used by:  aks4d1p1  43127  aks6d1c7lem1  43231