Theorem 3lexlogpow2ineq2 43023

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1574	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12372	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12378	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12548	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14222	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12402	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12406	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11403	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 42938	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14222	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12054	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11296	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13116	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2t4e8 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
37		8lt9 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
39	36, 38	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
40	31, 33, 34, 39	ltdiv1dd 13176	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
41	28, 40	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
42		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
43		3t3e9 12465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
44	42, 43	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
46		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
47		2t2e4 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
48	46, 47	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
50	45, 49	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
51	5	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
52	3	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
53	9	gt0ne0d 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
54	51, 52, 51, 52, 53, 53	divmuldivd 12089	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
55	54	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
56	50, 55	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
57	6	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
58		sqval 14211	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	58	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
61	56, 60	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
62	41, 61	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
63		3lexlogpow2ineq1 43022	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
65	64	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
66		2nn 12371	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
68		3rp 13081	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
70	69	rphalfcld 13131	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
71	5, 3, 11, 9	divgt0d 12207	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
72	22, 6, 17, 71, 65	lttrd 11428	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
73	17, 72	elrpd 13116	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
74		rpexpmord 14265	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
75	67, 70, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
76	65, 75	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
77	3, 7, 18, 62, 76	lttrd 11428	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
78		5re 12385	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
80	22, 11	gtned 11402	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
81	79, 5, 80	redivcld 12100	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
82	67	nnnn0d 12622	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
83	81, 82	reexpcld 14260	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
84	64	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
85		5nn 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
87	86	nnrpd 13117	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
88	87, 69	rpdivcld 13136	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
89		rpexpmord 14265	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
90	67, 73, 88, 89	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
91	84, 90	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
92	81	recnd 11294	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
93	92	sqvald 14240	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
94	79	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
95	94, 51, 94, 51, 80, 80	divmuldivd 12089	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
96		5t5e25 12877	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
98	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
99	97, 98	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
100		2nn0 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101		5nn0 12581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
102		7nn 12390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
103		5lt7 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
104	100, 101, 102, 103	declt 12802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
105		9cn 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
106		3cn 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
107		9t3e27 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	105, 106, 107	mulcomli 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
109	104, 108	breqtrri 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
111	100, 85	decnncl 12793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
113	112	nnred 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
114		9nn 12396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
116	115	nnrpd 13117	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
117	113, 5, 116	ltdivmul2d 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
118	110, 117	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
119	99, 118	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
120	95, 119	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
121	93, 120	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
122	18, 83, 5, 91, 121	lttrd 11428	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
123	77, 122	jca 521	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
124	1, 123	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   · cmul 11162   < clt 11300   / cdiv 11928  ℕcn 12290  2c2 12352  3c3 12353  4c4 12354  5c5 12355  7c7 12357  8c8 12358  9c9 12359  ;cdc 12769  ℝ⁺crp 13075  ↑cexp 14158   log_b clogb 27041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-cxp 26834  df-logb 27042

This theorem is used by:  aks4d1p1  43040  aks6d1c7lem1  43144