Theorem 3lexlogpow2ineq2 43300

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12441	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12447	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12617	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14292	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12471	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12475	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11470	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 43215	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14292	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12445	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12123	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11363	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12466	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13185	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2t4e8 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
37		8lt9 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
39	36, 38	eqbrtrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
40	31, 33, 34, 39	ltdiv1dd 13245	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
41	28, 40	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
43		3t3e9 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
44	42, 43	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
46		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
47		2t2e4 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
48	46, 47	eqtr4i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
50	45, 49	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
51	5	recnd 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
52	3	recnd 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
53	9	gt0ne0d 11904	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
54	51, 52, 51, 52, 53, 53	divmuldivd 12158	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
55	54	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
56	50, 55	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
57	6	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
58		sqval 14281	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	58	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
61	56, 60	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
62	41, 61	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
63		3lexlogpow2ineq1 43299	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
65	64	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
66		2nn 12440	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
68		3rp 13150	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
70	69	rphalfcld 13200	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
71	5, 3, 11, 9	divgt0d 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
72	22, 6, 17, 71, 65	lttrd 11495	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
73	17, 72	elrpd 13185	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
74		rpexpmord 14335	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
75	67, 70, 73, 74	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
76	65, 75	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
77	3, 7, 18, 62, 76	lttrd 11495	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
78		5re 12454	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
80	22, 11	gtned 11469	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
81	79, 5, 80	redivcld 12169	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
82	67	nnnn0d 12691	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
83	81, 82	reexpcld 14330	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
84	64	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
85		5nn 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
87	86	nnrpd 13186	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
88	87, 69	rpdivcld 13205	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
89		rpexpmord 14335	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
90	67, 73, 88, 89	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
91	84, 90	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
92	81	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
93	92	sqvald 14310	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
94	79	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
95	94, 51, 94, 51, 80, 80	divmuldivd 12158	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
96		5t5e25 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
98	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
99	97, 98	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
100		2nn0 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101		5nn0 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
102		7nn 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
103		5lt7 12556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
104	100, 101, 102, 103	declt 12871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
105		9cn 12467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
106		3cn 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
107		9t3e27 12966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	105, 106, 107	mulcomli 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
109	104, 108	breqtrri 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
111	100, 85	decnncl 12862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
113	112	nnred 12374	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
114		9nn 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
116	115	nnrpd 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
117	113, 5, 116	ltdivmul2d 13240	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
118	110, 117	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
119	99, 118	eqbrtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
120	95, 119	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
121	93, 120	eqbrtrd 5130	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
122	18, 83, 5, 91, 121	lttrd 11495	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
123	77, 122	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
124	1, 123	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229   < clt 11367   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  5c5 12424  7c7 12426  8c8 12427  9c9 12428  ;cdc 12838  ℝ⁺crp 13144  ↑cexp 14228   log_b clogb 27119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912  df-logb 27120

This theorem is used by:  aks4d1p1  43317  aks6d1c7lem1  43421