Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq2 42040
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq2 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2
StepHypRef Expression
1 tru 1540 . 2
2 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 3re 12343 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
65rehalfcld 12510 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 14161 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 2pos 12366 . . . . . . 7 0 < 2
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 2)
10 3pos 12368 . . . . . . 7 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 3)
12 1red 11259 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13 1lt2 12434 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
1512, 14ltned 11394 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ≠ 2)
1615necomd 2993 . . . . . 6 (⊤ → 2 ≠ 1)
173, 9, 5, 11, 16relogbcld 41954 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
1817resqcld 14161 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19 2cnd 12341 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20 4cn 12348 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22 0red 11261 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23 4pos 12370 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 4)
2522, 24ltned 11394 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 4)
2625necomd 2993 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ≠ 0)
2719, 21, 26divcan4d 12046 . . . . . . 7 (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
2827eqcomd 2740 . . . . . 6 (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29 4re 12347 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
313, 30remulcld 11288 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32 9re 12362 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
3430, 24elrpd 13071 . . . . . . 7 (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35 2cn 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 4t2e8 12431 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
3720, 35, 36mulcomli 11267 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 · 4) = 8)
39 8lt9 12462 . . . . . . . . 9 8 < 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 < 9)
4138, 40eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) < 9)
4231, 33, 34, 41ltdiv1dd 13131 . . . . . 6 (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
4328, 42eqbrtrd 5169 . . . . 5 (⊤ → 2 < (9 / 4))
44 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 9 = 9
45 3t3e9 12430 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4644, 45eqtr4i 2765 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4746a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 9 = (3 · 3))
48 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 4 = 4
49 2t2e4 12427 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
5048, 49eqtr4i 2765 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 = (2 · 2))
5247, 51oveq12d 7448 . . . . . . 7 (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
535recnd 11286 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
543recnd 11286 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
559gt0ne0d 11824 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ≠ 0)
5653, 54, 53, 54, 55, 55divmuldivd 12081 . . . . . . . 8 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
5756eqcomd 2740 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
5852, 57eqtrd 2774 . . . . . 6 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
596recnd 11286 . . . . . . 7 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60 sqval 14151 . . . . . . . 8 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
6160eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6358, 62eqtrd 2774 . . . . 5 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
6443, 63breqtrd 5173 . . . 4 (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65 3lexlogpow2ineq1 42039 . . . . . . 7 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
6766simpld 494 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68 2nn 12336 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
6968a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70 3rp 13037 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
7271rphalfcld 13086 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
735, 3, 11, 9divgt0d 12200 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < (3 / 2))
7422, 6, 17, 73, 67lttrd 11419 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
7517, 74elrpd 13071 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76 rpexpmord 14204 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7769, 72, 75, 76syl3anc 1370 . . . . 5 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7867, 77mpbid 232 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
793, 7, 18, 64, 78lttrd 11419 . . 3 (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80 5re 12350 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
8222, 11gtned 11393 . . . . . 6 (⊤ → 3 ≠ 0)
8381, 5, 82redivcld 12092 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
8469nnnn0d 12584 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
8583, 84reexpcld 14199 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
8666simprd 495 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87 5nn 12349 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
8988nnrpd 13072 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
9089, 71rpdivcld 13091 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91 rpexpmord 14204 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9269, 75, 90, 91syl3anc 1370 . . . . 5 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9386, 92mpbid 232 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
9483recnd 11286 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
9594sqvald 14179 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
9681recnd 11286 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9796, 53, 96, 53, 82, 82divmuldivd 12081 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98 5t5e25 12833 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 5) = 25)
10045a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (3 · 3) = 9)
10199, 100oveq12d 7448 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (25 / 9))
102 2nn0 12540 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
103 5nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
104 7nn 12355 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ
105 5lt7 12450 . . . . . . . . . . 11 5 < 7
106102, 103, 104, 105declt 12758 . . . . . . . . . 10 25 < 27
107 9cn 12363 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
108 3cn 12344 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
109 9t3e27 12853 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
110107, 108, 109mulcomli 11267 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
111106, 110breqtrri 5174 . . . . . . . . 9 25 < (3 · 9)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 25 < (3 · 9))
113102, 87decnncl 12750 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 25 ∈ ℕ)
115114nnred 12278 . . . . . . . . 9 (⊤ → 25 ∈ ℝ)
116 9nn 12361 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118117nnrpd 13072 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119115, 5, 118ltdivmul2d 13126 . . . . . . . 8 (⊤ → ((25 / 9) < 3 ↔ 25 < (3 · 9)))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . 7 (⊤ → (25 / 9) < 3)
121101, 120eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
12297, 121eqbrtrd 5169 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
12395, 122eqbrtrd 5169 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
12418, 85, 5, 93, 123lttrd 11419 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
12579, 124jca 511 . 2 (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
1261, 125ax-mp 5 1 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  7c7 12323  8c8 12324  9c9 12325  cdc 12730  +crp 13031  cexp 14098   logb clogb 26821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42057  aks6d1c7lem1  42161
  Copyright terms: Public domain W3C validator