Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq2 42060
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq2 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2
StepHypRef Expression
1 tru 1544 . 2
2 2re 12340 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 3re 12346 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
65rehalfcld 12513 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 14165 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 2pos 12369 . . . . . . 7 0 < 2
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 2)
10 3pos 12371 . . . . . . 7 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 3)
12 1red 11262 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13 1lt2 12437 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
1512, 14ltned 11397 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ≠ 2)
1615necomd 2996 . . . . . 6 (⊤ → 2 ≠ 1)
173, 9, 5, 11, 16relogbcld 41974 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
1817resqcld 14165 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19 2cnd 12344 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22 0red 11264 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23 4pos 12373 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 4)
2522, 24ltned 11397 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 4)
2625necomd 2996 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ≠ 0)
2719, 21, 26divcan4d 12049 . . . . . . 7 (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
2827eqcomd 2743 . . . . . 6 (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29 4re 12350 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
313, 30remulcld 11291 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32 9re 12365 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
3430, 24elrpd 13074 . . . . . . 7 (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 4t2e8 12434 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
3720, 35, 36mulcomli 11270 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 · 4) = 8)
39 8lt9 12465 . . . . . . . . 9 8 < 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 < 9)
4138, 40eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) < 9)
4231, 33, 34, 41ltdiv1dd 13134 . . . . . 6 (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
4328, 42eqbrtrd 5165 . . . . 5 (⊤ → 2 < (9 / 4))
44 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 9 = 9
45 3t3e9 12433 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4644, 45eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4746a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 9 = (3 · 3))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 4 = 4
49 2t2e4 12430 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
5048, 49eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 = (2 · 2))
5247, 51oveq12d 7449 . . . . . . 7 (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
535recnd 11289 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
543recnd 11289 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
559gt0ne0d 11827 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ≠ 0)
5653, 54, 53, 54, 55, 55divmuldivd 12084 . . . . . . . 8 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
5756eqcomd 2743 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
5852, 57eqtrd 2777 . . . . . 6 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
596recnd 11289 . . . . . . 7 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60 sqval 14155 . . . . . . . 8 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
6160eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6358, 62eqtrd 2777 . . . . 5 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
6443, 63breqtrd 5169 . . . 4 (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65 3lexlogpow2ineq1 42059 . . . . . . 7 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
6766simpld 494 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68 2nn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
6968a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70 3rp 13040 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
7271rphalfcld 13089 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
735, 3, 11, 9divgt0d 12203 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < (3 / 2))
7422, 6, 17, 73, 67lttrd 11422 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
7517, 74elrpd 13074 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76 rpexpmord 14208 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7769, 72, 75, 76syl3anc 1373 . . . . 5 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7867, 77mpbid 232 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
793, 7, 18, 64, 78lttrd 11422 . . 3 (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80 5re 12353 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
8222, 11gtned 11396 . . . . . 6 (⊤ → 3 ≠ 0)
8381, 5, 82redivcld 12095 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
8469nnnn0d 12587 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
8583, 84reexpcld 14203 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
8666simprd 495 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87 5nn 12352 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
8988nnrpd 13075 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
9089, 71rpdivcld 13094 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91 rpexpmord 14208 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9269, 75, 90, 91syl3anc 1373 . . . . 5 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9386, 92mpbid 232 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
9483recnd 11289 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
9594sqvald 14183 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
9681recnd 11289 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9796, 53, 96, 53, 82, 82divmuldivd 12084 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98 5t5e25 12836 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 5) = 25)
10045a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (3 · 3) = 9)
10199, 100oveq12d 7449 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (25 / 9))
102 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
103 5nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
104 7nn 12358 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ
105 5lt7 12453 . . . . . . . . . . 11 5 < 7
106102, 103, 104, 105declt 12761 . . . . . . . . . 10 25 < 27
107 9cn 12366 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
108 3cn 12347 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
109 9t3e27 12856 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
110107, 108, 109mulcomli 11270 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
111106, 110breqtrri 5170 . . . . . . . . 9 25 < (3 · 9)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 25 < (3 · 9))
113102, 87decnncl 12753 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 25 ∈ ℕ)
115114nnred 12281 . . . . . . . . 9 (⊤ → 25 ∈ ℝ)
116 9nn 12364 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118117nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119115, 5, 118ltdivmul2d 13129 . . . . . . . 8 (⊤ → ((25 / 9) < 3 ↔ 25 < (3 · 9)))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . 7 (⊤ → (25 / 9) < 3)
121101, 120eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
12297, 121eqbrtrd 5165 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
12395, 122eqbrtrd 5165 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
12418, 85, 5, 93, 123lttrd 11422 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
12579, 124jca 511 . 2 (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
1261, 125ax-mp 5 1 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  +crp 13034  cexp 14102   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42077  aks6d1c7lem1  42181
  Copyright terms: Public domain W3C validator