Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq2 39709
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq2 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2
StepHypRef Expression
1 tru 1546 . 2
2 2re 11792 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 3re 11798 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
65rehalfcld 11965 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 13705 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 2pos 11821 . . . . . . 7 0 < 2
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 2)
10 3pos 11823 . . . . . . 7 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 3)
12 1red 10722 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13 1lt2 11889 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
1512, 14ltned 10856 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ≠ 2)
1615necomd 2989 . . . . . 6 (⊤ → 2 ≠ 1)
173, 9, 5, 11, 16relogbcld 39622 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
1817resqcld 13705 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19 2cnd 11796 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20 4cn 11803 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22 0red 10724 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23 4pos 11825 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 4)
2522, 24ltned 10856 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 4)
2625necomd 2989 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ≠ 0)
2719, 21, 26divcan4d 11502 . . . . . . 7 (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
2827eqcomd 2744 . . . . . 6 (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29 4re 11802 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
313, 30remulcld 10751 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32 9re 11817 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
3430, 24elrpd 12513 . . . . . . 7 (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35 2cn 11793 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 4t2e8 11886 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
3720, 35, 36mulcomli 10730 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 · 4) = 8)
39 8lt9 11917 . . . . . . . . 9 8 < 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 < 9)
4138, 40eqbrtrd 5052 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) < 9)
4231, 33, 34, 41ltdiv1dd 12573 . . . . . 6 (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
4328, 42eqbrtrd 5052 . . . . 5 (⊤ → 2 < (9 / 4))
44 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 9 = 9
45 3t3e9 11885 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4644, 45eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4746a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 9 = (3 · 3))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 4 = 4
49 2t2e4 11882 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
5048, 49eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 = (2 · 2))
5247, 51oveq12d 7190 . . . . . . 7 (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
535recnd 10749 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
543recnd 10749 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
559gt0ne0d 11284 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ≠ 0)
5653, 54, 53, 54, 55, 55divmuldivd 11537 . . . . . . . 8 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
5756eqcomd 2744 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
5852, 57eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
596recnd 10749 . . . . . . 7 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60 sqval 13575 . . . . . . . 8 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
6160eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6358, 62eqtrd 2773 . . . . 5 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
6443, 63breqtrd 5056 . . . 4 (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65 3lexlogpow2ineq1 39708 . . . . . . 7 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
6766simpld 498 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68 2nn 11791 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
6968a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70 3rp 12480 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
7271rphalfcld 12528 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
735, 3, 11, 9divgt0d 11655 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < (3 / 2))
7422, 6, 17, 73, 67lttrd 10881 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
7517, 74elrpd 12513 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76 rpexpmord 13626 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7769, 72, 75, 76syl3anc 1372 . . . . 5 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7867, 77mpbid 235 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
793, 7, 18, 64, 78lttrd 10881 . . 3 (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80 5re 11805 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
8222, 11gtned 10855 . . . . . 6 (⊤ → 3 ≠ 0)
8381, 5, 82redivcld 11548 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
8469nnnn0d 12038 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
8583, 84reexpcld 13621 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
8666simprd 499 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87 5nn 11804 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
8988nnrpd 12514 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
9089, 71rpdivcld 12533 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91 rpexpmord 13626 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9269, 75, 90, 91syl3anc 1372 . . . . 5 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9386, 92mpbid 235 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
9483recnd 10749 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
9594sqvald 13601 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
9681recnd 10749 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9796, 53, 96, 53, 82, 82divmuldivd 11537 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98 5t5e25 12284 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 5) = 25)
10045a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (3 · 3) = 9)
10199, 100oveq12d 7190 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (25 / 9))
102 2nn0 11995 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
103 5nn0 11998 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
104 7nn 11810 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ
105 5lt7 11905 . . . . . . . . . . 11 5 < 7
106102, 103, 104, 105declt 12209 . . . . . . . . . 10 25 < 27
107 9cn 11818 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
108 3cn 11799 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
109 9t3e27 12304 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
110107, 108, 109mulcomli 10730 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
111106, 110breqtrri 5057 . . . . . . . . 9 25 < (3 · 9)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 25 < (3 · 9))
113102, 87decnncl 12201 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 25 ∈ ℕ)
115114nnred 11733 . . . . . . . . 9 (⊤ → 25 ∈ ℝ)
116 9nn 11816 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118117nnrpd 12514 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119115, 5, 118ltdivmul2d 12568 . . . . . . . 8 (⊤ → ((25 / 9) < 3 ↔ 25 < (3 · 9)))
120112, 119mpbird 260 . . . . . . 7 (⊤ → (25 / 9) < 3)
121101, 120eqbrtrd 5052 . . . . . 6 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
12297, 121eqbrtrd 5052 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
12395, 122eqbrtrd 5052 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
12418, 85, 5, 93, 123lttrd 10881 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
12579, 124jca 515 . 2 (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
1261, 125ax-mp 5 1 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7172  cc 10615  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   · cmul 10622   < clt 10755   / cdiv 11377  cn 11718  2c2 11773  3c3 11774  4c4 11775  5c5 11776  7c7 11778  8c8 11779  9c9 11780  cdc 12181  +crp 12474  cexp 13523   logb clogb 25504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ioc 12828  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-seq 13463  df-exp 13524  df-fac 13728  df-bc 13757  df-hash 13785  df-shft 14518  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-limsup 14920  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-sum 15138  df-ef 15515  df-sin 15517  df-cos 15518  df-pi 15520  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-nei 21851  df-lp 21889  df-perf 21890  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-haus 22068  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-cncf 23632  df-limc 24620  df-dv 24621  df-log 25302  df-cxp 25303  df-logb 25505
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  39725
  Copyright terms: Public domain W3C validator