Theorem 3lexlogpow2ineq2 39652

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1542	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 11753	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 11759	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 11926	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 13666	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 11782	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 11784	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 10685	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 11850	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 10819	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3006	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 39565	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 13666	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 10687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 11786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 11465	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2764	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 10714	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 11778	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 12474	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2cn 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		4t2e8 11847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
37	20, 35, 36	mulcomli 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
39		8lt9 11878	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
41	38, 40	eqbrtrd 5057	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
42	31, 33, 34, 41	ltdiv1dd 12534	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
43	28, 42	eqbrtrd 5057	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
44		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
45		3t3e9 11846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
46	44, 45	eqtr4i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
48		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
49		2t2e4 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
50	48, 49	eqtr4i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
52	47, 51	oveq12d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
53	5	recnd 10712	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
54	3	recnd 10712	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
55	9	gt0ne0d 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
56	53, 54, 53, 54, 55, 55	divmuldivd 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
57	56	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
58	52, 57	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	6	recnd 10712	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60		sqval 13536	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
61	60	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
62	59, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
63	58, 62	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
64	43, 63	breqtrd 5061	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65		3lexlogpow2ineq1 39651	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
67	66	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68		2nn 11752	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70		3rp 12441	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
72	71	rphalfcld 12489	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
73	5, 3, 11, 9	divgt0d 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
74	22, 6, 17, 73, 67	lttrd 10844	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
75	17, 74	elrpd 12474	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76		rpexpmord 13587	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
77	69, 72, 75, 76	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
78	67, 77	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
79	3, 7, 18, 64, 78	lttrd 10844	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80		5re 11766	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
82	22, 11	gtned 10818	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
83	81, 5, 82	redivcld 11511	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
84	69	nnnn0d 11999	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
85	83, 84	reexpcld 13582	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
86	66	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87		5nn 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12475	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
90	89, 71	rpdivcld 12494	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91		rpexpmord 13587	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
92	69, 75, 90, 91	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
93	86, 92	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
94	83	recnd 10712	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
95	94	sqvald 13562	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
96	81	recnd 10712	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
97	96, 53, 96, 53, 82, 82	divmuldivd 11500	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98		5t5e25 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
100	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
101	99, 100	oveq12d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
102		2nn0 11956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
103		5nn0 11959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
104		7nn 11771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
105		5lt7 11866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
106	102, 103, 104, 105	declt 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
107		9cn 11779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
108		3cn 11760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		9t3e27 12265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
110	107, 108, 109	mulcomli 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
111	106, 110	breqtrri 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
113	102, 87	decnncl 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
115	114	nnred 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
116		9nn 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118	117	nnrpd 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119	115, 5, 118	ltdivmul2d 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
120	112, 119	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
121	101, 120	eqbrtrd 5057	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
122	97, 121	eqbrtrd 5057	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
123	95, 122	eqbrtrd 5057	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
124	18, 85, 5, 93, 123	lttrd 10844	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
125	79, 124	jca 515	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
126	1, 125	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   · cmul 10585   < clt 10718   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  3c3 11735  4c4 11736  5c5 11737  7c7 11739  8c8 11740  9c9 11741  ;cdc 12142  ℝ⁺crp 12435  ↑cexp 13484   log_b clogb 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253  df-logb 25455

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  39668