Theorem 3lexlogpow2ineq2 42520

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1546	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12252	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12258	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12421	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14084	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12281	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12283	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11279	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 42435	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14084	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 11934	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 12980	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2cn 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		4t2e8 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
37	20, 35, 36	mulcomli 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
39		8lt9 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
41	38, 40	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
42	31, 33, 34, 41	ltdiv1dd 13040	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
43	28, 42	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
45		3t3e9 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
46	44, 45	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
49		2t2e4 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
50	48, 49	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
52	47, 51	oveq12d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
53	5	recnd 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
54	3	recnd 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
55	9	gt0ne0d 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
56	53, 54, 53, 54, 55, 55	divmuldivd 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
57	56	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
58	52, 57	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	6	recnd 11170	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60		sqval 14073	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
61	60	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
62	59, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
63	58, 62	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
64	43, 63	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65		3lexlogpow2ineq1 42519	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
67	66	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68		2nn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70		3rp 12945	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
72	71	rphalfcld 12995	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
73	5, 3, 11, 9	divgt0d 12088	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
74	22, 6, 17, 73, 67	lttrd 11304	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
75	17, 74	elrpd 12980	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76		rpexpmord 14127	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
77	69, 72, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
78	67, 77	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
79	3, 7, 18, 64, 78	lttrd 11304	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80		5re 12265	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
82	22, 11	gtned 11278	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
83	81, 5, 82	redivcld 11980	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
84	69	nnnn0d 12495	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
85	83, 84	reexpcld 14122	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
86	66	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87		5nn 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12981	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
90	89, 71	rpdivcld 13000	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91		rpexpmord 14127	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
92	69, 75, 90, 91	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
93	86, 92	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
94	83	recnd 11170	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
95	94	sqvald 14102	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
96	81	recnd 11170	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
97	96, 53, 96, 53, 82, 82	divmuldivd 11969	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98		5t5e25 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
100	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
101	99, 100	oveq12d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
102		2nn0 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
103		5nn0 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
104		7nn 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
105		5lt7 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
106	102, 103, 104, 105	declt 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
107		9cn 12278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
108		3cn 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		9t3e27 12764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
110	107, 108, 109	mulcomli 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
111	106, 110	breqtrri 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
113	102, 87	decnncl 12661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
115	114	nnred 12186	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
116		9nn 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118	117	nnrpd 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119	115, 5, 118	ltdivmul2d 13035	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
120	112, 119	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
121	101, 120	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
122	97, 121	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
123	95, 122	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
124	18, 85, 5, 93, 123	lttrd 11304	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
125	79, 124	jca 511	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
126	1, 125	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364  ℂcc 11033  ℝcr 11034  0cc0 11035  1c1 11036   · cmul 11040   < clt 11176   / cdiv 11804  ℕcn 12171  2c2 12233  3c3 12234  4c4 12235  5c5 12236  7c7 12238  8c8 12239  9c9 12240  ;cdc 12641  ℝ⁺crp 12939  ↑cexp 14020   log_b clogb 26747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ioc 13300  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-mod 13826  df-seq 13961  df-exp 14021  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15026  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-limsup 15430  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19041  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cld 23000  df-ntr 23001  df-cls 23002  df-nei 23079  df-lp 23117  df-perf 23118  df-cn 23208  df-cnp 23209  df-haus 23296  df-tx 23543  df-hmeo 23736  df-fil 23827  df-fm 23919  df-flim 23920  df-flf 23921  df-xms 24301  df-ms 24302  df-tms 24303  df-cncf 24861  df-limc 25849  df-dv 25850  df-log 26539  df-cxp 26540  df-logb 26748

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  42537  aks6d1c7lem1  42641