Theorem 3lexlogpow2ineq2 40067

Description: Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow2ineq2	⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Proof of Theorem 3lexlogpow2ineq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1543	. 2 ⊢ ⊤
2		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		3re 12053	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12220	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 13965	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) ∈ ℝ)
8		2pos 12076	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 2)
10		3pos 12078	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 < 3)
12		1red 10976	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
13		1lt2 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
15	12, 14	ltned 11111	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 2)
16	15	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 1)
17	3, 9, 5, 11, 16	relogbcld 39981	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ)
18	17	resqcld 13965	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
19		2cnd 12051	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
20		4cn 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
22		0red 10978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
23		4pos 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 < 4)
25	22, 24	ltned 11111	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 4)
26	25	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
27	19, 21, 26	divcan4d 11757	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) = 2)
28	27	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 = ((2 · 4) / 4))
29		4re 12057	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
31	3, 30	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) ∈ ℝ)
32		9re 12072	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ)
34	30, 24	elrpd 12769	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ+)
35		2cn 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		4t2e8 12141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
37	20, 35, 36	mulcomli 10984	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (2 · 4) = 8)
39		8lt9 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 < 9
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 8 < 9)
41	38, 40	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (2 · 4) < 9)
42	31, 33, 34, 41	ltdiv1dd 12829	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((2 · 4) / 4) < (9 / 4))
43	28, 42	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 < (9 / 4))
44		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 = 9
45		3t3e9 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
46	44, 45	eqtr4i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (3 · 3)
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 9 = (3 · 3))
48		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = 4
49		2t2e4 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
50	48, 49	eqtr4i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 4 = (2 · 2))
52	47, 51	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
53	5	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℂ)
54	3	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
55	9	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
56	53, 54, 53, 54, 55, 55	divmuldivd 11792	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2)))
57	56	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((3 · 3) / (2 · 2)) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
58	52, 57	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
59	6	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℂ)
60		sqval 13835	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2)↑2) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
61	60	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
62	59, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 / 2)↑2))
63	58, 62	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (9 / 4) = ((3 / 2)↑2))
64	43, 63	breqtrd 5100	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < ((3 / 2)↑2))
65		3lexlogpow2ineq1 40066	. . . . . . 7 ⊢ ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3))
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ∧ (2 logb 3) < (5 / 3)))
67	66	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (3 / 2) < (2 logb 3))
68		2nn 12046	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
70		3rp 12736	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ+)
72	71	rphalfcld 12784	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (3 / 2) ∈ ℝ+)
73	5, 3, 11, 9	divgt0d 11910	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 < (3 / 2))
74	22, 6, 17, 73, 67	lttrd 11136	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 < (2 logb 3))
75	17, 74	elrpd 12769	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) ∈ ℝ+)
76		rpexpmord 13886	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (3 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+) → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
77	69, 72, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((3 / 2) < (2 logb 3) ↔ ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2)))
78	67, 77	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((3 / 2)↑2) < ((2 logb 3)↑2))
79	3, 7, 18, 64, 78	lttrd 11136	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 < ((2 logb 3)↑2))
80		5re 12060	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ)
82	22, 11	gtned 11110	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 3 ≠ 0)
83	81, 5, 82	redivcld 11803	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ)
84	69	nnnn0d 12293	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ0)
85	83, 84	reexpcld 13881	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) ∈ ℝ)
86	66	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2 logb 3) < (5 / 3))
87		5nn 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℕ)
89	88	nnrpd 12770	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℝ+)
90	89, 71	rpdivcld 12789	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℝ+)
91		rpexpmord 13886	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2 logb 3) ∈ ℝ+ ∧ (5 / 3) ∈ ℝ+) → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
92	69, 75, 90, 91	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3) < (5 / 3) ↔ ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2)))
93	86, 92	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < ((5 / 3)↑2))
94	83	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (5 / 3) ∈ ℂ)
95	94	sqvald 13861	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) = ((5 / 3) · (5 / 3)))
96	81	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 5 ∈ ℂ)
97	96, 53, 96, 53, 82, 82	divmuldivd 11792	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) = ((5 · 5) / (3 · 3)))
98		5t5e25 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 5) = ;25
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (5 · 5) = ;25)
100	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (3 · 3) = 9)
101	99, 100	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) = (;25 / 9))
102		2nn0 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
103		5nn0 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
104		7nn 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ
105		5lt7 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 7
106	102, 103, 104, 105	declt 12465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 < ;27
107		9cn 12073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
108		3cn 12054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
109		9t3e27 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
110	107, 108, 109	mulcomli 10984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 9) = ;27
111	106, 110	breqtrri 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 < (3 · 9)
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ;25 < (3 · 9))
113	102, 87	decnncl 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;25 ∈ ℕ
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℕ)
115	114	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ;25 ∈ ℝ)
116		9nn 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℕ)
118	117	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 9 ∈ ℝ+)
119	115, 5, 118	ltdivmul2d 12824	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((;25 / 9) < 3 ↔ ;25 < (3 · 9)))
120	112, 119	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (;25 / 9) < 3)
121	101, 120	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((5 · 5) / (3 · 3)) < 3)
122	97, 121	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((5 / 3) · (5 / 3)) < 3)
123	95, 122	eqbrtrd 5096	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((5 / 3)↑2) < 3)
124	18, 85, 5, 93, 123	lttrd 11136	. . 3 ⊢ (⊤ → ((2 logb 3)↑2) < 3)
125	79, 124	jca 512	. 2 ⊢ (⊤ → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
126	1, 125	ax-mp 5	1 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782   log_b clogb 25914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915

This theorem is referenced by:  aks4d1p1  40084