Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3lexlogpow2ineq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lexlogpow2ineq2 40924
Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
3lexlogpow2ineq2 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2
StepHypRef Expression
1 tru 1546 . 2
2 2re 12286 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 3re 12292 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
65rehalfcld 12459 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
76resqcld 14090 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8 2pos 12315 . . . . . . 7 0 < 2
98a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 2)
10 3pos 12317 . . . . . . 7 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 < 3)
12 1red 11215 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13 1lt2 12383 . . . . . . . . 9 1 < 2
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
1512, 14ltned 11350 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ≠ 2)
1615necomd 2997 . . . . . 6 (⊤ → 2 ≠ 1)
173, 9, 5, 11, 16relogbcld 40838 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
1817resqcld 14090 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20 4cn 12297 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23 4pos 12319 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 < 4)
2522, 24ltned 11350 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ≠ 4)
2625necomd 2997 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ≠ 0)
2719, 21, 26divcan4d 11996 . . . . . . 7 (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
2827eqcomd 2739 . . . . . 6 (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29 4re 12296 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
313, 30remulcld 11244 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32 9re 12311 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 9 ∈ ℝ)
3430, 24elrpd 13013 . . . . . . 7 (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35 2cn 12287 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 4t2e8 12380 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
3720, 35, 36mulcomli 11223 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (2 · 4) = 8)
39 8lt9 12411 . . . . . . . . 9 8 < 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 8 < 9)
4138, 40eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (⊤ → (2 · 4) < 9)
4231, 33, 34, 41ltdiv1dd 13073 . . . . . 6 (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
4328, 42eqbrtrd 5171 . . . . 5 (⊤ → 2 < (9 / 4))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 9 = 9
45 3t3e9 12379 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4644, 45eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4746a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 9 = (3 · 3))
48 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 4 = 4
49 2t2e4 12376 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
5048, 49eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 4 = (2 · 2))
5247, 51oveq12d 7427 . . . . . . 7 (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
535recnd 11242 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
543recnd 11242 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
559gt0ne0d 11778 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ≠ 0)
5653, 54, 53, 54, 55, 55divmuldivd 12031 . . . . . . . 8 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
5756eqcomd 2739 . . . . . . 7 (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
5852, 57eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
596recnd 11242 . . . . . . 7 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60 sqval 14080 . . . . . . . 8 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
6160eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6259, 61syl 17 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
6358, 62eqtrd 2773 . . . . 5 (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
6443, 63breqtrd 5175 . . . 4 (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65 3lexlogpow2ineq1 40923 . . . . . . 7 ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
6665a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
6766simpld 496 . . . . 5 (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68 2nn 12285 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
6968a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70 3rp 12980 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
7271rphalfcld 13028 . . . . . 6 (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
735, 3, 11, 9divgt0d 12149 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 < (3 / 2))
7422, 6, 17, 73, 67lttrd 11375 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < (2 logb 3))
7517, 74elrpd 13013 . . . . . 6 (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76 rpexpmord 14133 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7769, 72, 75, 76syl3anc 1372 . . . . 5 (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
7867, 77mpbid 231 . . . 4 (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
793, 7, 18, 64, 78lttrd 11375 . . 3 (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80 5re 12299 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
8180a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 5 ∈ ℝ)
8222, 11gtned 11349 . . . . . 6 (⊤ → 3 ≠ 0)
8381, 5, 82redivcld 12042 . . . . 5 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
8469nnnn0d 12532 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
8583, 84reexpcld 14128 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
8666simprd 497 . . . . 5 (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87 5nn 12298 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 5 ∈ ℕ)
8988nnrpd 13014 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
9089, 71rpdivcld 13033 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91 rpexpmord 14133 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9269, 75, 90, 91syl3anc 1372 . . . . 5 (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
9386, 92mpbid 231 . . . 4 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
9483recnd 11242 . . . . . 6 (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
9594sqvald 14108 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
9681recnd 11242 . . . . . . 7 (⊤ → 5 ∈ ℂ)
9796, 53, 96, 53, 82, 82divmuldivd 12031 . . . . . 6 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98 5t5e25 12780 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
9998a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (5 · 5) = 25)
10045a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (3 · 3) = 9)
10199, 100oveq12d 7427 . . . . . . 7 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (25 / 9))
102 2nn0 12489 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
103 5nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
104 7nn 12304 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ
105 5lt7 12399 . . . . . . . . . . 11 5 < 7
106102, 103, 104, 105declt 12705 . . . . . . . . . 10 25 < 27
107 9cn 12312 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
108 3cn 12293 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
109 9t3e27 12800 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
110107, 108, 109mulcomli 11223 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
111106, 110breqtrri 5176 . . . . . . . . 9 25 < (3 · 9)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 25 < (3 · 9))
113102, 87decnncl 12697 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 25 ∈ ℕ)
115114nnred 12227 . . . . . . . . 9 (⊤ → 25 ∈ ℝ)
116 9nn 12310 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118117nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119115, 5, 118ltdivmul2d 13068 . . . . . . . 8 (⊤ → ((25 / 9) < 3 ↔ 25 < (3 · 9)))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . 7 (⊤ → (25 / 9) < 3)
121101, 120eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
12297, 121eqbrtrd 5171 . . . . 5 (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
12395, 122eqbrtrd 5171 . . . 4 (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
12418, 85, 5, 93, 123lttrd 11375 . . 3 (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
12579, 124jca 513 . 2 (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
1261, 125ax-mp 5 1 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11248   / cdiv 11871  cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  cdc 12677  +crp 12974  cexp 14027   logb clogb 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270
This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40941
  Copyright terms: Public domain W3C validator