Theorem 3lexlogpow2ineq2 42854

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1573	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12321	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12327	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12497	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14168	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12351	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12355	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11352	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 42769	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 14168	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12325	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11352	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 12003	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11245	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12346	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 13063	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2t4e8 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
37		8lt9 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
39	36, 38	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
40	31, 33, 34, 39	ltdiv1dd 13123	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
41	28, 40	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
42		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
43		3t3e9 12414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
44	42, 43	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
46		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
47		2t2e4 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
48	46, 47	eqtr4i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
50	45, 49	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
51	5	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
52	3	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
53	9	gt0ne0d 11784	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
54	51, 52, 51, 52, 53, 53	divmuldivd 12038	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
55	54	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
56	50, 55	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
57	6	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
58		sqval 14157	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	58	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
60	57, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
61	56, 60	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
62	41, 61	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
63		3lexlogpow2ineq1 42853	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
65	64	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
66		2nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
68		3rp 13028	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
70	69	rphalfcld 13078	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
71	5, 3, 11, 9	divgt0d 12156	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
72	22, 6, 17, 71, 65	lttrd 11377	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
73	17, 72	elrpd 13063	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
74		rpexpmord 14211	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
75	67, 70, 73, 74	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
76	65, 75	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
77	3, 7, 18, 62, 76	lttrd 11377	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
78		5re 12334	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
80	22, 11	gtned 11351	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
81	79, 5, 80	redivcld 12049	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
82	67	nnnn0d 12571	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
83	81, 82	reexpcld 14206	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
84	64	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
85		5nn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
87	86	nnrpd 13064	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
88	87, 69	rpdivcld 13083	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
89		rpexpmord 14211	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
90	67, 73, 88, 89	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
91	84, 90	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
92	81	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
93	92	sqvald 14186	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
94	79	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
95	94, 51, 94, 51, 80, 80	divmuldivd 12038	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
96		5t5e25 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
98	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
99	97, 98	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
100		2nn0 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
101		5nn0 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
102		7nn 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
103		5lt7 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
104	100, 101, 102, 103	declt 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
105		9cn 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
106		3cn 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
107		9t3e27 12845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	105, 106, 107	mulcomli 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
109	104, 108	breqtrri 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
111	100, 85	decnncl 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
113	112	nnred 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
114		9nn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
116	115	nnrpd 13064	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
117	113, 5, 116	ltdivmul2d 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
118	110, 117	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
119	99, 118	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
120	95, 119	eqbrtrd 5132	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
121	93, 120	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
122	18, 83, 5, 91, 121	lttrd 11377	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
123	77, 122	jca 520	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
124	1, 123	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  5c5 12304  7c7 12306  8c8 12307  9c9 12308  ;cdc 12717  ℝ⁺crp 13022  ↑cexp 14104   log_b clogb 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733  df-logb 26941

This theorem is used by:  aks4d1p1  42871  aks6d1c7lem1  42975