Theorem 3lexlogpow2ineq2 41232

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1543	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12292	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12298	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12465	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14096	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12321	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12323	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12389	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11356	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 41146	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14096	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12002	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11250	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13019	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2cn 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		4t2e8 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
37	20, 35, 36	mulcomli 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
39		8lt9 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
41	38, 40	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
42	31, 33, 34, 41	ltdiv1dd 13079	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
43	28, 42	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
44		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
45		3t3e9 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
46	44, 45	eqtr4i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
48		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
49		2t2e4 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
50	48, 49	eqtr4i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
52	47, 51	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
53	5	recnd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
54	3	recnd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
55	9	gt0ne0d 11784	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
56	53, 54, 53, 54, 55, 55	divmuldivd 12037	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
57	56	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
58	52, 57	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	6	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60		sqval 14086	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
61	60	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
62	59, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
63	58, 62	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
64	43, 63	breqtrd 5175	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65		3lexlogpow2ineq1 41231	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
67	66	simpld 493	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68		2nn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70		3rp 12986	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
72	71	rphalfcld 13034	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
73	5, 3, 11, 9	divgt0d 12155	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
74	22, 6, 17, 73, 67	lttrd 11381	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
75	17, 74	elrpd 13019	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76		rpexpmord 14139	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
77	69, 72, 75, 76	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
78	67, 77	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
79	3, 7, 18, 64, 78	lttrd 11381	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80		5re 12305	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
82	22, 11	gtned 11355	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
83	81, 5, 82	redivcld 12048	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
84	69	nnnn0d 12538	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
85	83, 84	reexpcld 14134	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
86	66	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87		5nn 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 13020	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
90	89, 71	rpdivcld 13039	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91		rpexpmord 14139	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
92	69, 75, 90, 91	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
93	86, 92	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
94	83	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
95	94	sqvald 14114	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
96	81	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
97	96, 53, 96, 53, 82, 82	divmuldivd 12037	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98		5t5e25 12786	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
100	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
101	99, 100	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
102		2nn0 12495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
103		5nn0 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
104		7nn 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
105		5lt7 12405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
106	102, 103, 104, 105	declt 12711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
107		9cn 12318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
108		3cn 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		9t3e27 12806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
110	107, 108, 109	mulcomli 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
111	106, 110	breqtrri 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
113	102, 87	decnncl 12703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
115	114	nnred 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
116		9nn 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118	117	nnrpd 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119	115, 5, 118	ltdivmul2d 13074	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
120	112, 119	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
121	101, 120	eqbrtrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
122	97, 121	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
123	95, 122	eqbrtrd 5171	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
124	18, 85, 5, 93, 123	lttrd 11381	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
125	79, 124	jca 510	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
126	1, 125	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119   < clt 11254   / cdiv 11877  ℕcn 12218  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  5c5 12276  7c7 12278  8c8 12279  9c9 12280  ;cdc 12683  ℝ⁺crp 12980  ↑cexp 14033   log_b clogb 26503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-log 26299  df-cxp 26300  df-logb 26504

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  41249